山东省济南市市中区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟．本考试不允许使用计算器．
选择题部分，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答均无效．
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
2. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
4. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 八边形B. 九边形C. 十边形D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
5. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
，
故选A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（ ）
A. x＞3B. x＜3C. x＜1D. x＞1
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
7. 已知关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案．
【详解】解；
去分母得：，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非正数，
∴，
∴且，
故选：C．
8. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误
【答案】C
【解析】
【详解】甲和乙的作法都正确：
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAC=∠ACN．
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO．
在△AOM和△CON中，
∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO．
∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形．
如图，
∵AD//BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠4．
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6．
∴∠1=∠3，∠5=∠4．
∴AB=AF，AB=BE．
∴AF=BE．
∵AF//BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
故选C．
9. 已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
10. 如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP∶DQ等于（ ）
A. 3∶4B. ∶C. ∶D. ∶
【答案】B
【解析】
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积是平行四边形面积的一半，可推出AF×DP=CE×DQ，根据线段比例关系设出AB=3a，BC=2a，然后在Rt△AFN和Rt△CEM中，利用勾股定理计算出AF、CE，再代入AF×DP=CE×DQ可得结果.
【详解】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：
，即．
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
∵∠DAB=60°，∴∠CBN=∠DAB=60°．∴∠BFN=∠MCB=30°
∵AB：BC=3：2，∴设AB=3a，BC=2a
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，∴BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a
由勾股定理得：FN=a，CM=a
∴
∴．∴，故选B．
【点睛】本题考查平行四边形中勾股定理的运用，关键是作出正确的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算出AF、CE.
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
12. 如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求线段长，涉及菱形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识，先由菱形性质确定是直角三角形，再结合等边三角形判定确定是等边三角形，从而得到菱形边长，最后在中，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案，熟练掌握菱形性质、等边三角形判定与性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键．
【详解】解：在菱形中，，，
是等边三角形，
，
在菱形中，，则是直角三角形，
是的中点，
，
故答案为：．
13. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【答案】3（a﹣1）2．
【解析】
【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15. 若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为________．
【答案】或## 或
【解析】
【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数，先用含a的式子表示出不等式组的解集，根据所有整数解的和为14，写出可能的整数解，进而得到关于a的不等式组，求出解集，再根据a为整数即可得出a的值．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
所有整数解的和为14，
分两种情况：
（1）整数解为2，3，4，5时，，
解得，
a为整数，
；
（2）整数解为，0，1，2，3，4，5时，，
解得，
a为整数，
；
综上可知，整数a的值为或，
故答案为：或．
16. 如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是_____．
【答案】2≤a+2b≤5．
【解析】
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【详解】解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
故答案为：2≤a+2b≤5
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
三、解答题（共10小题，共86分）
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
19. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，值为
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∴当时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【小问1详解】
证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
【小问2详解】
证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
22. 如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；
（2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于，
∴，
∴平行线与间的距离．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．
23. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）活动一更合算
（2）400元 （3）当或时，活动二更合算
【解析】
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解．
【小问1详解】
解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：元，活动二需付款：元，
∴活动一更合算；
【小问2详解】
设这种健身器材的原价是元，
则，
解得，
答：这种健身器材的原价是400元，
【小问3详解】
这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为：元，
活动二当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
③当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
综上：当或时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．
24. （1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状.
【详解】证明：（1）的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
又，
是等边三角形，
.
又，
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.
25. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】（1）
（2）
（3），9
【解析】
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
26. 在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．

（1）在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值；
（2）当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积．
【答案】（1）；
（2）（1）中结论成立，证明见解析；
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，即可得出答案；
（2）证明，即可求解；
（3）证明、均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，，则，在等边三角形中，，则，则，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，，根据，在中，用解直角三角形的方法即可求解．
【小问1详解】
解：，理由如下：
在中，，
则，
点D是的中点，
，
则，
,
为等边三角形，
；
【小问2详解】
解：（1）的结论成立，理由：
证明：延长交于点T，交于点N，

，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：当B、E、F共线时，如下图，连接，

根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是的中点，
则F、G、C共线，分别过点G、E作的垂线，垂足分别为H、M，交于点P，
，
则，
则
即，均为等边三角形，
，
由（1）知为等边三角形，
则，则A、M、P、G共线，
由（1）、（2）知，，
则，
在等边三角形中，，
则，
，
；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：

在中，，
，
由（1）、（2）可知，，
，
设，则，
，
，
即，
解得：，
；
综上，的面积为：或．
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键．