2024年小升初数学专题 （通用版）-15 整式的相关概念（原卷版+解析版）

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1. 掌握代数式的认识和书写；
2. 掌握单项式和多项式、整式的定义；
3. 掌握单项式的系数和次数的概念；
4. 掌握多项式的项、项数和次数的概念。
【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。（1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？
（2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？

【思考2】（1）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？
a；；；﹣x2y2；2ab；
（2）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？与单项式有什么联系？
；；；；2ab+6；-x3﹣2x2y+3π
1. 列代数式及书写要求
代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式。
代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值。
代数式的书写要求：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“”，或略去不写。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③系数是1时，一般省略不写。 eq \\ac(○,4)多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。
2. 单项式的概念
单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。
3. 多项式的有关概念
多项式：几个单项式的和。
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。
4. 整式的概念
整式：单项式与多项式统称为整式。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①多项式是由多个单项式构成的； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
考点1、代数式求值
【解题技巧】代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值。
例1．（2023·浙江嘉兴·统考一模）当时，代数式的值是______．
例2．（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式1．（成都2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______．
变式2．（2023·山东泰安·统考二模）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2023次输出的结果为______．
考点2、代数式的书写规范
【解题技巧】代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．（4）在代数式前系数为1时，系数可省略不写，当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”．（5）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；
例1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）下列各式中，符合单项式书写要求的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有 _______个．
，，，，，
变式1．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；其中符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
变式2．（2022秋·四川泸州·七年级校考期中）下列单项式①；②；③；④书写不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3、列代数式
【解题技巧】根据题设要求写出相应的代数式，注意代数式的书写要规范。
例1．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）一打铅笔有12枝，打铅笔支数用代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·河南郑州·七年级校联考期中）对代数式“”，请你结合生活实际，给出“”一个合理解释：__________．
变式1．（2023·浙江温州·校考二模）某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共40台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台和1.5万元/台，若购买甲品牌电子白板费用为万元，则购买乙品牌电子白板费用为（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
变式2．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）买一个足球要m元，买一个篮球要n元，则买3个足球、5个篮球共需要________元．
考点4、整式、单项式与多项式的概念
【解题技巧】代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式。
单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。
多项式：几个单项式的和。 整式：单项式与多项式统称为整式。
例1．（2022·广东河源·七年级校考期末）下列各式：；；；；，其中代数式有（ ）
A．个B．个C．个D．个
例2．（2022秋·河北张家口·七年级校考期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有__________，多项式有__________，整式有__________．（填序号）
变式1．（2023春·北京海淀·七年级101中学校考开学考试）下列代数式中中，单项式（ ）
A．1个B．2C．3个D．4个
变式2．（2022秋·广西百色·七年级统考期中）下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）代数式，，，，5，，中，整式的个数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
考点5、单项式的系数和次数
【解题技巧】单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。。
例1．（2022春·广东江门·七年级校考期中）单项式的系数和次数分别是（ ）
A．3，5B．3，6C．，5D．，6
例2．（2022秋·四川内江·七年级校考阶段练习）单项式的系数是_______，次数是__________；
变式1．（2023秋·吉林四平·七年级统考期末）下列单项式中，次数为6的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）单项式的系数是 ______ ，次数是 ______ ．
考点6、多项式的项与次数
【解题技巧】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。
例1．（2022秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）按要求填表：
例2．（2022春·广东江门·七年级台山市新宁中学校考期中）多项式中的二次项系数是_______．
变式1．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）多项式的常数项是______．
变式2．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）多项式 的次数是______．
考点7、书写符合条件的单项式或多项式
【解题技巧】根据题设要求写出相应的单项式（多项式）即可，注意此类问题一般具有开放性，答案不唯一等特点，只要符合要求都可以得分。
例1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式：______．
例2．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）写一个多项式，使它是四次三项式，这个多项式可以是 _____．
变式1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期中）写出一个满足下列三个条件： ①只含有字母x、y、z；②系数为；③次数为5的单项式_________________．
变式2．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：__．
考点8、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数
【解题技巧】根据单项式和多项式的相关概念，找到适当的等量关系，建立方程求解即可。
例1．（2022秋·湖北襄阳·七年级校考期末）单项式的次数8，则________．
例2．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）若多项式是三次三项式，则_____．
变式1．（2023秋·云南曲靖·七年级校考期末）如果单项式和的次数相同，则的值为_______．
变式2．（2023秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为____________．
A级（基础过关）
1．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）多项式的次数为（ ）
A．5B．3C．7D．8
2．（2022秋·四川眉山·七年级校考期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·河南商丘·八年级校联考阶段练习）下列各式中代数式的个数是（ ）
，，，，．
A．B．C．D．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）在，，，中，属于单项式的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．（2023·重庆·统考一模）下列各式中，是多项式的是（ ）
A．B．2023C．D．
6．（2022秋·上海·七年级校联考期末）代数式，，，，中是整式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023秋·河北廊坊·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．是单项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的系数是
8．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）下面说法正确的是（ ）
A．精确到百分位 B．单项式的系数是3 C．是四次三项式 D．的倒数是
9．（2023·广东肇庆·校考二模）单项式的次数是______．
10．（2023·广东·九年级专题练习）多项式的二次项系数是______．
11．（2023秋·广东中山·七年级校考期末）请写出一个系数是，并且含字母x、y的三次单项式______．
12．（2023秋·湖北鄂州·七年级统考期末）对单项式“”可以解释为：长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为．请你对“”再赋予一个含义：________．
13．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期中）写出一个只含字母x，y的二次三项式______．（只要写出1个即可）
14．（2022秋·重庆彭水·七年级校考期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同．(1)求的值(2)若，，求该多项式的值．
15．（2022春·广东江门·七年级台山市新宁中学校考期中）如图所示是一个长方形．
(1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；(2)若，求S的值．
16．（2022秋·七年级单元测试）当分别取下列值时，求代数式的值．
(1)；(2)．
B级（能力提升）
1．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．是有理数B．是二次三项式
C．单项式的系数是，次数是3D．近似数是精确到个位
2．（2021春·广东茂名·七年级校考期中）根据如图中的程序，当输入时，输出结果为（ ）

A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）若是整数，则，表示（ ）
A．两个奇数B．两个偶数C．两个整数D．两个正整数
4．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）某商店经销一种“84消毒液”，每箱进价为元，该商店将进价提高后作为零售价销售，那么销售这种“84消毒液”10箱，可获得的利润是______元.（用含a的式子表示）
5．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为______ ，第个单项式为______ ．
6．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）某单项式的系数为-2，只含字母 x，y，且次数是 3 次，写出一个符合条件的单项式_______
7．（2022秋·吉林·七年级统考期末）任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________．
8.．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）已知多项式的次数为，常数项为，则______．
9．（2023秋·河北保定·七年级校联考期末）已知关于的多项式是二次三项式，则________，当时，该多项式的值为________．
10．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1
(1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内：
(2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________．
11．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）(1)根据生活经验，请对代数式作出解释．
(2)判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请改正．
①没有平方等于的有理数．②是三次四项式，它的第二项的系数是3，是常数项．该多项式是按字母m的降幂排列．
C级（培优拓展）
1．（2023·安徽合肥·统考二模）随着疫情管控的全面放开，旅游市场也逐渐复苏．某地3个景区今年1月份接待游客人数相同，2、3月份接待游客人数情况如下：甲景点2月份比1月份增加，3月份比2月份增加；乙景点2月份比1月份年增加，3月份比2月份增加；丙景点平均每月增加；关于3月份接待游客人数以下说法正确的是（ ）
A．甲景点人数最多B．乙景点人数最多C．丙景点人数最多D．三个景点人数一样多
2．（2023·云南楚雄·统考三模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022•殷都区期末）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2019，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（ ）
A．﹣2017B．﹣2019C．2018D．2019
4．（2022·广西南宁市·七年级期末）（阅读理解）计算：，，，，观察算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．
（拓展应用）已知一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数乘11，计算结果中十位上的数字可表示为（ ）
A．或B．或C．D．或
5．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）读书使人聪颖智慧，小亮先用m天读完一部书籍的上集，又用n天读完下集，这部书上下集共100万字，小亮平均每天的阅读量为______万字．
6．（2023秋·吉林·七年级统考期末）若多项式中不含项，则k的值为________．
7．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）若代数式是一个关于的二次三项式，则的值为________．
8．（2022春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝_____．
9．（2023秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）已知多项式，，该多项式的第12项为________，用字母、和表示多项式第项________．（为正整数）
10．（2021·河南驻马店·七年级期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如就是完全对称式．下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是______．（填写序号）
11．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期末）已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数．(1)点A表示的数为________；点B表示的数为________；
(2)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），则用含t的式子表示甲、乙小球所在的点表示的数；
(3)在（2）的条件下，求经过多长时间甲、乙小球相距2个单位长度？
12．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为．(1)直接写出a与b之间的关系；(2)求的值．
13．（2022秋·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
①；②；③．
(2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值；
(3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
单项式
系数
次数
多项式
次数
几次几项式
常数项