山东省济南市历城区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 （原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射升空．下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 把分式中，的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A. 缩小为原来的B. 不变
C. 扩大为原来10倍D. 扩大为原来的5倍
7. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
8. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知关于x的方程有增根，则a的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. ﹣5
10. 在中，，，为中点，连接，过点作于点，交于点．过点作交延长线于点，则下列结论正确的有（ ）个
①；②；
③连接，则有是等边三角形；
④连接，则有垂直平分；
⑤若，，则．
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 分解因式：______．
12. 如果分式的值为0，那么的值是______．
13. 如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则________．

14. 已知，满足，则的值为______．
15. 如图，在中，，将将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为_______．

16. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则的最小值为______．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 分解因式：
（1）
（2）
18. （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出它所有整数解．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，在，，，四个数中，选一个合适的数代入求值．
20 解方程：
（1）；
（2）．
21. 如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．

22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

（1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
（3）可看作由绕点旋转而成，在图中画出点位置并直接写出点坐标______．
23. 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
，两种型号车的进货和销售价格如下表：
（1）今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
24. 如图1，中，，，，平分，于点．动点从点出发沿线段以每秒2个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒4个单位的速度运动，运动时间为秒，交于点，当点到达点时，，同时停止运动．
（1）求______，______．
（2）当是直角三角形时，求的值；
（3）当时，求的值．
25. 综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
（1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①的度数等于______；
②线段，，之间数量关系为______．
（2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明．
（3）【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出以、、为三边构成的三角形的面积．型车
型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000