山东省济南市历城区济南稼轩学校2023-2024学年八年级下学期期中模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义解答．
【详解】解：中不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．
3. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
故选项A、B、D描述正确，不符合题意；
∵，
∴
故选项C描述错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
【详解】多项式的公因式为．
故选D．
【点睛】本题考查了公因式的定义，一个多项式各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．
5. 把分式中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A. 缩小为原来的B. 不变
C. 扩大为原来的10倍D. 扩大为原来的5倍
【答案】A
【解析】
【分析】先把分式中的x、y用5x，5y代替，再把所得式子与原式相比较即可．
【详解】把中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则变为，
故选A.
【点睛】本题考查的是分式的性质，熟练掌握分式是解题的关键.
6. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移项解出不等式的解集，再结合选项答案进行对比选择．
【详解】解不等式得：
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点是的边上任一点，已知的顶点坐标为，，，将平移后得到，若点的对应点的坐标是，则点P的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点的横坐标减去了4，纵坐标减去了1，所以的平移方法是：先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到答案．
【详解】解：平移后对应点的坐标是，
的平移方法是：先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，
点的平移方法与点的平移方法是相同的，
平移后的坐标是：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
8. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当时，，得
由函数图象可知，关于x的不等式的解集为，
故选：C．
9. 如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：作MH⊥DE于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，
∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°，
∴∠2=60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1，
∴∠5=∠6=30°，
∴△MDE为等腰三角形，
∴DH=EH=，
在Rt△MDH中，MH=DH=×=，
∴S△MDE=×1×=．
故选D．
10. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF，现有如下结论：①BF=2；②；③AD平分∠CAB；④AF=；⑤∠CAF=∠CFB，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ②③④⑤D. ①②④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质可判断①；先证明△ACD≌△CBF，可判断②；根据中线和角平分线的定义可判断③；根据中垂线的性质和勾股定理和判断④；根据△ACD≌△CBF，可判断⑤.
【详解】①∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，
∴BD=CD=2，∠CAB=∠CBA=45°，
∵BF∥AC，DF⊥AB于点E，
∴∠FBA=∠CAB=45°，∠DEB=90°，
∴∠DBF=90°，∠BDF=45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BF=BD=CD=2；即结论①正确；
②如下图，∵在△ACD和△CBF中，AC=BC，∠ACD=∠CBF=90°，CD=BF，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF+∠CAD=90°，
∴∠AOC=90°，
∴AD⊥CF；即结论②正确；

∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，但不是△ABC的角平分线；即结论③错误；
由①可知，△BDF中，BD=BF，BE⊥DF，
∴AE是DF的垂直平分线，
∴AF=AD，
∵在△ACD中，∠ACD=90°，AC=4，CD=2，
∴AD=，
∴AF=，即结论④正确；
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
∵AD=AF，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF，
∵BF∥AC，
∴∠ACF=∠CFB，
∴∠CAF=∠CFB；即结论⑤正确.
综上所述，正确结论是①②④⑤.
故选D.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质和判定是关键.
二、填空题（共6小题，共24分）
11. 把多项式分解因式的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 若分式的值为零，则=_______．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件得到|x|-3=0且x-3≠0，解方程即可确定x的值．
【详解】根据题意得|x|-3=0且x-3≠0，
解|x|-3=0得x=3或-3，
而x-3≠0，
所以x=-3．
故答案为-3．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0．
13. 已知，则代数式的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，再整体代入变形后的代数式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的求值，熟练把条件变形再整体代入计算是解本题的关键．
14. 已知关于的分式方程有增根，则的值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根；熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键．根据分式方程的求解方法求出，再由是方程的增根，得到等式，即可求解．
【详解】解：将变形为，
方程两边同时乘以，得：
，
∴．
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB方向平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离为_____．

【答案】2
【解析】
【详解】∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABED的面积等于8，AC=4，
∴平移距离BE=8÷4=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
16. 已知，直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点逆时针旋转得．连接，则线段的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的旋转变换．设直线交轴于，可得，，，，当在直线上运动时，的轨迹是将直线绕点逆时针旋转得到的一条直线，设直线交轴于，过作于，当运动到时，过轴于，可得，直线解析式为，令得，，从而可得，在中，由勾股定理求得，即得当运动到时，的最小值即为的长3．
【详解】解：设直线交轴于，
在中，令得，令得，
∴，，
点与点关于轴对称，
∴，，
绕点逆时针旋转得，
当在直线上运动时，的轨迹是将直线绕点逆时针旋转得到的一条直线，
设直线交轴于，过作于，当运动到时，过轴于，如图：
由已知可得：是等边三角形，
，，
，，
∴，
由，可得直线解析式为，
令得，
，，
取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
，
在中，
，
由勾股定理得，
当运动到时，的最小值即为的长3，如图：
故答案为：3．
三、解答题（共10小题）
17. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．
（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解不等式（组）：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2），不等式组的整数解是，0，1
【解析】
【分析】（1）运用解一元一次不等式的法则计算，并把解集表示在数轴上即可解答；
（2）把每个不等式的解集求出，再合并两个不等式的解集，并在不等式组的解集中寻找整数解，即可解答．
【小问1详解】
解：去括号：，
移项得：，
合并同类项得：，化系数为1得：，
所以原不等式的解集是：，
在数轴上表示为：
【小问2详解】
(2)解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故该不等式组的解集是：，
∴该不等式组的整数解是，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求一元一次不等式组的整数解，熟练运用口诀求出不等式组的解集是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】先通分，然后化除为乘，根据，，进行约分，然后代值求解即可．
【详解】
；
∵,
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握，，对分式进行化简，注意分式有意义的条件．
20. 解方程：
（1）＝4
（2）
【答案】（1）x=1 （2）无解
【解析】
【分析】（1）两边同乘，去括号，移项合并同类项，进行计算即可得；
（2）方程两边同乘以得，进行计算即可得．
【小问1详解】
解：
两边同乘得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得，
检验：当时，，
∴方程的解为：；
【小问2详解】
解：
方程两边同乘以得，，
整理得，，
系数化为1得，，
检验：当时，，
则是原方程的增根，
∴方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法，解分式方程注意材检验．
21. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.

【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．
详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．
∵D为的AC中点，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等边三角形．
点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．
22. 如图在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，﹣4)，B(0，﹣4)，C(1，﹣1)．
（1）画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形A1B1C1；
（2）将（1）中所得A1B1C1先向左平移4个单位再向上平移2个单位得到A2B2C2，画出A2B2C2；
（3）若A2B2C2可以看作ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）(﹣3，﹣1)
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）利用点平移坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）作B2B和AA2的垂直平分线，它们的交点为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
∵A1（4，-2），B1（4，0），C1（1，1），
∴A2（0，0），B2（0，2），C2（-3，3）；
（3）如图，△A2B2C2可以看作△ABC绕P点旋转得来，
作作B2B和AA2的垂直平分线可以发现两者交于点（-3，-1）
旋转中心P的坐标为（-3，-1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点睛】本题主要考查了平移作图，旋转作图，找旋转中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23. 某中学开展关于“构建书香校园”读书活动的实施方案，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明、品读祖国经典美文”，受到同学们的广泛关注，学校计划采购两类图书，通过市场了解，每套种图书的价钱是每套种图书价钱的倍，用4000元购买的种图书比用3000元购买的种图书多20套．
（1）种图书，种图书每套分别为多少元?
（2）现学校计划采购60套图书，且种图书数量不低于种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低?并求出最低费用．
【答案】（1）种图书每套150元，种图书每套100元
（2）购买种图书20套，则购买种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元
【解析】
【分析】（1）设种图书每套元，则种图书每套元，根据用4000元购买的种图书比用3000元购买的种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据种图书数量不低于种图书数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设种图书每套元，则种图书每套元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：种图书每套150元，种图书每套100元；
【小问2详解】
解：设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
种图书数量不低于种图书数量的一半，
，
解得，
当时，最小，最小值为7000，
此时（套），
答：学校购买种图书20套，则购买种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
24. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）
（2）7 （3）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先将原式变形，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
，
，，
原式；
【小问3详解】
是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，即，
是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解是解题关键．
25. 【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．
（1）【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
∵，，，
∴
∴ 三角形
∴的度数为 ．
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证．
（3）【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长．
【答案】（1）直角；
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
（2）如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．证明，利用勾股定理证明即可．
（3）过点C作于T，连接，设交于O．证明是等腰直角三角形，，设，则，利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
∵，，，
∴，
∴为直角三角形．
∴的度数为．
故答案为：直角；．
【小问2详解】
证明：如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由旋转的性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【小问3详解】
解：过点C作于T，连接，设交于O．∵，，
∴，
∵， ，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得或（负值舍弃），
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．