云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1 化简：（ ）
A. 2B. -2C. 4D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】解：.
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据二次根式的性质化简．解题的关键是掌握二次根式的性质．
2. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，分母有理化．熟练掌握倒数，分母有理化是解题的关键．
的倒数为，然后进行分母有理化即可．
【详解】解：由题意知，的倒数为，
故选：C．
3. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故选A．
4. 四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）
A. ∠A+∠C=180°B. ∠B+∠D=180°
C. ∠A+∠B=180°D. ∠A+∠D=180°
【答案】D
【解析】
【分析】四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可，只有D选项符合．
【详解】解：A、如图1，∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
如果∠A＋∠C＝180°，
则可得：∠B＝∠C，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B、如图1，∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
如果∠B＋∠D＝180°，
则可得：∠A＝∠D，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
C、如图1，∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
再加上条件∠A＋∠B＝180°，
也证不出四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、如图2，
∵∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，判定方法共有五种：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
5. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式,据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断．
【详解】解：A、；不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
B、；不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
C、；是最简二次根式，故该选项正确，符合题意；
D、；不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C
6. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是：认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方是否相等，进而作出判断．利用勾股定理的逆定理，判断选项中所给边长是否满足即可．
【详解】解：A．，故A选项符合题意；
B． ，故B选项不符合题意；
C． ，故C选项不符合题意；
D． ，故D选项不符合题意；
故选A．
7. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
【答案】A
【解析】
【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分，
则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选A．
8. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式加减，乘除运算．熟练掌握二次根式加减，乘除运算是解题的关键．
根据二次根式加减，乘除运算对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、，故不符合要求；
B、，故符合要求；
C、，故不符合要求；
D、，故不符合要求；
故选：B．
9. 下列命题中是真命题是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是菱形B. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定即可得．
【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形，此项是假命题；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不一定是菱形，此项是假命题；
C、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此项是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此项是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题关键．
10. 如果正方形的对角线长是，则它的边长是（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理，设正方形的边长为x，正方形的对角线为，列出方程并解方程即可．
【详解】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线为，
∴由勾股定理得，,
∴．
故选：D．
11. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
【详解】解： A、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；
B、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；
C、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；
D、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．
故选B．
12. 如图，已知中，，，，那么边上的中线的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，先证明是直角三角形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
是直角三角形，
．
故选：C．
13. 如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则（ ）
A. 4B. 12C. 16D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由题意可知，，再根据勾股定理可求出．
【详解】解：∵，，
∴，．
中，，
∴．
故选C．
14. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的运算，根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故选：A．
15. 已知菱形的周长是20，其中一条对角线的长是8，则另一条对角线的长是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．
根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，，根据勾股定理即可求得的值．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵菱形周长为20，
∴，，
，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 的相反数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，相反数．熟练掌握算术平方根，相反数是解题的关键．
由题意知，，然后求相反数即可．
【详解】解：由题意知，，
3的相反数为，
故答案：．
17. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
18. 如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设的中点分别为M，N．若米，则_____．
【答案】6米##
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理计算即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵点分别是和的中点，
∴，
故答案为：．
19. 如图，为的边上一点，已知 ，，，，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形，即，在中利用勾股定理可得出的长度．
【详解】，，，
，
是直角三角形，，
是直角三角形，
在中，．
故答案为：
三、解答题（本大共8小题，共62分）
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算括号内的，然后再计算除法即可
【详解】解：


22. 如图，已知，是平行四边形的对角线上的两点，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定；先证，，，根据证出，从而得出．
【详解】证明：是平行四边形，
，，
．
又，
，
在与中，
，
，
．
23. 如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
【答案】梯子顶端A下落了0.5米．
【解析】
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【详解】解：在中，，
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：梯子顶端A下落了0.5米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
24. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长．
【答案】3
【解析】
【分析】在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的长，进而可求得CF长；由折叠的性质可得DE=EF，在△CEF中，利用勾股定理建立方程，可求得CE长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8．
∵△AEF是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=10，EF=DE，
∴BF=6，
∴FC=4，
∵FC2+CE2=EF2，
∴42+CE2=（8-CE）2，
解得CE=3．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握翻折前后的对应的线段相等及矩形的性质．
25. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE
求证：四边形BECD是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．
【详解】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴▱BECD是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．
26. 如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；
（2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于，
∴，
∴平行线与间的距离．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．
27. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析
（3）°，理由见解析
【解析】
【分析】（）结合再证明，即可求证四边形是平行四边形；
（）证明，即可求证四边形是菱形；
（）当时，四边形是正方形．证明即可求证．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
【小问2详解】
四边形是菱形，理由是：
D为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，D为中点，
，
平行四边形是菱形；
【小问3详解】
当时，四边形是正方形，理由是：
，，
，
，
D为中点，
，
，
四边形是菱形，
菱形是正方形，
即当时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，等腰三角形的性质，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键．