2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练 考点9 平面解析几何中的最值与范围问题

考点9 平面解析几何中的最值与范围问题

一、选择题

1.已知点P在椭圆上,点Q在圆上,则的最大值为(   )
A.4 B.5 C.6 D.7

2.已知点P是双曲线左支上的一个动点，分别为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，则的最大值为(   )

A.8 B.-8 C.-16 D.16

3.已知是椭圆上关于椭圆中心对称的两个点，点P（除外）是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，则的最小值为(   )

A. B. C. D.1

4.已知M是双曲线的左顶点,M到双曲线的一条渐近线的距离为,若该双曲线的离心率为,当,则的最小值为(   )
A. B. C.2 D.

5.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点，，分别作弦AB,CD.若，则的取值范围为(   )
 

A. B. C. D.

二、填空题

6.已知点P是椭圆上任一点，设点P到两直线的距离分别为，则的最大值为____________.

7.已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上一点，，则的取值范围为________.

8.已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆C上，点，若直线的交点为为坐标原点，则的取值范围为____________.

9.已知点P为抛物线上一个动点，点Q为圆上一个动点，直线l为C在点P处的切线，则点Q到直线l距离的最小值为____________.

10.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C相交于点M,N，.若的面积为，，则面积的取值范围为______________.

三、解答题

11.已知M,N分别是y轴上两个动点，，，动点C到点M,N,P的距离均相等.

（1）求动点C的轨迹方程；

（2）过点的直线l交曲线C于A,B两点，记直线OA,OB的斜率分别为，，求的最小值.

12.已知椭圆的焦距为，过椭圆C的焦点且与x轴垂直的弦的长为1.
 

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，F是椭圆C的右焦点，A,D（不在x轴上）是椭圆C上关于y轴对称的两点，直线AF交椭圆C于另一点B，若E是外接圆的圆心，求的最小值.

13.已知椭圆的左、右顶点分别为，直线l与椭圆C交于两点.
（1）设点P的坐标为，若，.求直线l的方程；
（2）若直线l过椭圆C的右焦点F，且点M在第一象限，求分别为直线的斜率）的取值范围.

参考答案

1.答案：D

解析：由题意知，点是椭圆C的右焦点，设是椭圆C的左焦点，连接PF,QF，则，故选D.

2.答案：C

解析：设坐标原点为O，点，则，，所以又P是双曲线左支上的一个动点，故，所以的最大值为-16，故选C.

3.答案：D

解析：因为是椭圆上关于椭圆中心对称的两个点，点P（除外）是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选D.

4.答案：B

解析：由题知，点，渐近线方程不妨设为,

整理得双曲线的离心率,

,当且仅当时取等号，故选B.

5.答案：C

解析：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.由椭圆的对称性可知，，.设点，.
若直线AB的斜率不存在，则点，，所以，所以.
若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立消去y整理得，，则.又，同理可得，
所以，所以.
综上，的取值范围为，故选C.

6.答案：

解析：本题考查点到直线的距离，椭圆的标准方程，不等式的性质.设则由点P是椭圆上任意一点，得即由题意所以因为所以，当且仅当，即或时等号成立.

7.答案：

解析：由题意知，抛物线的准线方程，过点P作交l于点A，根据抛物线的定义得，当且仅当三点共线时，等号成立，而，所以的取值范围是.

8.答案：

解析：本题考查椭圆的方程、直线的方程.依题意，得，则，易知，则直线MP的斜率，直线MP的方程为，直线NQ的斜率，直线NQ的方程为，联立解得即.则，由，得的取值范围为.

9.答案：1

解析：由得，则设点，则，代入，整理得，圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立.又圆M的半径为1，故点Q到直线距离的最小值为.

10.答案：

解析：由题意知，直线不与y轴垂直，设直线的方程为，，.由，得，所以，，，.易知点F的坐标为，由，得.由于，所以，所以，所以.由于，所以，故的面积为.

11.答案：(1)如图，设，取MN的中点Q，因为，所以，又动点C到点M，N的距离相等，故，即，则，
又动点C到点M，P的距离相等，所以，
所以，
化简得动点C的轨迹方程为.

(2)设直线的方程为，，，
联立，消去x得，
则，，



，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.

解析：

12.答案：（1）由题知，，解得.
由椭圆的对称性，不妨取椭圆的右焦点，
将代入椭圆，得，
所以过椭圆C的焦点且与x轴垂直的弦的长为，
所以.
又，
所以，解得（负值舍去），所以.
所以椭圆C的方程为.
（2）由题知，直线AB的斜率不为0.
设直线AB的方程为，
代入椭圆C的方程，消去x得.
设，，
则，
，，
所以，
则线段AB的中点坐标为，
.
因为E是的外心，
所以E是线段AB的垂直平分线与线段AD的垂直平分线的交点.
线段AB的垂直平分线的方程为，
令，得，即.
又，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.

解析：

13.答案：(1)设.
因为所以点P为线段MN的中点.
结合题意与点P的坐标可知直线的斜率存在，则
由两式相减得，
即.
设直线的斜率为则
又点P的坐标为所以
即解得，
故直线的方程为，即.
(2)依题意，
当直线的斜率不存在时，
所以.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则
所以，
所以.
因为点M在第一象限，所以且，
所以.
综上，的取值范围为.