2024年小升初数学专题 （通用版）-12 有理数的除法（原卷版+解析版）

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1.会把有理数的除法运算改为乘法运算；
2.熟练掌握有理数混合运算顺序及法则；
3.能利用有理数的除法解决实际问题。
【思考1】江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值是多少？
【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值吗？
1.有理数的除法
1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
考点1、有理数的除法运算
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·海南海口·七年级校考期中）_____
变式1．（2023·浙江台州·统考一模）计算的结果是（ ）
A．B．2C．D．
变式2．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点2、有理数除法法则的辨析与符号
【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
例1．（2022·浙江宁波·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．非零两数的和一定大于任何一个加数B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数D．小于1的两数之商一定小于被除数
例2．（2023·山西吕梁·模拟预测）若，且，异号，则的符号为（ ）
A．大于B．小于C．大于等于D．小于等于
变式1．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（ ）
A．都是正数B．都是负数C．同号D．至少有一个为正数
变式2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
变式3．（2022·广西·桂林市七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1B．2C．3D．4
考点3、有理数除法的运算步骤问题
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期中）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第 步，错误原因是 ；
第二处是第 步，错误原因是 ；
(2)请写出正确的结果 ．
例2．（2022·吉林·七年级阶段练习）阅读后回答问题：计算．
解：原式= ①
②
③
（1）从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
变式1．（2023秋·河北廊坊·七年级统考期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
变式2．（2022秋·广西南宁·七年级统考阶段练习）阅读下列解题过程： 计算
解：原式 第①步
第②步
第③步
(1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________．
(2)请写出正确的解题过程．
考点4、有理数乘除法的混合运算
【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
例1．（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）计算 的结果是_____________．
例2．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）计算：；
例3．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算：
(1)÷（）÷（）； (2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷； (4)（）÷（）×（）．
变式1．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）计算：_____________．
变式2．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）计算的结果是______________．
变式3．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
考点5、有理数的除法简算
【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。
例1．（2022·成都市七年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
例2．（2022·辽宁大连·七年级校考阶段练习）阅读下列材料：计算：
解：原式的倒数为
故原式
请仿照上述方法计算：
变式1．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
变式2．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）计算
(1)； (2)；(3)；
(4)； (5)；（用简便方法计算）(6)；
考点6、有理数除法的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（2023·江苏南京·统考二模）小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（ ）
A．赚了99元B．赚了100元C．亏了99元D．亏了100元
例2．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）为了提高中心城区路内停车泊位周转率，对车长不超过6米的小型、微型汽车的进入停车泊位实行阶梯式收费，具体方案如下：
(1)A汽车在停车泊位的进场时间是分，离场时间是分，请问A汽车是否需要交费？若要收费，应交停车费多少元？(2)B汽车进入停车泊位时间是晚上时，离场时间是第二天早上时，请求出B汽车应交停车费多少元？(3)C汽车早上时进入停车泊位，离开时收费24元，请求出C汽车离开泊位的时间范围？
变式1．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长，而且这还是深埋于土下．到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天的速度疯狂生长．此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！”．这段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（ ）
A．5B．7C．8D．9
变式2．（2023春·山西大同·九年级校考阶段练习）春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于的情况下可以销售．小区大妈要买标价为60元/壶的油，大妈要求小明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是，则该壶油的售价至少是（ ）
A．51元B． 元C．55元D．59元
变式3．（2023秋·山西·七年级校联考期末）2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，“神十四”纪念品也受到了人们的喜爱，某店以元的相同价格售出两件不同的纪念品，其中一件盈利，另一件亏损，则该商店售出这两件纪念品总的盈亏情况为（ ）
A．亏损20元B．盈利20元C．亏损18元D．不盈不亏
考点7、有理数除法的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（2022秋·四川遂宁·七年级校考期中）若“!”是一种数学运算符号，并且：，，，，…，则_________
例2．（2022秋·北京朝阳·七年级校考阶段练习）对于任意的非零有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算；(2)计算；(3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立．（举一个例子即可）．
变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（ ）
A．3B．﹣2C．D．
变式2.（2022·河南·鹤壁七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（ ）
A．－6B．－5C．D．
A级（基础过关）
1．（2023·浙江杭州·统考二模）计算下列各式，值最大的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）若使的计算结果为正数，则“”代表的运算不可以是（ ）
A．加法B．减法C．乘法D．除法
3．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）在算式□的“□”中填上运算符号“＋”“－”“×”或“÷”，要使运算的结果最小，则添加的运算符号是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
5．（2023·河北保定·统考一模）下列与相乘等于1的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·陕西西安·统考一模）要使代数式“______”的运算结果最大，则“______”中应填入的运算符号是______“＋、－、×、÷”中选择一个运算符号填如）．
7．（2023秋·浙江金华·七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg到___mg．
8．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若规定，则______．
9．（2022秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）计算：__________
10．（2022秋·安徽亳州·七年级校考阶段练习）计算：的结果是___________
11．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）商店运进一种商品共400件，并确定了售价．如果按照售价的九折销售，全部卖出后，能得到6000元的利润．如果按照售价的八五折销售，全部卖出后，能得到2400元的利润．求这件商品的售价是多少元？
12．（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)；(2).
13．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1) (2)
(3)； (4)
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．
（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．
（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？
B级（能力提升）
1．（2022秋·山东·七年级校考阶段练习）与运算结果相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如果两个数的和是正数，商是负数，那么这两个数的积是（ ）
A．正数B．负数C．零D．以上三种结论都有可能
3．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
4．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．则图中a、b、c、d对应的数字依次为______．
5．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）某超市在元旦期间推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元打九折；
（3）一次性购物超过300元一律打八五折．元旦这天，小明和妈妈在该超市购物后分别自行付款70元和243元．如果小明和妈妈合作一次性付款，则应付款______元．
6．（2022·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ．
7．（2023春·重庆沙坪坝·九年级联考阶段练习）40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗．这40名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生15人，乙类15人，丙类10人，每类学生的劳动效率为甲类学生可以挖树坑2个或者运树苗20棵，乙类学生可以挖树坑1.2个或者运树苗10棵，丙类学生可以挖树坑0.8个或者运树苗7棵．如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树苗运得最多为_____棵．
8．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
9．（2022·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
10．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：
②
③
(1)亮亮计算过程从第 步出现错误的；（填序号）(2)请你写出正确的计算过程．
11．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
12．（2023春·上海·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
C级（培优拓展）
1．（2023·四川资阳·统考二模）天干地支纪年法源于中国，是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支，如表：
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2014年，尾数4为甲，2014除以12余数为10，10为午，那么2014年就是甲午年．则2023年是( )
A．甲卯年B．甲寅年C．癸卯年D．癸寅年
2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60B．792C．812D．5040
4．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若计算式子的结果为最大，则应分别在，△中填入下列选项中的（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2022·湖北武汉·七年级期中）下列说法：
①若a，b互为相反数，则＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；
③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；
④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是____（只填序号）．
6．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）因疫情防控需要，一辆货车在早上8：00从甲地出发运送防疫物资到距离乙地，后货车到达离甲地的服务区休息，此时一辆轿车正从甲地急送防疫专家到乙地．10：00货车以原来的速度继续行驶，11：00轿车在距离甲地处追上了货车，两车继续向乙地行驶．（1）货车的速度是______．（2）轿车比货车早_____到达乙地．
7.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
8．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把“洛书”（图1）的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），即表格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
(1)图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于______．
(2)请将，，0，1，2，3，4，5，6填入图3，使其构成一个三阶幻方．
9.（2022·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
10. （2022·湖北黄冈市·思源实验学校七年级月考）阅读下列材料：
计算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1） 上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2） 请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
方案
计费时段—，停车30分钟内不收费，停车超过30分钟后，不足30分钟按30分钟收费，收费时段外停车免费
阶梯梯次
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
单次最高限价
停车时长
1小时内
1—3小时
3小时以上
计费标准
1（元/30分钟）
3（元/30分钟）
5（元/30分钟）
44元
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
气表读数（立方米）
433
450
468
485
500
514
535
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
地支
子
丑
寅
卯
辰
已
午
未
申
酉
戌
亥
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3