2023-2024学年江苏省南通市海安外国语学校、李堡初级中学、孙中、紫中等八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安外国语学校、李堡初级中学、孙中、紫中等八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算 32的结果是( )
A. 3B. −3C. ±3D. 3
2.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE=4，AB=6，则▱ABCD的周长是( )
A. 28B. 30C. 32D. 34
3.下列计算，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 2+ 3= 5C. 4×9=2×3D. 12÷2= 6
4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90°B. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. a：b：c=3：4：5D. a=b=1，c= 2
5.下列二次根式中，与 3能合并的是( )
A. 24B. 20C. 18D. 12
6.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A. OA=OC，AB//DC
B. ∠ABC=∠ADC，AD//BC
C. ∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO
D. AB=DC，AD=BC
7.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m)，B(n,3)，那么一定有( )
A. m>0，n>0B. m>0，n<0C. m<0，n>0D. m<0，n<0
8.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD(如图1所示).若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为( )
A. 3a24B. 3a22C. a2D. 3a2
9.如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为( )
①AC=BD；
②AC平分∠BAD；
③AB=BC；
④AC⊥BD；
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
10.如图，AB=12，∠A=45°，点D是射线AF上的一个动点，DC⊥AB，垂足为点C，点E为DB的中点，则线段CE的长的最小值为( )
A. 6B. 2 3C. 6D. 3 2
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.若 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是______(写出一个条件即可)．
13.将直线y=3x向上平移2个单位，得到的直线为______．
14.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式mx+n<2x的解集是______．
15.已知点P(−2,y1)，Q(1,y2)在一次函数y=kx+1(k≠0)的图象上，且y1>y2，则k的值可以是______(写出一个即可)．
16.▱ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B=______．
17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD平分∠ACB交AB于点D.点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是______
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
计算：(1)2 5− 20+ 45．
(2) 48÷ 3− 12× 8．
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，连接AE、AF、CE、CF.求证：四边形AECF是平行四边形．
20.(本小题10分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求四边形ABCD的面积．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若AB=6，BC=10，求四边形AEDF的面积．
22.(本小题12分)
已知一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(2,0)和y轴上一点B，且与y=−12x平行．
(1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
(2)当−2(3)若点P在直线x=1上，且△ABP的面积等于32，求点P的坐标．
23.(本小题14分)
如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
24.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(a,m)和点N(a+2,n)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上．
(1)若a=0，m=4，n=2，求该一次函数的解析式；
(2)已知点A(1,2)，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．
①求点B的坐标；
②若m−n=4，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线段AB有公共点，求b的取值范围．
25.(本小题14分)
已知正方形ABCD，P是对角线AC的延长线上一点．
(1)连接PD，过点P作PD的垂线交AB的延长线于点E．
①依据题意，补全图形；
②判断线段PD与PE的数量关系，并证明；
(2)在(1)的条件下，过点P分别作线段AE、射线BC的垂线，垂足分别为点F、点H，线段BH与线段DP于点G，连接EG.请你判断线段EG、BG和CP之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 32=|3|=3．
故选：A．
直接根据 a2=|a|化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，
∴AB=DC=6，AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=6，
∴BC=BE+EC=4+6=10，
∴▱ABCD的周长=2(BC+AB)=2×(10+6)=32．
故选：C．
由平行四边形的性质得AB=DC=6，AD//BC，再证∠CDE=∠CED，则CD=CE=6，进而得出BC的长，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证得CD=CE=6是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 (−3)2=3，故A不符合题意；
B、 2与 3不能合并，故B不符合题意；
C、 4×9= 4× 9=2×3，故C符合题意；
D、 12÷2=2 3÷2= 3，故D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−(∠A+∠B)=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2=12+12=2，c2=( 2)2=2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、 24=2 6，不能与 3合并，则此项不符合题意；
B、 20=2 5，不能与 3合并，则此项不符合题意；
C、 18=3 2，不能与 3合并，则此项不符合题意；
D、 12=2 3，能与 3合并，则此项符合题意；
故选：D．
化简二次根式，找出与 3是同类二次根式的即可．
本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
在△ABO和△CDO中，
∠BAC=∠ACDOA=OC∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项A不合题意；
∵∠ABC=∠ADC，AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCD，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B不合题意；
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D不合题意；
故选：C．
利用选项中的条件依次证明，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：函数图象经过第一、三象限时．
∵当m>0，n>0时，A(2,m)与B(n,3)均在第一象限，
不符合经过不同象限的两点，
∴选项A不符合题意．
∵当m>0，n<0时，A(2,m)在第一象限，B(n,3)在第二象限，
不符合图象经过第一、三象限时．
∴选项B不符合题意．
∵当m<0，n>0时，A(2,m)在第四象限，B(n,3)在第一象限，
不符合函数图象经过第一、三象限或第二、四象限．
∴选项C不符合题意．
∵当m<0，n<0时，A(2,m)在第四象限，B(n,3)在第二象限，
符合函数图象经过第二、四象限．
∴选项D符合题意．
故选：D．
首先，根据正比例函数图象的性质，可得函数图象经过的象限为第一、三象限或第二、四象限，再根据象限内点的坐标的特征，可得每个选项的点所在的象限，然后和正比例函数图象经过象限作比较即可．
本题考查了正比例函数的图象和性质和象限内点的坐标的特征，确定出正比例函数图象经过的象限是解题的关键，
8.【答案】B
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=a，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AH= 32AB= 32a，
∴菱形ABCD的面积=BC⋅AH= 32a2．
故选：B．
过A作AH⊥BC于H，由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC=a，又∠B=60°，推出△ABC是等边三角形，求出AH= 32a，即可求出菱形ABCD的面积．
本题考查菱形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质，推出△ABC是等边三角形．
9.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
综上所述，能使▱ABCD是菱形的为②③④，
故选：D．
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵DC⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=90°，
∵点E为DB的中点，
∴CE=12BD，
∴当BD⊥AE时，BD的值最小，
即线段CE的值最小，
∵∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD= 22AB=6 2，
∴CE=12BD=3 2，
故线段CE的长的最小值为3 2，
故选：D．
根据直角三角形的性质得到CE=12BD，当BD⊥AE时，BD的值最小，即线段CE的值最小，推出△ABC是等腰直角三角形，得到AD=BD= 22AB=6 2，求得CE=12BD=3 2，于是得到结论．
本题考查了垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确地得出当BD⊥AE时，BD的值最小是解题的关键．
11.【答案】x≥5
【解析】解：式子 x−5在实数范围内有意义，则x−5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
12.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：这个条件可以是AB=AD(答案不唯一)，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=AD(答案不唯一)．
根据正方形 的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】y=3x+2
【解析】解：将一次函数y=3x向上平移2个单位，所得图象的函数解析式为：
y=3x+2
故答案为：y=3x+2．
根据“上加下减”的平移规律填空．
本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：对直线y=kx而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．
14.【答案】x>1
【解析】解：根据图象可知：两函数的交点为(1,2)，
所以关于x的一元一次不等式mx+n<2x的解集是x>1．
故答案为：x>1．
写出直线y=mx+n在直线y=2x下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：∵点P(−2,y1)，Q(1,y2)在一次函数y=kx+1(k≠0)的图象上，且y1>y2，
∴k<0，
∴k可以是−2(答案不唯一)，
故答案为：−2(答案不唯一)．
由x1y2，根据一次函数的增减性，得到k<0，即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
16.【答案】110°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=70°，
∴∠B=180°−70°=110°，
故答案为：110°．
由平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再求出∠A=70°，即可求出∠B的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
17.【答案】127 10
【解析】解：根据如图坐标系：
由题意：A(0,6)，B(8,0)，
∴直线AB的解析式为y=−34x+6，
∵CD平分∠ACB，
∴直线CD的解析式为y=x，
由y=xy=−34x+6，解得x=247y=247，
∴D(247,247)，
∵CE=DE，
∴E(127,127)，
作点E关于BC的对称点E′(127,−127)，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长，
∵DE′=127 10，
∴PD+PE的最小值为127 10，
故答案为127 10．
构建如图坐标系，利用一次函数构建方程组求出点D、E坐标，作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长；
本题考查轴对称−最短问题、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)2 5− 20+ 45
=2 5−2 5+3 5
=3 5；
(2) 48÷ 3− 12× 8
= 16− 4
=4−2
=2．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴BO−BE=DO−FD，
即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可求AO=CO，BO=DO，可得EO=FO，即可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
20.【答案】解：(1)△ACD为直角三角形，
理由：由题意得：AC2=32+32=18，
CD2=22+22=8，
AD2=12+52=26，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD=90°；
(2)在Rt△ABC中，AB=AC=3，∠ABC=90°，
∴SRt△ABC=12AB⋅BC=12×3×3=92；
在Rt△ACD中，AC=3 2，CD=2 2，
∴SRt△ACD=12AC⋅CD=12×3 2×2 2=6
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=92+6=212，
∴四边形ABCD的面积为212．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得：S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE/​/AC且DE=AF=12AC．
同理DF/​/AB且DF=AE=12AB．
又∵AB=AC，
∴DE=DF=AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．
(2)解：∵AB=6，BC=10，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，
∴BD=5，EF=5，
∴AD= AB2−BD2= 62−52= 11，
∴菱形AEDF的面积为12EF⋅AD=12×5× 11=5 112．
【解析】(1)由题意易得DE/​/AC且DE=AF=12AC，DF/​/AB且DF=AE=12AB.结合已知推导出DE=DF=AF=AE，从而证明四边形AEDF是菱形；
(2)依据点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，分别求出AD、EF，然后根据菱形AEDF的面积=12EF⋅AD解答即可．
此题主要考查菱形的判定及性质以及三角形中位线定理等，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22.【答案】−1【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象与y=−12x平行，
∴k=−12，
∴y=−12x+b，
∵经过点A(2,0)，
∴0=−12×2+b，
∴b=1，
∴一次函数的表达式为y=−12x+1，如图，
；
(2)当x=−2时，y=−12×(−2)+1=2；x=4时，y=−12×4+1=−1，
∴当−2故答案为：−1(3)设直线x=1交直线y=−12x+1于点D，
把y=0代入y=−12x+1得，0=−12x+1，
解得x=2，
∴B(2,0)，
把x=1代入y=−12x+1得，y=−12×1+1=12，
∴D(1,12)，
∵△ABP的面积等于32，
∴12PD⋅OB=32，即12PD⋅2=32，
∴PD=32，
∴P(1,2)或(1,−1)．
(1)利用待定系数法即可求解；
(2)求得x=−2和x=4时的函数值，结合图象即可求得；
(3)设直线x=1交直线y=−12x+1于点D，由直线y=−12x+1求得B、D的坐标，然后根据三角形面积公式得到12PD⋅OB=32，即12PD⋅2=32，求得PD=32，即可求得P(1,2)或(1,−1)．
本题是两条直线平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y=kx+b(k≠0)．
由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．
把它们分别代入上式，得10.5=4k+b15=7k+b
解得k=1.5，b=4.5．
∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5(x是正整数)．
(2)当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21(cm)．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．
【解析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．
(1)可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；
(2)令x=4+7，求出相应的y值即可．
24.【答案】解：(1)当a=0，m=4，n=2时，点M(0,4)和点N(2,2)在一次函数y=kx+b上，
∴b=4,2k+b=2,
解得 k=−1,b=4,
∴一次函数的解析式y=−x+4．
(2)①∵点A(1,2)，
∴将点A向左平移3个单位长度，得到点B(−2,2)；
②把点M(a,m)和点N(a+2,n)代入y=kx+b(k≠0)中，
得m=ka+b，n=k(a+2)+b．
∵m−n=4，
∴k(a+2)+b−(ka+b)=4，
解得k=−2，
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=−2x+b．
当直线y=−2x+b经过点A(1,2)时，−2+b=2，
解得b=4．
当直线y=−2x+b经过点B(−2,2)时，−2×(−2)+b=2，
解得b=−2．
综上所述，b的取值范围是−2≤b≤4．
【解析】(1)利用待定系数法求得即可；
(2)①根据平移的规律即可求得；
②把点M(a,m)和点N(a+2,n)代入y=kx+b得到m=ka+b，n=k(a+2)+b.由m−n=4，得到k(a+2)+b−(ka+b)=4，解得k=−2，然后分别代入点A、B求得b的值，即可求得b的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化−平移，熟知待定系数法是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①补全图形如下：

②PD=PE，证明如下：
过P作PK//AE，交AD延长线于K，过P作PT⊥AE于T，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∠DAC=45°，
∴△AKP是等腰直角三角形，
∴AK=PK，
∵∠KAT=∠ATP=∠AKP=90°，
∴四边形ATPK是正方形，
∴PK=PT，∠KPT=90°=∠DPE，
∴∠KPD=∠TPE，
∴△KPD≌△TPE(ASA)，
∴PD=PE；
(2)2CP2+BG2=EG2，理由如下：
延长AD，PH交于R，延长DG交PF于S，如图：

同(1)②可得EF=DR，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°=∠PCS，
∴△PCS是等腰直角三角形，
∴CS=PS= 22CP，
∵PS=DR，
∴DR=EF= 22CP，
∵CS=BF，CS=PS=DR=EF，
∴BF=EF= 22CP，
∴BE=2BF= 2CP，
在Rt△BGE中，BE2+BG2=EG2，
∴( 2CP)2+BG2=EG2，
∴2CP2+BG2=EG2．
【解析】(1)①根据题意补全图形即可；
②过P做PK//AE，交AD延长线于K，过P做PT⊥AE于T，证明△KPD≌△TPE(ASA)，即可得到PD=PE；
(2)延长AD，PH交于R，延长DG交PF于S，同理可得EF=DR，根据四边形ABCD是正方形，知△PCS是等腰直角三角形，CS=PS= 22CP，从而可得BE=2BF= 2CP，而BE2+BG2=EG2，即可得2CP2+BG2=EG2．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．