云南省昭通市巧家县大寨中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考查范围：第十六、十七章）
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：B．
2. 已知，则约为（ ）
A. 3.5B. 5.2C. 6.9D. 15.6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式．根据题目中的数据和二次根式的性质可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可；
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可．
详解】解：A、，选项错误；
B、不能合并，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选D．
5. 下列各式中化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质对各选项进行判断即可；
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】A.，该选项正确，符合题意；
B. ，该选项错误，不符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
6. 若，则等式成立的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质：．根据二次根式的被开方数是非负数以及二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：
，，
，
且，
，．
故选：．
7. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，6，8C. 6，8，10D. 5，7，8
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可；
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
【详解】A． ，以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． ，以4，6，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．,以5，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 下列各式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查同类二次根式，先将各个选项中的二次根式进行化简，化简的结果中被开方数为3的式子才能与合并，然后再进行判断即可．
【详解】解：，
∴四个式子中，只有D选项中的式子能与合并，
故选；D．
9. 平面直角坐标系中有两点和，则这两点之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得：，根据已知可得，然后利用勾股定理进行计算，即可解答；本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的定义是解题的关键．
【详解】由题意得：
点和
这两点之间的距离为
故选：C．
10. 在数轴上表示实数a的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A. 2B. 4C. D. 2a
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式；
故选：A．
11. 在如图所示的圆锥中，，底面半径，则圆锥的高为（ ）
A. 1B. 1.2C. 1.3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理直接求解即可．
【详解】解：由题意和勾股定理，得：；
故选B．
12. 三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A. 48B. 64C. 80D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：因为三个正方形的边构成一个直角三角形，且已知两个正方形的面积即为两条直角边的平方，
由勾股定理，得：正方形A的边长的平方等于
∴正方形A的面积为；
故选B．
13. 一个三角形的三边之比为，则这个三角形是（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理，利用设参法，根据勾股定理逆定理进行求解即可．
【详解】解：设三边长为：，
∵，
∴三角形为直角三角形；
故选A．
14. 如图，在中，，，垂直平分斜边，交于点D，E是垂足，连接，若，则的长是（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，由条件得到是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，，可求出，则可得到的长．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，，
，
，
．
故选：D．
15. 如图是由4个完全相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中大正方形的面积与阴影部分的面积之比为（ ）
A. 1：5B. C. 3：5D. 5：1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，运用数形结合是解题的关键．确定阴影部分面积在大正方形中占的比例即可．
【详解】解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，
根据勾股定理得大正方形的边长为，
大正方形的面积与阴影部分的面积之比，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 已知是整数，则正整数n的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键．
【详解】解：∵是整数，且n为正整数，
∴是一个为正的完全平方数，
∴正整数n的最小值为6，
故答案为：6．
17. 已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则这个三角形的面积为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．
【详解】解：如图，在中，，
过点A作于D，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_______________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，掌握逆命题中的题设与结论与原命题互换是解题的关键．
19. 勾股定理本身就是一个关于，，方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____.
【答案】（11，60，61）
【解析】
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．
【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合计算，先计算二次根式除法以及用平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
21. 已知，，求的值．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．先将代数式化为完全平方式，再代入计算求值即可．
【详解】解：将，代入：
．
22. 现有甲船和乙船在同一港口同时出发，甲船以海里时的速度向北方向航行，乙船以海里时的速度向东方向航行，求离开港口小时后两船之间的距离．
【答案】离开港口小时后两船之间的距离为海里．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，分别求出甲船和乙船小时航行的路程，再根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：小时后，
甲船向北航行了海里，
乙船向东航行了海里，
由勾股定理求得两船相距为海里，
答：离开港口小时后两船之间的距离为海里．
23. 如图，在四边形中，相交于点E，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理得到：，，据此即可证明结论．
【详解】解：∵，
∴．
∴由勾股定理得：，，
∴，
，
∴．
24. 八（1）班数学课外活动小组的同学想测量学校旗杆的高度，发现升旗的绳子从点A垂到地面的点B时还多出3米，将绳子向一侧拉直，使得绳子的端点C恰好在地面上，此时测得长为9米，根据以上信息，你能将旗杆的高度求出来吗？
【答案】能，旗杆的高度为12米．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先设杆长x米，则升旗的绳子长米，再根据勾股定理列式代数计算，即可作答．
【详解】解：设旗杆长x米，则升旗的绳子长米，
由题意知：图中，
∴由勾股定理得：，
即：，
解得，
答：旗杆的高度为12米．
25. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，由于某种原因，由点C到点A的路现在已经不通，为方便游客，决定从点C修一条通往河边的最短路线，在点D处重新建一个漂流点（点A，D，B在同一直线上），现测得，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求路线的长．
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析；
（2）路线CD的长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形的高：
（1）根据题意得到，利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形；
（2）由（1）知，，据此利用等面积法求解即可．
【小问1详解】
解：是直角三角形，理由如下：
在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴
∴
答：路线的长为．
26. 观察以下式子的化简过程：
①，
②，
③，
④，
……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：
（1）如果n为正整数，那么值为______；
（2）根据以上规律计算：的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查分母有理化：
（1）根据题干给定的等式，化简即可；
（2）先进行分母有理化，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
原式
．
27. 如图，把矩形沿折叠，使点B落在点D处，点C落在点G处，已知．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的长度；
（3）求的长度；
【答案】（1）见解析；
（2）的长度为；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用翻折得出，利用平行得出，从而得出，最终得出结果；
（2）设长，得出，在中，利用勾股定理得到，即，计算求解即可；
（3）根据已知再结合（1）易得，过点F作垂线，垂足为Q，得到，，结合第（2）问得出，再由勾股定理得出结果；
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此题利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【小问1详解】
证明：由题意知：折叠后为，
∴，
又∵，
∴，
∴综上可得：，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：设长，
∵折叠后是，
∴
由题意知，，
则在中，由勾股定理得：
，
即，
解得，
∴的长度为．
【小问3详解】
解：由第（1）问知：，
又∵，
∴，
∴，
过点F作的垂线，垂足为Q，
∴，，
由第（2）问知
∴，
∴．