2024年小升初数学专题 （通用版）-10 有理数的减法（原卷版+解析版）

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1．掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算；
2．会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题；
3．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算。
【思考1】下列四天中哪一天的温差最大？
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果.
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便.
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”.
考点1、有理数减法法则的辨析
【解题技巧】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
例1．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个负数相减，等于绝对值相减B．两个负数的差一定大于零
C．负数减去正数，等于两个负数相加D．正数减去负数，等于两个正数相减
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列结论不正确的是( )
A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0B．若a＜0，b＞0，则a－b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＞0D．若a＜0，b＜0，且|b|＞|a|，则a－b＞0
变式2．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零．
考点2、有理数的减法运算
【解题技巧】将减法转化为加法，根据加法法则计算即可。
例1．（2022·重庆七年级月考）给出下列计算：①②③④，其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）比1小5的数是（ ）
A．B．4C．D．6
变式1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算：（ ）
A．2B．1C．D．
变式2．（2023·天津滨海新·统考二模）计算的结果等于（ ）
A．0B．6C．9D．27
变式3．（2023·河北沧州·校考二模）与相等的是（ ）
A．B．C．D．
考点3、有理数加减法统一成加法
【解题技巧】有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式．
例1．（2022秋·四川眉山·七年级校考期中）把算式写成省略加号的形式为：______读法为：______．
例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把写成省略括号的和是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2022·广西梧州·七年级校考期中）把写成省略括号的形式后，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·四川广元·七年级统考期中）把写成省略括号的形式是（ ）
A． B． C． D．
考点4、有理数减法的实际应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）某市星期一到星期五的每日最高气温与最低气温的变化趋势图如图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．星期一的日温差最大 B．星期三的日温差最小
C．星期二与星期四的日温差相同 D．星期一的日温差是星期五日温差的倍
例2．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）如图是小强与他妈妈的对话，小强说：买笔记本花了元……，则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元．
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）某海滨浴场某日气温变化情况如图所示，该浴场气温在以上时才允许游泳，请根据图象分析该浴场在这一天开放的时间为（ ）
A．5小时B．8小时C．12小时D．10小时
变式2．（2023秋·山东济宁·六年级统考期末）仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高______℃．
变式3.（2022•玄武区期中）M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）
则A﹣B的值为（ ）
A．0.4B．﹣0.4C．6.8D．﹣6.8
考点5、有理数的加减混合运算
【解题技巧】有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果.
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便.
例1．（2022秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）（1）计算：．
（2）在计算“”时．甲同学的做法如下：
在甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是______（写出错误所在行的序号），请你写出正确的计算过程．
例2．（2023·山东·九年级专题练习）计算：
(1) (2)
变式1．（2022秋·广东韶关·七年级乐昌市乐昌实验学校校考期中）计算：
(1) (2)
变式2．（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）计算：
(1) (2)
变式3．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)．
考点6、有理数加减混合运算中的简便计算
【解题技巧】运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例1．（2022秋·山东泰安·六年级统考期中）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
例2.（2022·湖北宜昌七年级期中）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)

例3．（2022秋·广东七年级课时练习）观察下列等式
_________
将以上三个等式两边分别相加得：
.
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（3）探究并计算：．
变式1．（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）计算：
变式2．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
变式3．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）计算：能简算的要简算
(1)； (2)．
变式4．（2022秋·全国·七年级专题练习）
（1）； （2）；
（3）； （4）．
考点7、有理数加减混合运算的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（ ）．

A．元B．元C．元D．元
例2．（2022春·山东七年级期中）八年级甲班人，其中有人参加语文课外小组，有人参加数学兴趣小组，有人既参加语文课外小组又参加数学兴趣小组，其余的人参加文艺活动小组，则参加文艺活动小组的人有________人．
变式1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（ ）万元
A．3B．2.7C．2.6D．2.4
变式2．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图为福州地铁2号线地图的站点图，规定从苏洋到洋里方向为正，从洋里到苏洋方向为负．某天，小明参加志愿者服务活动，从金山站出发开始，到P站出站为止，本次志愿者服务活动结束．小明当天乘车站数先后顺序依次记录如下（单位；站）：
．
请通过计算确定P站的具体名称．
考点8、有理数加减混合运算的新定义
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期中）若“方框”表示运算，则“方框”______．
例2．（2023·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知表示小于或等于的最大整数，如：，，．现定义，如，则______________．
变式1．（2022·广东广州·七年级校考阶段练习）小时在电脑中设置了一个有理数的运算程序：．
(1)求的值；(2)求的值．
变式2．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）设表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算：(1)(2)
A级（基础过关）
1．（2023·河北秦皇岛·统考三模）下列各式的值最小的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·海南·七年级校考阶段练习）下列算式中正确的有( )
（1）；（2）；（3）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）下列计算中，不正确的是（ ）
A．（−6）+（−4）= 2 B．−9−（−4）= −5 C．| −9 | + 4 = 13 D．−9 − 4 = − 13
4．（2022·山东淄博·六年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数
C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零
5．（2022·浙江宁波·七年级统考期中）在(－5)－( )＝－7中的括号里应填( )
A．－12B．2C．－2D．12
6．（2023·天津河西·统考模拟预测）计算的结果等于（ ）
A．2B．8C．D．
7．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2022年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入4元B．支出4元C．收入96元D．支出96元
9．（2022秋·成都市·七年级专题练习）在计算时通常转化成，这个变形的依据是（ ）
A．移项B．加法交换律C．加法结合律D．乘法分配律
10．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）计算的结果是______．
11．（2023·湖北咸宁·统考一模）比小_______．
12．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶8844.43m，最低处位于亚洲西部名为死海的湖－415m，两处高度相差______m．
13．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，西峡因其独特的气候条件，所产猕猴桃内在品质优良，猕猴桃口感好，维生素含量高．小芸买了10箱西峡猕猴桃，每箱的标准重量是5千克，将超出标准重量的千克数记为正数，不足标准重量的千克数记为负数，记录结果如下：
，，，，，，，，0，．
(1)最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？(2)求这10箱西峡猕猴桃的总重量．
14．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期中）薛老师坚持跑步锻炼身体，他以30分钟为基准，超过30分钟的部分记为“”，不足30分钟的部分记为“”，将连续一周的跑步时间（单位：分钟）记录如下：
(1)这周薛老师跑步时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？
(2)如果薛老师跑步的平均速度为km/分钟，那么他这周一共跑了多少千米？
15．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
16．（2022秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)
B级（能力提升）
1．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若，则括号内的数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
3．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若a、b取正数，c、d取负数，则以下式中其值最大的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·浙江七年级期中）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中、分别表示一个数，则的值为（ ）
A．B．1C．或4D．或1
5．（2023秋·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·重庆·九年级专题练习）规定一种新运算：，如，那么的值是____．
7．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）一跳蚤在一条数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落到数轴上的点表示的数为__________．
8．（2022秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示．表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为______．
9．（2022秋·四川内江·七年级校考阶段练习）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站、下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
(1)中间第4站上车人数是________人，下车人数是________人；
(2)中间的6个站中，第_____站没有人上车，第______站没有人下车；
(3)中间第2站开车时车上人数是_____人，第5站停车时车上人数是_____人；
10．（2022·四川成都·七年级期末）请阅读北京冬奥会推广曲《一起向未来》的一小段乐谱，乐谱中的数字表示每小节音符的时间值，请根据乐谱中的信息确定最后一个音符的时间值应为 _____．
11．（2022秋·浙江七年级单元测试）如图，一辆货车从超市出发，向东走了千米到达小华家，继续向东走了千米到达小颖家，然后向西走了千米到达小明家，最后回到超市超市及小明家、小华家、小颖家的大小忽略不计．

(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置；(2)小明家距小华家多远？(3)货车一共行驶了多少千米？
12．（2022·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）某同学在计算时，误将－N看成了＋N，从而算得结果是， 请你帮助算出正确结果.
13．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）【问题探索】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为l）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长度为_____．
(2)图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____．
(3)【实际应用】由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话可知丽丽现在的岁数是_____，奶奶现在的岁数是_____．
C级（培优拓展）
1．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2024
2．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江绍兴·七年级校考期中）读一读，式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为，又知可表示为．通过对以上材料的阅读，计算（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏常州·七年级校考期中）小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（ ）．
A．0B．C．D．50
5．（2022·湖南·长沙市九年级期中）在50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有．则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有（ ）
A．17束B．18束C．19束D．20束
6．（2022·浙江金华·七年级统考期末）现定义一种新运算：，则___________
7．（2022秋·重庆·七年级校考阶段练习）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝_____．
8．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）若，则的负倒数是______．
9．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图的号码是由12位数字组成的，每一位数字写在下面的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于12，则x的值为________.
10．（2020·辽宁·沈阳市清乐围棋学校七年级阶段练习）已知a、b、c为整数，且，．若，则的最大值为________．
11．（2022·贵州·七年级阶段练习）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值是多少？（注：至少写出4个满足条件的m的值）；
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
12．（2022秋·成都市七年级期中）问题：能否将，，，，，这个数分成两组并分别求和，且使所求的两个和的差为？
解答：，要满足题设要求，需将这个数分成两组，一组的和为，另一组的和为，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：．
应用：在，，，，，，，，，这个数前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由
(2)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由．
13．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，b，
(1)探究性质：①例：_________；_________；_________；________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律；
(2)性质应用：①运用发现的规律求的值；
②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是 ．
14．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．
(1)根据题意，填写下列表格：
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？11月11日
11月12日
11月13日
11月14日
多云
南风级
阵雨
北风级
阵雨
北风级
晴
西北风级
两地的高度差
D﹣A
E﹣D
F﹣E
G﹣F
H﹣G
B﹣H
测量结果
3.3
﹣4.2
﹣0.5
2.7
3.9
﹣5.6
①
②
．③
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
甲厂
乙厂
星期
一
二
三
四
五
六
日
与30分钟的差值
星期三
＋8
星期四
星期五
－14
三天合计
＋3
停靠站
起点站
中间第1站
中间第2站
中间第3站
中间第4站
中间第5站
中间第6站
终点站
上下车人数
0
0


9


x



﹣2
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
___________
B点在数轴上的位置
___________
12
20