山东省济南市历下区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间120分钟 满分150分
第I卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．下列大学校徽的主体图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的定义，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2. 下列变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、中，是整式乘法，故本选项不符合题意；
B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
3. 若点向下平移2个单位长度得到对应点，则点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的平移．熟练掌握点坐标上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减是解题的关键．
根据点坐标上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减求解作答即可．
【详解】解：由题意知，点向下平移2个单位长度得到对应点的坐标是，
故选：B．
4. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴．
∴
故选A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
5. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质，根据题意，理解本次旋转的旋转角度等于，数形结合，由已知角度即可得到，熟记旋转性质，数形结合表示出旋转角是解决问题的关键．
【详解】解：如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处，
边旋转到边，即本次旋转的旋转角度等于，
点在一条直线上，
，
，
故选：C．
6. 如图，在中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，根据题意得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵在中，
∴
∵
∴．
故选：D．
7. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的变形，根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”逐项判断即可．
【详解】解：，变形正确，故A选项符合题意；
只有当时才成立，故B选项不合题意；
，故C选项不合题意；
，故D选项不合题意；
故选A．
8. 某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度．若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列分式方程，设第二小组的步行速度为，则第一小组的步行速度为，根据第一小组比第二小组早到达目的地，列出分式方程即可，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
【详解】解：设第二小组的步行速度为，则第一小组的步行速度为，
，
故选：A．
9. 如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边于点，连接，若的周长为10，则的周长为（ ）
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，涉及中垂线性质、平行四边形性质等知识，根据题意，由基本尺规作图得到是线段的中垂线，结合平行四边形性质、三角形周长及平行四边形周长的表示，数形结合，代值求解即可得到答案，熟记尺规作图-垂直平分线的做法是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，是线段的中垂线，
，
的周长为10，
，则，
在中，，，
周长为，
故选：B．
10. 如图1，在中，，点为对角线上的一个动点，连接，过点作于点．设为，图1中某条线段的长为，若表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的随的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【详解】解：A、由图1可知，若线段是，则随的增大先减小再增大，而由大变小的距离小于由小变大的距离，在点的距离是，在点时的距离是，，故选项错误；
B、由图1可知，若线段是，则随的增大越来越小，故选项错误；
C、由图1可知，若线段是，则随的增大越来越小，故选项错误；
D、由图1可知，若线段是，则随的增大先减小再增大，而由大变小的距离大于由小变大的距离，在点的距离是，在点时的距离是，，故选项正确；
故选：D．
第II卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：______．
【答案】######
【解析】
【分析】本题考查分解因式，直接利用提公因式法求解即可．掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如果分式的值为零，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】先将分式化简，再根据分式的值为0，可知分式分子的值为0，分母的值不为0，据此作答即可．
【详解】，
根据题意，有：，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式有意义的条件以及分式值为0的知识，掌握分式的化简的知识是解答本题的关键．
14. 已知是一个完全平方式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可以确定两平方项为，则一次项为，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：两平方项为，一次项为，
∴
解得：
故答案为：．
15. 回纹，因为其形状像汉字中的“回”字，所以又称之为回字纹，如图1．其作为一种古老而又丰富多变的装饰图案，自古以来便是中国文化的重要组成部分，回纹图案以简洁的美丽和深远的意义，深受人们的喜爱．如图2是小明在网格纸中画出的回纹图案，若网格纸中小正方形的边长为，则小明绘制的回纹图案的线段总长为______cm．
【答案】83
【解析】
【分析】本题考查的是图形的变化规律，根据图形可以看出，图形中包含个完整图形和最后的竖线段，从网格中可以看出，个完整图形的线段长为：，
【详解】解：由图形可以看出，图形中包含个完整图形和最后的竖线段，
其中1个完整图形为：
从网格中可以看出，个完整图形的线段长为：，
图形中的线段总长度为：，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至，依次类推，则的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式，画出示意图，并得出每旋转六次，点的坐标循环出现一次是解题的关键．
根据题中所给旋转方式，画出示意图，结合图形发现每旋转六次，点的坐标循环出现一次，据此可解决问题．
【详解】解：∵正六边形的内角为
∵每次旋转，旋转6次刚好围成正六边形，即每旋转六次，点的坐标循环出现一次，
如图所示，
因为余2，
所以点的坐标与点的坐标相同．
因为点与点关于轴对称，
所以点的坐标为，
则点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
当时，原式．
19. 如图，在平行四边形ABCD中，作∠BAD和∠BCD平分线分别交对角线BD于点E、F，求证：BF＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由在▱ABCD中，可证得AD=BC，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，又由∠BAD和∠BCD平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠DAE=∠FCB，继而可证得△ADE≌△CBF（ASA），由全等三角形的性质即可得到BF=DE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
∴∠ADB＝∠CBD．
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F，
∴∠EAD＝∠BAD，∠FCB＝∠BCD，
∴∠EAD＝∠FCB．
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA），
∴BF＝DE．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AED≌△CFB是证题的关键．
20. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）原分式方程无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟记方程的求解步骤，记得验根是解决问题的关键．
（1）先对分式分母因式分解，再利用分式方程求解步骤求解即可得到答案；
（2）根据分式方程的求解步骤求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
去分母得，解得，
检验，当时，，
原分式方程的解为；
【小问2详解】
解：，
去分母得，
，解得，
检验，当时，，则是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识．
（1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出；
（2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出；
（3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为．
【小问1详解】
解：解：如图，即为所求作的三角形：
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的三角形：
【小问3详解】
解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为．
22. 2023年8月世界机器人“开放创新，聚享未来”大会在北京召开，某工厂为促进智能化发展，引进了A，B两种型号的机器人搬运货品，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运，每个A型机器人搬运所用的时间与每个B型机器人搬运所用的时间相等．求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少货品？
【答案】A种机器人每小时运120千克，B种机器人每小时运90千克
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，注意要验根，正确列式是解题的关键．设A种机器人每个每小时搬运货品，则B种机器人每个每小时搬运货品，根据“每个A型机器人搬运所用的时间与每个B型机器人搬运所用的时间相等．”列式，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设A种机器人每个每小时搬运货品，则B种机器人每个每小时搬运货品，
∴
解得
经检验是原分式方程的根，
∴（千克）
∴A种机器人每小时运120千克，B种机器人每小时运90千克
23. 【阅读材料】
材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：．
材料2：类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：；
材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
【学以致用】请根据上述材料完成下列问题：
（1）将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式：
______；______；
（2）当时，随着的增大，分式的值______（填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由；
（4）请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式．
【答案】（1），
（2）减小 （3）3，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简以及有关运算，解题关键是理解已知条件中的真假分式的定义．
（1）把所求分式分别写成分子和分母相同的分式与另一个分式的形式，再把分子和分母相同的分式写成整式即可；
（2）根据（1）中的结果，先判断分式的增减性，从而判断真分式的增减性即可；
（3）把分式 写成整式与真分式和的形式，然后根据所写分式的增减性，从而进行判断即可；
（4）分式分子的前两项当作分子，把分式写成分母是的两个分式相加，把第一个分式约分，第二个分式写成整式与真分式和的形式，再进行化简即可．
【小问1详解】
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
，是随的增大而减小，
是随的增大而减小，
故答案为：减小；
【小问3详解】
分式 的值无限趋近3，理由如下：
，
随着的增大， 越来越小，无限趋近于0，
随着的增大，分式 的值无限趋近3；
【小问4详解】
，
．
24. 如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以．
（1）填空：写出8的一种倒分解：______；
（2）计算的值；
（3）若最大倒分解为，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）0
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，新型定义运算的运用以及分式方程的应用，在解答时找出新运算法则,以及分类讨论思想的应用是关键．
（1）8的倒数为，直接根据“倒分解”的定义写出即可；
（2）先根据“倒分解”的定义写出36的所有“倒分解”，然后找出两个乘数差最大的一种分解，即可求出；
（3）根据的最大倒分解为，讨论当时，当时，分别求出的值，再验证是否符合题意即可求解；
【小问1详解】
解： 8的倒数为，，
8的一种倒分解为．
【小问2详解】
解：的倒分解为：或或或
其中最大的倒分解，
【小问3详解】
的最大倒分解为：
① 当时，，
解得：经检验，是原方程的根，
当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去；
② 当时，，
解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0．
25. 如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值．
【答案】（1）
（2）20 （3）
【解析】
【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标；
（2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案；
（3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，
当时，，解得，
，
将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，
；
【小问2详解】
解：线段平移得到线段，
，且；
四边形是平行四边形，
，
延长交轴于点，如图所示：
设，
将代入得，
，
当时，，解得，
，
，
，
；
小问3详解】
解：连接相交于点，如图所示：
设，
将代入得，解得：，
，
联立，解得，
点坐标为，
将代入直线，解得．
【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．
26. （一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段和的关系是______；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）不成立，理由见解析；
（3）10
【解析】
【分析】本题考查了图形的旋转，三角形全等，等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
（1）通过证明，得到，即可证得；
（2）通过证明，得到，即可证得；
（3）在上取一点，使，证明，证得是等边三角形，，由此，即可求解；
【详解】解：（1）
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
又 ，，
，
，
又 ，，
．
（2）不成立，应为
由题意得，
是等边三角形
，即

又是等边三角形
，
即．
（3）在上取一点，使，
由题意得，，
由题意得，
，
是等边三角形，
，
即线段的长为10．
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
－1
无意义
1