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数学必修 第一册4.4 对数函数优质学案
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这是一份数学必修 第一册4.4 对数函数优质学案，文件包含对数运算与对数函数-讲义教师版docx、对数运算与对数函数-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共44页， 欢迎下载使用。
对数运算与对数函数
一、 对数和对数运算
1. 对数的概念
（一） 对数的定义与对数恒等式
一般地，如果 （且）的 次幂等于 ,即
,
那么就称 是以 为底 的对数，记作
,
其中， 叫做对数的底数，叫做底数的真数.
根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：
当，时，.
由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下结论：
①和 没有对数；
②
③
④对数恒等式：由
可得：
，
=
（二）常用对数和自然对数
通常将以为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数简记为.
在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为自然对数.
是一个无理数，正数 的自然对数一般简记为.
经典例题
1. 若
，则
．
2. 计算：．
巩固练习
3. 计算：（ ）．
A.B.C.D.
4.．
2. 对数的运算性质
根据指数幂的运算性质，我们可以得到对数的运算性质：
①积的对数等于对数的和：
推广：
②商的对数等于对数的差：
③
其中，且，，.
经典例题
5.．
6. 已知，则的最小值为．
7. 若，则 （ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
8. 设，，，则（ ）．
A.B.C.D.
9. 已知，则的最小值是．
10. 如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项
是（ ）．
A. B. C. D.
是区间是区间是区间是区间
上的减函数，且上的增函数，且上的减函数，且上的减函数，且
二、 对数换底公式及其变形
设，则，于是
根据前面介绍的对数的运算性质
可得：
即有
我们把上式叫做对数换底公式．
经过变形，我们还可以得到：
①
②
③
．
由③可得：
④
；
⑤
⑥
以上
．
经典例题
11. 化简
＝
．
12. 若，，则（ ）．
A.B.
C.D.
13. 已知，则．
巩固练习
14. 已知
，
，则
可表示为
．
15. 设，且，则（ ）．
A.B.C.D.
16. 设，，则（ ）．
A.B.C.D.
三、 对数函数
1. 对数函数的定义
为了求（且）当中的 ，我们把改写成对数式为
（且）
对于每一个给定的 ，都有唯一的 与之对应，把 看成自变量， 就是因变量，这样我们就得到了
一个新函数！
习惯上，我们一般用 表示自变量， 表示因变量。故我们可以把上述函数改写为
（且）.
一般地，我们将这一函数叫做对数函数，它的定义域是.
经典例题
17. 下列函数是对数函数的是（ ）．
A.
B. C. D.
且
且
18. 已知函数的定义域为 ，则实数 的取值范围是．
巩固练习
19. 函数
是对数函数，则实数 的范围为
．
20. 已知函数．
（ 1 ）当时，求函数 的定义域．
（ 2 ）当函数 定义域为 时，求实数 的取值范围．
2. 对数函数的图象和性质
图 象
定义域值域定点
过定点
单调性在 上是函数在 上是函数
性
质
值变化
时，
时，
时，
时，
底数对图象的影响
越
，图象越靠近
轴
越
，图象越靠近
轴
经典例题
21. 函数的图象恒过定点 ，若点 在直线上，其中，
，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
22. 函数①，②，③，④的图象如右图，则 、 、 、 的大小关
系是（用 连接）.
23. 已知函数，则的单调递增区间为．
24. 函数的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
25. 函数
的图象恒过定点 ，则点 的坐标为
．
26. 如图，已知 ， 是函数图象上的两点， 是函数图象上的一点，且
直线 垂直于 轴，若是等腰直角三角形（其中 为直角顶点），则点 的横坐标
为．
B
A
C
O
27. 关于函数，有下列命题：
①函数的图象关于 轴对称；
②当时，是增函数；当时，是减函数；
③函数的最小值是 ；
④当或时，是增函数．
其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都填上）
28.
已知函数，若对于任意实数 ，总存在实数 ，使得成立，则实
数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
3. 对数函数的应用
(一) 解对数方程
①解对数方程的基本思路是除了将对数式作为整体外，还力求将未知数都置于同底的对数中．
②与指数方程不同，解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形的过程中，如果未知数的允许值范围增大那么可能产生增解．
③对于括号内含有指数式的方程，可将对数方程化为指数方程求解．
经典例题
29. 解下列方程：（ 1 ）
（ 2 ）；
（ 3 ）．
30. 已知，且，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
31. 方程
的解集为
．
32. 已知，若，，则 （ ）．
A.B.C.D.
(二) 利用对数比大小①底数相同真数不同
当底数大于1时，真数越大函数值越大．当底数小于1时真数越大函数值越小．②底数不同真数相同
可采用函数图象法，将两个不同底数的对数函数图象画在同一个坐标系中，当取同一个真数时，即可比
较大小，也可取倒数，化为同底数指数，不过须注意正负．
③底数不同真数不同
找中间值（一般为 或 ），用原来的两个值与中间值比较．
经典例题
33. 设，，，则（ ）．
A.B.C.D.
34. 设，，，则()
A.B.C.D.
35. 若，则（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
36. 设，，，则 ， ， 的大小关系是()
A.B.C.D.
37. 已知，，，则 ， ， 的大小关系是()
A.B.C.D.
38. 已知，．设，，，则()
A.B.C.D.
（三）解对数不等式
①在解决对数不等式时，常将对数式作为一个整体，先求解不等式中对数式整体的范围；
②或者将不等号两侧转化为同底的对数形式，再根据对数式的单调性等求解未知数的范围．
③如果对数底数不确定，须分类讨论；
④所求得解必须满足原不等式中所有对数的定义域要求．
例题讲解
39.．
40. 实数 满足不等式，则函数的值域为．
41. 已知，则实数 的取值范围是．
巩固练习
42. 已知
，且
，若函数
有最大值，则关于 的不等式
的解集为．
43. 已知函数（常数）．
（ 1 ）当（ 2 ）当
时，求不等式
时，求
的解集．
的最小值．
44. 若，则实数 的取值范围是_________．
四、 反函数（选学）
1. 反函数的定义和求法
（一）反函数与指对函数
研究对数函数时，我们利用指数和对数之间的关系，由指数函数引出对数函数的概念．
由定义域为、值域为的指数函数得到定义域为
、值域为的对数函数．对数函数的定义域、值域分别
是指数函数的值域和定义域．这时我们就说，对数函数是指数函数
的反函数．
通常，我们用自变量 表示自变量， 表示函数．为此将
写成
．一般地，对数
函数与指数函数互为反函数，它们的定义
域和值域正好互换．
（二）求反函数的一般步骤
（1）从原函数中解出 ；
（2）对调 和 ；
（3）写出反函数的定义域（需求原函数的值域）．
特别地，对于分段函数的反函数，先分段求，再合在一起写出解析式（仍为分段函数）．
经典例题
45. 已知点在函数的图象上，则的反函数．
巩固练习
46. 已知函数
是
（
，
）的反函数，则函数
的图象
恒过定点．
2. 反函数存在性定理
函数，存在反函数 在 上， 与 是一一对应，即任给 ，,，有
；
在 上的单调函数必有反函数；反之不然，如
有反函数，但它在定义域上不单调．
经典例题
47. 函数在区间上存在反函数的充分必要条件是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
48. 函数
在
上不存在反函数，则实数 的取值范围为
．
3. 反函数的图象与性质
（1）原函数图象与反函数的图象关于直线
对称；
（2）原函数上点关于直线的对称点在反函数上；
（3）互为反函数的两个函数在对应的区间上具有相同的单调性．
经典例题
49. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
50. 已知，则函数（，且）与函数（，且
）的图像可能是（ ）．
A.B.
C.D.
51. 若 满足， 满足，则=．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
52. 已知函数，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
53. 已知，，，，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A.B.C.D.
54. 函数的单调递增区间为（ ）．
A.B.
C.D.
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对数运算与对数函数
一、 对数和对数运算
1. 对数的概念
（一） 对数的定义与对数恒等式
一般地，如果 （且）的 次幂等于 ,即
,
那么就称 是以 为底 的对数，记作
,
其中， 叫做对数的底数，叫做底数的真数.
根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：
当，时，.
由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下结论：
①和 没有对数；
②
③
④对数恒等式：由
可得：
，
=
（二）常用对数和自然对数
通常将以为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数简记为.
在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为自然对数.
是一个无理数，正数 的自然对数一般简记为.
经典例题
1. 若
，则
．
2. 计算：．
巩固练习
3. 计算：（ ）．
A.B.C.D.
4.．
2. 对数的运算性质
根据指数幂的运算性质，我们可以得到对数的运算性质：
①积的对数等于对数的和：
推广：
②商的对数等于对数的差：
③
其中，且，，.
经典例题
5.．
6. 已知，则的最小值为．
7. 若，则 （ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
8. 设，，，则（ ）．
A.B.C.D.
9. 已知，则的最小值是．
10. 如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项
是（ ）．
A. B. C. D.
是区间是区间是区间是区间
上的减函数，且上的增函数，且上的减函数，且上的减函数，且
二、 对数换底公式及其变形
设，则，于是
根据前面介绍的对数的运算性质
可得：
即有
我们把上式叫做对数换底公式．
经过变形，我们还可以得到：
①
②
③
．
由③可得：
④
；
⑤
⑥
以上
．
经典例题
11. 化简
＝
．
12. 若，，则（ ）．
A.B.
C.D.
13. 已知，则．
巩固练习
14. 已知
，
，则
可表示为
．
15. 设，且，则（ ）．
A.B.C.D.
16. 设，，则（ ）．
A.B.C.D.
三、 对数函数
1. 对数函数的定义
为了求（且）当中的 ，我们把改写成对数式为
（且）
对于每一个给定的 ，都有唯一的 与之对应，把 看成自变量， 就是因变量，这样我们就得到了
一个新函数！
习惯上，我们一般用 表示自变量， 表示因变量。故我们可以把上述函数改写为
（且）.
一般地，我们将这一函数叫做对数函数，它的定义域是.
经典例题
17. 下列函数是对数函数的是（ ）．
A.
B. C. D.
且
且
18. 已知函数的定义域为 ，则实数 的取值范围是．
巩固练习
19. 函数
是对数函数，则实数 的范围为
．
20. 已知函数．
（ 1 ）当时，求函数 的定义域．
（ 2 ）当函数 定义域为 时，求实数 的取值范围．
2. 对数函数的图象和性质
图 象
定义域值域定点
过定点
单调性在 上是函数在 上是函数
性
质
值变化
时，
时，
时，
时，
底数对图象的影响
越
，图象越靠近
轴
越
，图象越靠近
轴
经典例题
21. 函数的图象恒过定点 ，若点 在直线上，其中，
，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
22. 函数①，②，③，④的图象如右图，则 、 、 、 的大小关
系是（用 连接）.
23. 已知函数，则的单调递增区间为．
24. 函数的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
25. 函数
的图象恒过定点 ，则点 的坐标为
．
26. 如图，已知 ， 是函数图象上的两点， 是函数图象上的一点，且
直线 垂直于 轴，若是等腰直角三角形（其中 为直角顶点），则点 的横坐标
为．
B
A
C
O
27. 关于函数，有下列命题：
①函数的图象关于 轴对称；
②当时，是增函数；当时，是减函数；
③函数的最小值是 ；
④当或时，是增函数．
其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都填上）
28.
已知函数，若对于任意实数 ，总存在实数 ，使得成立，则实
数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
3. 对数函数的应用
(一) 解对数方程
①解对数方程的基本思路是除了将对数式作为整体外，还力求将未知数都置于同底的对数中．
②与指数方程不同，解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形的过程中，如果未知数的允许值范围增大那么可能产生增解．
③对于括号内含有指数式的方程，可将对数方程化为指数方程求解．
经典例题
29. 解下列方程：（ 1 ）
（ 2 ）；
（ 3 ）．
30. 已知，且，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
31. 方程
的解集为
．
32. 已知，若，，则 （ ）．
A.B.C.D.
(二) 利用对数比大小①底数相同真数不同
当底数大于1时，真数越大函数值越大．当底数小于1时真数越大函数值越小．②底数不同真数相同
可采用函数图象法，将两个不同底数的对数函数图象画在同一个坐标系中，当取同一个真数时，即可比
较大小，也可取倒数，化为同底数指数，不过须注意正负．
③底数不同真数不同
找中间值（一般为 或 ），用原来的两个值与中间值比较．
经典例题
33. 设，，，则（ ）．
A.B.C.D.
34. 设，，，则()
A.B.C.D.
35. 若，则（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
36. 设，，，则 ， ， 的大小关系是()
A.B.C.D.
37. 已知，，，则 ， ， 的大小关系是()
A.B.C.D.
38. 已知，．设，，，则()
A.B.C.D.
（三）解对数不等式
①在解决对数不等式时，常将对数式作为一个整体，先求解不等式中对数式整体的范围；
②或者将不等号两侧转化为同底的对数形式，再根据对数式的单调性等求解未知数的范围．
③如果对数底数不确定，须分类讨论；
④所求得解必须满足原不等式中所有对数的定义域要求．
例题讲解
39.．
40. 实数 满足不等式，则函数的值域为．
41. 已知，则实数 的取值范围是．
巩固练习
42. 已知
，且
，若函数
有最大值，则关于 的不等式
的解集为．
43. 已知函数（常数）．
（ 1 ）当（ 2 ）当
时，求不等式
时，求
的解集．
的最小值．
44. 若，则实数 的取值范围是_________．
四、 反函数（选学）
1. 反函数的定义和求法
（一）反函数与指对函数
研究对数函数时，我们利用指数和对数之间的关系，由指数函数引出对数函数的概念．
由定义域为、值域为的指数函数得到定义域为
、值域为的对数函数．对数函数的定义域、值域分别
是指数函数的值域和定义域．这时我们就说，对数函数是指数函数
的反函数．
通常，我们用自变量 表示自变量， 表示函数．为此将
写成
．一般地，对数
函数与指数函数互为反函数，它们的定义
域和值域正好互换．
（二）求反函数的一般步骤
（1）从原函数中解出 ；
（2）对调 和 ；
（3）写出反函数的定义域（需求原函数的值域）．
特别地，对于分段函数的反函数，先分段求，再合在一起写出解析式（仍为分段函数）．
经典例题
45. 已知点在函数的图象上，则的反函数．
巩固练习
46. 已知函数
是
（
，
）的反函数，则函数
的图象
恒过定点．
2. 反函数存在性定理
函数，存在反函数 在 上， 与 是一一对应，即任给 ，,，有
；
在 上的单调函数必有反函数；反之不然，如
有反函数，但它在定义域上不单调．
经典例题
47. 函数在区间上存在反函数的充分必要条件是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
48. 函数
在
上不存在反函数，则实数 的取值范围为
．
3. 反函数的图象与性质
（1）原函数图象与反函数的图象关于直线
对称；
（2）原函数上点关于直线的对称点在反函数上；
（3）互为反函数的两个函数在对应的区间上具有相同的单调性．
经典例题
49. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
50. 已知，则函数（，且）与函数（，且
）的图像可能是（ ）．
A.B.
C.D.
51. 若 满足， 满足，则=．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
52. 已知函数，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
53. 已知，，，，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A.B.C.D.
54. 函数的单调递增区间为（ ）．
A.B.
C.D.
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