2024年小升初数学专题 （通用版）-01 运算技巧（原卷版+解析版）

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初中数学较小学数学在数和运算方面主要变化有：数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也相应的从小学中的正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数数和实数的混合运算，并且加入了乘方、开方运算。对于算术方法的四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。
近年来上小升初衔接班发现很多同学基本的简便运算都会，但是稍微有点灵活就下不了笔，究其原因不难发现这些同学都有“为了简便而简便”（老师要求要简便，小学的简便运算也就那几种，很多同学依葫画瓢也基本能解决绝大部分问题，而并非发至内心想要让运算简化）。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。
1．运算定律
1）加法交换律： 加法结合律：
2）乘法交换律： 乘法结合律：
3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用：
2．运算性质
1）减法的性质：
2）除法的性质：
3）商的“不变性”，即若，则，；
3．裂项公式（补充）
把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。
第一类（“裂差”型运算）：或
第二类（“裂和”型运算）： 或
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
4．数列求和公式（补充）
eq \\ac(○,1)等差数列求和
等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2
等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1
eq \\ac(○,2)等比数列求和
等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1）
5．乘法公式（补充）
平方差公式： 完全平方公式：，
考点1、 活用运算定律和性质（凑整思想）
【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。
一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。
例1．（2023春·广东广州·六年级专题练习）能简算的要简便计算。
（1） （2） （3） （4）
例2．（2022·山东青岛·统考小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。
18.25－（3.5－1.75） 354＋297＋146＋103 5.7×2.8＋5.7×6.2＋5.7
例3．（2023春·广西·六年级培优）计算．
（1） （2）（＋1＋）÷（＋＋）
变式1．（2022春·河北沧州·六年级统考期末）脱式计算，能简算的要简算。
3.6×
变式2.（2023·河南·小升初模拟）脱式计算，能简算的要简算。

变式3.（2023·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。
（1）8×3÷[1÷（3－2.95）] （2）×39＋×25＋2× （3）2018÷2018＋
变式4．（2023春·重庆·六年级培优）计算．
（1） （2）（9＋7）÷（＋）
考点2、巧分组法
【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。
例1．（2023春·山东·六年级培优）计算：2023-2020+2017-2014＋2011－2018＋……＋16－13＋10－7＋4
例2.（2022·广东六年级月考）计算：
例3．（2022秋·江西宜春·六年级校考期末）计算：
变式1．（2022·江苏南京·统考小升初真题）简算，并写出简算过程。
99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1
变式2．（2023·浙江·六年级期中）计算：____________________．
考点3、 换元法
【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。
例1．（2023·湖南湘潭·六年级自主招生）计算。
例2．（2021·广东广州·校考小升初真题）用简便方法计算。
变式1．（2022·广东深圳·六年级校考期中）巧算。
（1） （2）
变式2．（2022秋·成都·六年级培优）计算：
考点4、 分数裂项计算
【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算
第一类（“裂差”型运算）：或
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
第二类（“裂和”型运算）： 或
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例1．（2022·广西南宁·校考小升初真题）观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：（ ）。
（2）（ ）。
（3）探究并计算：（ ）。
（4）计算：
例2．（2021秋·辽宁·六年级专题练习）计算题。
（1） （2）
（3） （4）
例3．（2023·浙江·六年级期中）计算：
变式1．（2022春·河南南阳·六年级统考期末）探究规律，巧妙计算。
（请展示你的思维过程）变式2．（2023·河北邯郸·统考小升初模拟）计算：_________________ 。
变式3．（2022·江苏南京·六年级校考专题练习）计算．
1－＋－＋－
变式4.（2022·辽宁·六年级专题练习）计算。


考点5、数列求和
【解题技巧】
eq \\ac(○,1)等差数列求和
等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1
eq \\ac(○,2)等比数列求和
等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1）
例1．（2023·四川成都·小升初模拟）计算：
例2．（2022·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
变式1．（2022·山东青岛·六年级期末）数学王子高斯八岁时，用如下的方法计算自然数1到100的和：
利用高斯发现的规律，尝试计算下列各题：
（1） （2）
变式2.（2022·浙江·六年级培优）计算：1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.8
变式3．（2022·娄底市七年级期中）求1+2+22+23+…+22016的值，
令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，
因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．
参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．
考点6、应用公式
【解题技巧】平方差公式：
完全平方公式：，
例1．（2023·浙江·小升初模拟）计算：
例2．（2022·广东河源·七年级期中）利用乘法公式进行简便计算：(1)；(2)
例3．（2022·河南·七年级期末）用简便方法计算下列各式：
(1)；(2)．
变式1.（1）（2022·四川青羊·八年级期中）计算：＝___．
（2）（2022·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____．
变式2．（2022·广东·梅州市七年级阶段练习）简便计算：(1)20022 (2)
A级（基础过关）
1．（2022·河北沧州·统考小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。
×88% 24×（） 8－
2．（2022春·四川广元·六年级统考期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。
（1）54.2－＋4.8－ （2）0.4×9.72＋0.4×0.28 （3）
3．（2023春·成都市·六年级专题练习）下面各题，怎样简便怎样算。
（1）17.35－3.25－2.75 （2）÷[（0.75－）×] （3）8.5÷＋7.5×75%＋ （4）0.25×3.2×12.8
4．（2023春·广东·六年级专题练习）用你喜欢的方法计算。
35×（－） 3.2×25×125
5．（2022春·河北石家庄·六年级统考期末）计算下面各题，能简算的要简算。
5－5×＋ 0.25×32×12.5%
6．（2022·广西崇左·统考小升初真题）用你喜欢的方法计算。
12.7＋8.6＋0.4＋7.3 ×90＋×10 6÷
7．（2023春·江苏淮安·五年级统考期末）简便计算。

8．（2022秋·河北石家庄·六年级统考期末）计算。


9．（2022·广东佛山·统考小升初真题）计算：
10．（2022春·江苏·六年级期末）脱式计算，能简算的要简算。

1999×1999－2000×1998
11．（2022·辽宁·六年级专题练习）算一算。
19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1 19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82

12．（2023·浙江·统考小升初模拟）小明练习珠算，用，当加到某个数时，和是1300，验算时发现重复加了一个数，则重复加的数是（ ）。
A．15B．25C．35D．45
B级（能力提升）
1．（2022·浙江·六年级期中）
2.（2022·江苏六年级培优）计算：
3．（2022·浙江六年级培优）简算：202﹣192+182﹣172+…+22﹣12 ．
4.（2023·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。
（1）8×3÷[1÷（3－2.95）] （2）×39＋×25＋2× （3）＋＋＋＋
（4）2018÷2018＋ （5）1－＋－＋
5．（2022·辽宁·六年级周测）用自己喜欢的方法计算。

6．（2023春·重庆·小升初模拟）简便计算：+++++
7．（2023春·江苏宿迁·六年级专题练习）计算：
8．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算：
9．（2022·湖南长沙·校考小升初真题）计算。
10．（2023春·成都市·六年级小升初模拟）计算。

11．（2023·辽宁·六年级专题练习）计算下列各题，能简算的要简算。
1－＋－＋－＋－

12．（2022·辽宁·六年级专题练习）计算题。
19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1

C级（培优拓展）
1．（2022·广西象州·七年级期中）利用平方差公式计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东临沂·一模）下列等式成立的是（ ）
A．6692＋2×669×31＋312＝7002B．6692﹣669×69﹣692＝6002
C．6692＋669×31＋312＝7002D．6692﹣2×669×69﹣692＝6002
3．（2022·广东·六年级培优）=________．
4．（2022·广东茂名市·七年级期末）为了求的值，可设，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出 ________ ．
5．（2022春·江苏·六年级专题练习）阅读下面短文，并解决问题。
像，和这样的乘法算式，乘数的个位数字相同，且十位数字相加正好是10，我们将这样的两个两位数称作“首补尾同”。首补尾同的两个两位数相乘，可以直接口算出结果。请观察下列算式中，两个乘数与乘积之间的联系。
；；；；。
(1)我发现：“首补尾同”的两个两位数相乘，用( )作为乘积的前两位，用( )作乘积的后两位。
(2)根据规律直接写出下面几题的结果。
( )，( )。
6．（2022·辽宁·六年级专题练习）计算题。


7．（2023·四川成都·六年级小升初模拟）
8．（2022·辽宁·六年级专题练习）计算题。

9．（2022·重庆渝北·校考小升初真题）计算题。
（1） （2）
（3） （4）
10．（2022·辽宁·六年级专题练习）计算。


11．（2022·辽宁·六年级专题练习）计算下列各题，能简算要简算。
246×
＋（－）＋（－＋）＋（－＋－）＋…＋（－＋－＋…—）