【新课标新高考】考点9 平面解析几何中的最值与范围问题——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点9 平面解析几何中的最值与范围问题—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

最值问题的求解方法：

（1）建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值.

（2）建立不等式模型，利用基本不等式求最值.

（3）数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值.

【练习】

1.已知点P是双曲线左支上的一个动点，分别为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，则的最大值为(   )

A.8 B.-8 C.-16 D.16

2.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点，，分别作弦AB，CD.若，则的取值范围为(   )
 

A. B. C. D.

3.已知M是双曲线的左顶点，M到双曲线的一条渐近线的距离为，若该双曲线的离心率为，当，则的最小值为(   )
A. B. C.2 D.

4.已知是椭圆上关于椭圆中心对称的两个点，点P（除外）是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，则的最小值为(   )

A. B. C. D.1

5.已知点P是椭圆上任一点，设点P到两直线的距离分别为，则的最大值为____________.

6.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C相交于点M，N，.若的面积为，，则面积的取值范围为______________.

7.已知点P在椭圆上，点Q，R分别在圆和圆上运动，若过点P存在直线l同时与两圆相切，这样的点P的个数为______；当点P在椭圆上运动，则的最大值为________.

8.已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为___________.

9.若点P是曲线上的动点，点Q是曲线上的动点，点O为坐标原点，则的最小值是__________.

10.已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆C上，直线与y轴的交点为的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若O是坐标原点，点（异于点P）是椭圆C上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值.

11.已知M，N分别是y轴上两个动点，，，动点C到点M，N，P的距离均相等.

（1）求动点C的轨迹方程；

（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求的最小值.

12.已知椭圆的焦距为，过椭圆C的焦点且与x轴垂直的弦的长为1.
 

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，F是椭圆C的右焦点，A，D（不在x轴上）是椭圆C上关于y轴对称的两点，直线AF交椭圆C于另一点B，若E是外接圆的圆心，求的最小值.

13.已知椭圆的左、右顶点分别为，直线l与椭圆C交于两点.
（1）设点P的坐标为，若，.求直线l的方程；
（2）若直线l过椭圆C的右焦点F，且点M在第一象限，求分别为直线的斜率）的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：设坐标原点为O，点，则，，所以又P是双曲线左支上的一个动点，故，所以的最大值为-16，故选C.

2.答案：C

解析：由椭圆的对称性可知，，.设点，.
若直线AB的斜率不存在，则点，，所以，所以.
若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立消去y整理得，，则.又，同理可得，
所以，所以.
综上，的取值范围为，故选C.

3.答案：B

解析：由题知，点，渐近线方程不妨设为，

整理得双曲线的离心率，

，当且仅当时取等号，故选B.

4.答案：D

解析：因为是椭圆上关于椭圆中心对称的两个点，点P（除外）是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选D.

5.答案：

解析：设则由点P是椭圆上任意一点，得即由题意，所以因为所以，当且仅当，即或时等号成立.

6.答案：

解析：由题意知，直线不与y轴垂直，设直线的方程为，，.由，得，所以，，，.易知点F的坐标为，由，得.由于，所以，所以，所以.由于，所以，故的面积为.

7.答案：6

解析：由两圆方程得两圆外切，且分别与椭圆内切，则两圆有三条公切线，且每条公切线都与椭圆有两个交点，则这样的点P的个数为6个；因为两圆的圆心分别为椭圆的两个焦点，则，则，当且仅当Q，R分别在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为6.

8.答案：32

解析：由题意知直线的斜率均存在且不为零，，因此可设直线的方程为，则直线的方程为.由，消去x，得.设，则，所以，将其代入直线的方程，得，故点，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为32.

9.答案：

解析：由题意知曲线是焦点为的抛物线，曲线是圆心为，半径的圆.设点，则.要使取得最小值，则需取最小值.又结合抛物线的定义，得，所以.令，则，所以.又令，则，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，所以，即.

10.答案：（1）的周长为，
，
，
将带入，得，解得，
椭圆C的标准方程是.
（2）由题易知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
将与联立并消去y，整理得，
则.
，
，
，
化简得，
或（舍去）.
当时，，则，得.
，
原点O到直线的距离，，

当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意.
面积的最大值是.

11.答案：(1)如图，设，取MN的中点Q，因为，所以，又动点C到点M，N的距离相等，故，即，则，
又动点C到点M，P的距离相等，所以，
所以，
化简得动点C的轨迹方程为.

(2)设直线的方程为，，，
联立，消去x得，
则，，



，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.

12.答案：（1）由题知，，解得.
由椭圆的对称性，不妨取椭圆的右焦点，
将代入椭圆，得，
所以过椭圆C的焦点且与x轴垂直的弦的长为，
所以.
又，
所以，解得（负值舍去），所以.
所以椭圆C的方程为.
（2）由题知，直线AB的斜率不为0.
设直线AB的方程为，
代入椭圆C的方程，消去x得.
设，，
则，
，，
所以，
则线段AB的中点坐标为，
.
因为E是的外心，
所以E是线段AB的垂直平分线与线段AD的垂直平分线的交点.
线段AB的垂直平分线的方程为，
令，得，即.
又，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.

13.答案：(1)设.
因为所以点P为线段MN的中点.
结合题意与点P的坐标可知直线的斜率存在，则
由两式相减得，
即.
设直线的斜率为则
又点P的坐标为所以
即解得，
故直线的方程为，即.
(2)依题意，
当直线的斜率不存在时，
所以.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则
所以，
所以.
因为点M在第一象限，所以且，
所以.
综上，的取值范围为.