2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第9讲圆锥曲线__最值范围问题考点1最值问题

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∴yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
∴|AB|＝eq \r(xA－xB2＋yA－yB2)＝eq \r(5)|yA－yB|
＝eq \r(5)×eq \r(yA＋yB2－4yAyB)＝4eq \r(15)，
即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2.
(2)因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得，y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，
∵eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，
亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，
将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，
4m2＝n2－6n＋1,4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2eq \r(2)或n≤3－2eq \r(2).
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝eq \f(|n－1|,\r(1＋m2))，
|MN|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋m2)|y1－y2|
＝eq \r(1＋m2)eq \r(16m2＋16n)
＝eq \r(1＋m2)eq \r(4n2－6n＋1＋16n)＝2eq \r(1＋m2)|n－1|，
所以△MFN的面积S＝eq \f(1,2)×|MN|×d＝eq \f(1,2)×eq \f(|n－1|,\r(1＋m2))×2eq \r(1＋m2)|n－1|＝(n－1)2，
而n≥3＋2eq \r(2)或n≤3－2eq \r(2)，
所以当n＝3－2eq \r(2)时，△MFN的面积Smin＝(2－2eq \r(2))2＝12－8eq \r(2).
[解析] (1)解法一：设H(x，y)为椭圆上任一点，则|PH|＝eq \r(x2＋y－12)＝eq \r(－11\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,11)))2＋\f(144,11))≤eq \f(12\r(11),11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当y＝－\f(1,11)时取等号))
∴|PH|的最大值为eq \f(12\r(11),11).
解法二：设Q(2eq \r(3)cs θ，sin θ)是椭圆上任意一点，P(0,1)，
则|PQ|2＝12cs2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin2θ－2sin θ＝－11eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(1,11)))2＋eq \f(144,11)≤eq \f(144,11)，
当且仅当sin θ＝－eq \f(1,11)时取等号，故|PQ|的最大值是eq \f(12\r(11),11).
(2)设直线AB：y＝kx＋eq \f(1,2)，直线AB方程与椭圆eq \f(x2,12)＋y2＝1联立，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,12)))x2＋kx－eq \f(3,4)＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(k,k2＋\f(1,12))，,x1x2＝－\f(3,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,12))))，))
因为直线PA：y＝eq \f(y1－1,x1)x＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋3交于C，则xC＝eq \f(4x1,x1＋2y1－2)＝eq \f(4x1,2k＋1x1－1)，
同理可得，xD＝eq \f(4x2,x2＋2y2－2)＝eq \f(4x2,2k＋1x2－1).
则|CD|＝eq \r(1＋\f(1,4))|xC－xD|
＝eq \f(\r(5),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4x1,2k＋1x1－1)－\f(4x2,2k＋1x2－1)))
＝2eq \r(5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1－x2,[2k＋1x1－1][2k＋1x2－1])))
＝2eq \r(5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1－x2,2k＋12x1x2－2k＋1x1＋x2＋1)))
＝eq \f(3\r(5),2)·eq \f(\r(16k2＋1),|3k＋1|)＝eq \f(6\r(5),5)·eq \f(\r(16k2＋1)\r(\f(9,16)＋1),|3k＋1|)
≥eq \f(6\r(5),5)×eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k×\f(3,4)＋1×1))2),|3k＋1|)＝eq \f(6\r(5),5)，
当且仅当k＝eq \f(3,16)时取等号，故|CD|的最小值为eq \f(6\r(5),5).
名师点拨：处理圆锥曲线最值问题的求解方法
1．几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
2．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
【变式训练】
(2024·湖南三湘创新发展联合体联考)在直角坐标系xOy中，动点P到直线x＝4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l：x＝my－1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值．