2024年小升初数学专题 （通用版）-17 整式的加减（原卷版+解析版）

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1. 掌握整式的加减的步骤；
2. 掌握化简求值的步骤；
3. 掌握整式比较大小的方法；
4. 掌握整式在实际中的应用；
【思考1】如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： .
交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加： .
在上面的问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
【思考2】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元. 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①将同类项找出，并置与一起； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②合并同类项。
注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
考点1、整式的加減运算
【解题技巧】整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①将同类项找出，并置与一起； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②合并同类项。
例1．（2022·内蒙古·统考二模）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·北京昌平·七年级校联考期中）已知，，则的结果为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·山东·七年级专题练习）多项式M加上多项式，粗心同学却误算为先减去这个多项式，结果得，则多项式M是____________．
考点2、多项式与多项式和差的结果
【解题技巧】多项式与多项式和（差）的结果次数小于等于两个多项式的最高次，项数小于等于两个多项式的项数之和。
例1．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（ ）
A．十次六项式B．十次三项式C．六次二项式D．四次二项式
例2．（2022秋·陕西西安·七年级统考期中）若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（ ）
A．八次多项式 B．四次多项式 C．次数不超过四次的多项式 D．次数不超过四次的代数式
变式1．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．三次多项式 B．七次多项式 C．四次多项式或单项式 D．四次七项式或三次多项式
变式2．（2022·云南·七年级校考期中）若是一个四次多项式，是一个二次多项式，则“”（ ）
A．可能是七次多项式B．一定是大于七项的多项式
C．可能是二次多项式D．一定是四次多项式
考点3、整式的化简求值
【解题技巧】切记先化简，再求值，不可直接带值入原式求值。
例1．（2023·广东·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
例2．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
变式1．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
变式2．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中，．
考点4、整式的比较大小
【解题技巧】常用作差法，利用整式加减和平方的非负性解题。
例1．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（ ）
A．B．C．D．无法确定
例2．（2023·河北邢台·统考二模）已知，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C．、可能相等 D．、大小不能确定
变式1．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）若，，则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
变式2．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）若，，则A、B的大小关系（ ）
A．B．C．D．不能确定
考点5、整式的加减（不含某项）
【解题技巧】此类问题本质还是考查整式加减，再根据不含项的系数为零，建立方程解答即可。
例1．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）多项式与多项式相加后，不含一次项，则常数的值（ ）
A．2B．4C．D．
例2．（2022秋·湖南益阳·七年级统考阶段练习）已知，．若计算的结果与字母b无关，则a的值是______．
变式1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，求的值（ ）
A．B．1C．3D．
变式2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）当m=________时，关于x的多项式 与多项式的和中不含项．
考点6、整式的加减（遮挡问题）
例1．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·河北邯郸·二模）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值．
变式1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）以下是嘉淇做填空题的结果：，已知她的计算结果是正确的，但“”处被墨水弄脏看不清了，“”处应是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023秋·山西大同·七年级校考期末）疫情期间，亮亮的父母只要有时间就陪孩子一起完成家庭作业，在某天晚上，亮亮准备完成作业：化简时发现“”处系数“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，请你帮亮亮化简：；
(2)爸爸说：“你猜错了，我们看了标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明来帮助亮亮得到原题中“ ”是几．
考点7、整式的实际应用
【解题技巧】
例1．（2022秋·江苏镇江·七年级校考期中）已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学依次取糖果，按先后顺序依次递减相同的量来取，正好取完．若丙同学取了15颗糖果，则共有糖果（ ）颗
A．75B．70C．65D．60
例2．（2022·山西吕梁·七年级统考期末）如图是长为30，宽为20的长方形纸片，将长方形纸片四个角分别剪去一个边长为x的小正方形，用剩余部分围成一个无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒底面周长为（ ）

A．100B．50C．D．
变式1．（2023·河北廊坊·廊坊市第四中学统考一模）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”的周长为52，则正方形的边长为（ ）
A．3B．13C．6D．8
变式2．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）2022年11月3日，中国空间站“”字基本构型在轨组装完成，“”寓意：睿智，卓越．图1是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图2的“”字型图形，则“”字型图形的周长为______．（用含，的式子表示）
A级（基础过关）
1．（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）当时，的值为18，则的值为（ ）
A．40B．42C．46D．56
2．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列语句中正确的有（ ）个
（1）次数为10 （2）1是整式 （3）一个关于x的四次多项式和一个关于y的五次多项式相加，结果是一定是一个五次多项式 （4）两个三次多项式相加的结果可能是一个二次单项式
A．0B．1C．2D．3
3．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期中）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如，，则的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·山西太原·七年级统考期中）数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏：开始时东东、亮亮，乐乐三位同学手中均有a张扑克牌（假定a足够大），然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出2张扑克牌给亮亮；第二步，乐乐拿出3张扑克牌给亮亮；第三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东．游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的变化情况正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）定义：若，则称与互为平衡数，若与互为平衡数，则代数式___________．
6．（2022秋·山东烟台·六年级校考期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值11，则的值等于___________．
7．（2023·河北邯郸·校考二模）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例如图1．即．

(1)________，________；(用x来表示)(2)当时，计算y的值；
(3)如图2，当x的值每增加1时，y的值就增加________．
8．（2023·河北衡水·衡水市第三中学校考二模）在活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为A，B，C三个代数式，三张卡片如图所示，其中C的代数式是未知的．
(1)若A为二次二项式，则k的值为___________；
(2)若的结果为常数，则这个常数是___________，此时k的值为___________；
(3)当时，，求C．
9．（2023秋·吉林通化·七年级统考期末）已知，．
(1)化简；(2)当，，求的值：
(3)若的值与y的取值无关，求的值．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)已知：，求的值．
11．（2023·河北石家庄·校联考二模）某展览馆周内仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客人．
(1)此时间段内馆内不变的游客有多少人；(2)求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示）
(3)当时，中途进来的游客有多少人？
B级（能力提升）
1．（2022春·山东七年级期中）要使始终成立，则，，的值分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
2．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）已知多项式，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．比较M，N的大小，跟a的取值有关
3．（2023秋·重庆大足·七年级统考期末）有依次排列的3个整式：，x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：；②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2022的所有整式的和为．
上述四个结论错误的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
4．（2022秋·广东湛江·七年级统考期中）若和都是关于的二次三项式，则一定是（ ）
A．二次三项式B．一次多项式C．三项式D．次数不高于2的整式
5．（2023·河南濮阳·统考一模）将大小不一的正方形纸片甲、乙、丙、丁放置在如图所示的长方形内（相同纸片之间不重叠），其中，若正方形“乙”的边长是m，阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为___________．
6．（2022秋·江西宜春·七年级统考期中）下面是小贤同学解答“求整式M与的差．”所列的算式：
求整式M与的差．
解：＝……
(1)有同学说，小贤列的算式有错误．你认为小贤列的式子是 （填“正确”或“错误”）的．
(2)若整式，求出这个问题的结果．
7．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）已知M、N是关于x的多项式，，．
(1)时，化简；(2)在（1）的条件下，若，求Q的代数式；
(3)若M与N的差中不含项，求m的值．
8．（2023·河北·统考二模）一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”.
(1)请你写出2个“对称数”；(2)嘉琪说：“任意一个‘对称数’减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数.”他的说法是否正确，请说明理由.
9．（2022秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
(2)小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
(3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？
10．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
请解答下列问题：(1)《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为 ，校验码的值为 ．
(2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．
(3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是 （请直接写出结果）．
C级（培优拓展）
1．（2022秋·山东·七年级期末）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（ ）
①当是关于x的三次三项式时，则；②当中不含x3时，则；
③当时，；当时，，则，；④；⑤．
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”例如：，，，给出下列说法：
①不存在任何“全差操作”，使其结果为0；②至少存在一种“全差操作”，使其结果为；
③所有的“全差操作”共有5种不同的结果．以上说法中正确的是：（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（ ）
A．五次项B．三次项C．二次项D．常数项
4．（2023·江苏镇江·七年级统考期末）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为m的长方形内，两个正方形的周长和为n，则这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）在某学校的文化墙上有一组按照特定顺序排放的一个整式队列，第1个整式为a，第2个整式为b，第3个整式为，第4个整式为……，聪明的小敏同学发现：第3个整式是由第1个整式的2倍加上第2个整式所得，第4个整式是由第2个整式的2倍加上第3个整式所得……，以此类推，下列说法中：
①第8个整式为；②第2025个整式中a的系数比b的系数小1；
③第12个整式和第13个整式中a的所有系数与b的所有系数之和为4098；
④若将第个整式与第个整式相加，所得的多项式中a的系数与b的系数相等（其中n为正整数）；
正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
6．（2022秋·安徽阜阳·七年级校考期末）如果整式A与整式B的和为一个实数a，我们称A，B为数a的“友好整式”，例如：和为数1的“友好整式”．若关于x的整式与为数n的“友好整式”，则的值为 _____．
7．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则_______．
8．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）（1）已知：关于的多项式中，不含与的项．求代数式的值．（2）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）．
9．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
(1)关于的二次多项式的特征系数对为___________；
(2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的差；
(3)有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的和中不含项，求的值．
10．（2023·河北沧州·校考二模）【发现】如果一个整数的个位数字能被5整除，那么这个整数就能被5整除．【验证】如：∵
又∵100和10都能被5整除，5能被5整除
∴能被5整除 即：345能被5整除
(1)请你照着上面的例子验证343不能被5整除
(2)把一个千位是a、百位是b、十位是c、个位是d的四位数记为．
请照例说明：只有d等于5或0时，四位数才能被5整除
【迁移】(3)设是一个三位数，请证明；当的和能被3整除时，能被3整除．
11．（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．
【理解】（1）若，则______（填“”、“”或“”）
【运用】（2）若，，试比较，的大小．
【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板．方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．
12．（2022秋·江西抚州·七年级金溪一中校考期中）数学中有很多可逆的推理，例如：
(1)若输入7时，输出___________.
(2)拓展：如果，那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则；，则.①根据定义，填空：___________；___________.
②若有如下运算性质 ：，根据运算性质填空，填空：若，则___________；___________.
③表中与数对应的有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正.
1.5
3
5
6
8
9
12
27