山东省济南市高新区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷+解析卷）

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第I卷（选择题共48分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3. 如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的各种判定方法解题即可．
【详解】解：A、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，，根据一组对边平行且相等的两个四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，能符合题意；
D、，不能判定四边形是平行四边形，符合题意．
故选：D．
4. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）

A. 2B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长．
【详解】解：∵沿方向平移至处．
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
5. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍C. 不变D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】将分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案．
【详解】解：分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么新分式为，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变．
6. 如图 4×4 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）

A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B
为旋转中心．
故选B
【点睛】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段延长线上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用旋转的性质及三角形内角和定理解题即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上，
∴,
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，能够熟练运用性质求角度是解题关键．
8. 如图，，分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
先得出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
【详解】解：设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油车每千米所需的费用为元，
可列方程为，
故选：D．
9. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
过A作于，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解．
【详解】过A作于点D，
在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，
，
，
是等腰三角形，，
，
，
，
且，
，
故选：D．
10. 已知,且，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得．
【详解】解：，
，
，
，
这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
，
．
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
注意事项：
1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题∶（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 分解因式______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提取公因式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式．提取公因式，即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点向上移动5个单位长度后的对应点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-图形的平移，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．据此求解即可．
【详解】解：点向上移动5个单位长度后的对应点的坐标是，即．
故答案为：．
13. 如图，的对角线相交于点．则的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分、对边相等的性质是解题关键．根据平行四边形的性质得出，，进而可得的周长．
【详解】解：∵的对角线相交于点．
∴，，
∴的周长为．
故答案为：
14. 夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 _____m．
【答案】140
【解析】
【详解】将小桥横，纵两方向都平移到一边可知，小桥总长中矩形周长的一半，为140m．
15. 若关于x的方程无解，则a的值是________．
【答案】2或1
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，所给分式方程无解时存在两种情况，一种是存在增根，另一种是化为整式方程后，整式方程无解，分情况计算即可．
【详解】解：，
等式两边同时乘以，得，
，
当或时，原方程无解．
当时，，则，解得，
当时，解得，
综上可知，a的值是2或1，
故答案为：2或1．
16. 在四边形ABCD中，ADBC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 ______时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】4s或s
【解析】
【分析】分点F在线段BM上和点F在线段CM上，两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得t＝4，
综上所述，t＝4s或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活运用分类思想是解题的关键．
三、解答题∶（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式，以及熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
18. 解分式方程：．
【答案】原分式方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解分式方程即可．
【详解】解：
方程两边同乘以，
得，
化简得，
解得：，
经检验是增根，原分式方程无解．
19. 先化简，再求值：求：，在1，﹣1，2三个数中选一个适合的数，说明理由并代入求值．
【答案】；当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内的通分，再进行除法运算，化简后代入合适的数即可，正确利用分式的运算法则进行计算是解题的关键．
【详解】解：原式•
•
；
当a取1，﹣1时，原式无意义，
当时，原式．
20. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
（2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标；
（3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
（3），
【解析】
【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称：
（1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可．
（2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可．
（3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心．
【小问1详解】
如图所示，点的坐标为 ．
【小问2详解】
如图所示， ．
【小问3详解】
可看作以点为旋转中心，旋转得到的．
故答案为：，
21. 如图，已知，是的角平分线，交于点．

（1）求证：；
（2）若点是的中点，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质证得，进而利用角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边证得结论；
（2）先根据平行四边形的性质和平行线的性质求得，再等量代换可得到，然后根据等腰三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴．
∴，
∴；
小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，又，
∴．
∴．
22. 如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据四边形的性质得出，，证明，得出即可；
（2）根据，得出，，证明，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在与中
，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：连接、．
由（1）得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
23. 在数学课上，老师出了这样一道题：甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．求高铁列车从甲地到乙地的时间．
老师要求同学先用列表方式分析再解答．下面是两个小组分析时所列的表格：
小组甲：设特快列车的平均速度为km/h．
小组乙：高铁列车从甲地到乙地的时间为h．
（1）根据题意，填写表格中空缺的量；
（2）结合表格，选择一种方法进行解答．
【答案】（1）见解析；（2）5h．
【解析】
【分析】（1）根据两车速度之间的关系及时间=路程÷速度（速度=路程÷时间），即可找出表格中空缺的量；
（2）任选一种方法，利用乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h（或高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍），即可得出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：（1）补全表格如下：
小组甲：设特快列车的平均速度为km/h．
小组乙：高铁列车从甲地到乙地的时间为h．
（2）选择小组甲：由题可得，，
解得，经检验，x是原分式方程的解，符合题意．
则．
故高铁列车从甲地到乙地的时间为5h．
选择小组乙：由题可得，
解得，经检验y是原分式方程的解，符合题意．
故高铁列车从甲地到乙地的时间为5h．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24. 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，，，，长方形①的体积为． 类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3），；
（4）
（5）252
【解析】
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得．
【小问1详解】
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意，得到几何体的体积为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③体积为，
故答案为：，．
【小问4详解】
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
【小问5详解】
解：，，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
25. 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
（1）若，试判断： 0（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由；
（3）小明和小红两次购物均买了同一种商品，小明两次都买了m千克该商品，小红两次购买该商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a，b是整数，且）．请用代数式表示小明和小红每次所购商品的平均价格并用作差法比较两人每次所购买商品的平均价格的高低．
【答案】（1）＞ （2）
（3）小明两次购买商品的平均价格为， 小红两次购买商品的平均价格为，小明两次购买商品的平均价格高于小红两次购买商品的平均价格
【解析】
【分析】本题考查分式加减法，完全平方公式，平方差公式等．
（1）根据题意先通分，再计算，即可得到本题答案；
（2）根据题意作差法即可得到本题答案；
（3）根据题意先计算出小明和小红两次购买商品的平均价格，再利用作差法即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：＞；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：小明两次购买商品的平均价格为，
小红两次购买商品的平均价格为，
∴，
∴小明两次购买商品平均价格高于小红两次购买商品的平均价格．
26. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证 ，得．
（2）类比引申：
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
（3）联想拓展：
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1）
（2）仍有；理由见解析
（3）猜想：．理由见解析
【解析】
【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【小问1详解】
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，
∵，
∴，点F、D、G共线，
则，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
仍有；理由如下：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
【小问3详解】
猜想：．理由如下：
把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：
则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键．时间/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高铁列车
1400
特快列车
1400
时间/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高铁列车
1400
特快列车
1400
时间/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高铁列车
1400
特快列车
1400
时间/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高铁列车
1400
特快列车
1400