2021-2022学年江苏省南通市海安市紫石中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省南通市海安市紫石中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）

1. 如果是二次根式，那么应满足的条件是

A.  B.  C.  D.

2. 若，则代数式的值为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 在下列根式、、、中，最简二次根式的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 平行四边形的一边长为，那么它的两条对角线的长度可以是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 如图，在▱中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平行四边形中，于，于，，且，则平行四边形的周长是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，为边上一动点，以、为边作平行四边形，则对角线的最小值为 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

10. 实数，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为______．
11. 已知是的小数部分，则______．
12. 在中，，有一个锐角为，若点在直线上不与点，重合，且，则的长为______．
13. 已知、、、为四边形的四边长，、为对边，且满足，则这个四边形一定是______四边形．
14. 在▱中，的平分线把边分成长度是和的两部分，则▱周长是______．
15. 如图，点是正方形内的一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则______度．
    
     

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

16. 如图在的正方形网格中， 的顶点在边长为的小正方形的顶点上．
    填空：______，______．
    若点在网格所在的坐标平面里的坐标为，请你在图中找出一点，并作出以、、、四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的点的坐标．

17. 已知，如图，在▱中，，，，
    求边上的高的长；
    求▱的面积．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为，，现在将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
    
    
     

19. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以，为邻边构造▱在线段延长线上一动点，且满足，设点运动时间为秒．
    当点运动到线段中点时，______，点的坐标为______；
    当点在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形；
    当时，求四边形的周长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：由题意可知：，
，
，
故选：．
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】

【解析】

解：，
，
，即，
，
．
故选：．
利用条件得到，两边平方得，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
 

3.【答案】

【解析】

解：，此选项计算错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选：．
根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则．
 

4.【答案】

【解析】

解：；，这两项都不符合最简二次根式的要求．
最简二次根式有个：、．
故选C．
被开方数中含有未开尽方的因式；的被开方数中含有未开尽方的因数，因此这两项都不是最简二次根式，只有、符合最简二次根式的要求．
在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数等于或大于，也不是最简二次根式．
 

5.【答案】

【解析】

解：如图，设两条对角线的长度是，，即三角形的另两边是，，
那么得到不等式组，
解得，
所以符合条件的对角线只有和它的两条对角线的长度可以是和．
故选：．
平行四边形的长为的一边，与两条对角线的一半构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据这个结论可以判断选择哪一个．
本题主要考查平行四边形对角线互相平分的性质以及三角形的三边关系，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
由基本作图得到，加上平分，则根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行四边形的性质得，得出，于是得到，根据等腰三角形的判定得，然后再根据等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
【解答】
解：连结，与交于点，如图
，平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
而，
，
在中，，
．
故选C．  

7.【答案】

【解析】

解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
．
故选：．
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
 

8.【答案】

【解析】

解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
平行四边形的周长是：．
故选：．
由于，于，，易求得的度数，又由在平行四边形中，证得与是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得与是等腰直角三角形是关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线构造等腰直角三角形，属于中档题．
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短，也即最短，所以应该过作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的值，即可得到的最小值．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
最短，也即最短，
过作于点，

，
是等腰直角三角形，
，
，
的最小值，
故选：．  

10.【答案】

【解析】

解：根据数轴可知，且，所以，，

．
故答案为：．
根据数轴上点的坐标特点，判断出可知，且，所以，，再把二次根式化简即可．
本题主要考查了绝对值的意义、根据二次根式的意义化简、实数与数轴．二次根式规律总结：当时，；当时，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．
 

11.【答案】

【解析】

解：，
，
．
故答案为：．
先求出的范围，求出的值，代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出的范围．
 

12.【答案】

或或
 

【解析】

解：如图：

当时，，不与重合，与矛盾；
如图：

当时，，
，
，
是等边三角形，
；
如图：

当时，，
，
，
，
，
，
；
如图：

当时，，
，
，
．
故答案为：或或．
根据题意画出图形，分种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

13.【答案】

平行
 

【解析】

解：


解得：，，
这个四边形的形状是平行四边形．
故答案为：平行．
首先配方可得，再根据偶次幂的非负性可得，，进而得到，，然后再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
此题主要考查了因式分解的运用，平行四边形的判定，关键是掌握完全平方公式和平行四边形的判定方法．
 

14.【答案】

或
 

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
的平分线分对边为和两部分，
如果，则四边形周长为；
如果，则，，
▱的周长为；
▱的周长为或．
故答案为：或．
根据平行四边形的对边相等且平行，可得，，，即可得，又因为是的平分线得到，的平分线分对边为和两部分，所以可能等于或等于，然后即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接
绕点顺时针旋转到
是直角，
是直角三角形，
与全等，
，，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
．
故答案为：．
首先根据旋转的性质得出，是直角三角形，进而得出，即可得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出是直角三角形是解题关键．
 

16.【答案】

；
见解析图
 

【解析】

解：由图形可得：，；
故答案为：，；

满足条件的点共有个，
以、、、四个点为顶点的四边形为：平行四边形分别是▱、▱ 和▱．
其中第四个顶点的坐标为：或或．
直接利用网格得出：的度数，再利用勾股定理得出的长；
利用平行四边形的性质得出点位置即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，注意不要漏解．
 

17.【答案】

解：在▱中，

在直角三角形中，．

．
 

【解析】

根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据直角三角形的知识进行求解；
根据平行四边形的面积等于底乘以高进行计算．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的各角之间的关系：对角相等，邻角互补是解题的关键．
 

18.【答案】

解：在中，，，
由勾股定理有：，应分以下四种种情况：

如图，当时，
，
，
的周长．

如图，当时，
，
，
，
的周长．

如图，当为底时，设，则，由勾股定理得：，
解得，
的周长为：．

如图中，当点在的延长线上时，，此时，可得的周长为．

 

【解析】

根据题意分四种情形画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．
 

19.【答案】

【解析】

解：点，的坐标分别是，，
，，
点运动到线段的中点，
，
则，
，
，
，
则的坐标是，
故答案为：，；
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当时，，
，
，
，，
，
，，
，
平行四边形的周长为．
当运动到的中点时，根据时间路程速度即可求得，进而求得的坐标；
证明≌，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形；
先判断出，当时，，求出，由勾股定理可求出和的长，则可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．