2023-2024学年江苏省南通市海安市李堡镇初级中学九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市李堡镇初级中学九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间120分钟 总分150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的两个根的符号为（ ）
A．异号B．同号C．两根都为正D．不能确定
3．3张扑克牌中只有张黑桃，甲、乙、丙三位同学依次抽取，抽到黑桃的概率（ ）
A．甲大B．乙大C．丙大D．一样大
4．若点，，都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知四边形内接于，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
8．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度为（ ）
A．B．C．D．
9．在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．若a，b是非负数，且，的最小值为m，最大值为n，则的值是（ ）
A．B．C．D．-6
二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．在平面直角坐标系中，A点坐标为，将绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 ．
12．反比例函数图像的两支分别在第一、三象限内，则k的取值范围是 ．
13．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
14．为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程 ．
15．如图，中，，点D、E分别在边上，，且，则 ．
16．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，轴于点B，轴于点D，若，则m的值是 ．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60º，得到△ADE，连接BE，则BE的长是
18．如图，为的直径，C为上一动点，将绕点A逆时针旋转120°得，若，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
20．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字和，乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字，和．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表的方法求：
(1)取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？
(2)取出的个小球上的数字全是偶数的概率是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， ，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．
(1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
(2)求扫过的面积是多少？（结果保留）．
22．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
(1)求n，a与b的值；
(2)若，请直接写出x的取值范围；
(3)求的面积．
23．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．
(1)若，求的长度；
(2)若，则______°．
24．某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
(1)当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为 _____件． 请直接写出y与x的函数关系式__________ ．
(2)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)若商场规定吉祥物“宸宸”销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该吉祥物“宸宸”销售获得的最大利润是多少？
25．问题背景：
（1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值；
灵活运用：
（3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD，直接写出AD的长．
26．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，．
(1)求b，c的值．
(2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上．
①求点P的坐标．
②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值．
答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的；
故选：D
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断．
【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项，
∴
∴一元二次方程的两个根的符号是异号．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了概率的计算，根据公式计算，画树状图计算即可．
【详解】设黑桃为A，其余两张为B，C，
根据题意，甲抽到的概率为，
画树状图如下：
一共有6种等可能性，乙抽到黑桃的可能性有2种，
故乙抽到的概率为，
画树状图如下：
一共有12种等可能性，乙抽到黑桃的可能性有4种，
故丙抽到的概率为，
故选D．
4．C
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，代入计算比较大小即可．
【详解】∵点，，都在反比例函数的图像上，
∴，，，
∴，
故选C．
5．D
【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线为：
．
故选：D
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．D
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理解题．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，，
，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵，
∴，
添加，可用两角法判定；
添加，可用两角法判定；
添加，可用两边及其夹角法判定；
若添加，而夹角不一定相等，不能判定；
观察四个选项，C符合题意，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了相似三角形的应用：先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
【详解】解：依题意，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
则得，
∴
∴
∵，
∴
解得
故选：A
9．C
【分析】根据题意得到的长度，分类讨论为直角三角形时的情况即可．
【详解】解：根据题意得：
，点到的距离为，即，此时点到达点，，
当点与点重合时，为直角三角形，则在右侧时，为锐角三角形，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当为锐角三角形时，，
故选：C．
【点睛】本题为动点函数图象问题，考查了二次函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，相似三角形的判定与性质，解题的关键是以为直角三角形作为临界条件解决问题．
10．C
【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，根据得出，将其代入，得出，再根据a和b为非负数，求出a的取值范围，最后根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b是非负数，
∴，
解得：，
把代入得：
，
∵，
∴当时，的值随a的增大而增大，
∴当时，取最小值，
当时，取最大值，
∴，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，将绕原点O顺时针旋转，实际上是求点A关于原点的对称点的坐标．
【详解】解：根据题意得，点A关于原点的对称点是点，
∵A点坐标为，
∴点的坐标．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数图像的分布性质，构造不等式求解即可．
【详解】∵反比例函数图像的两支分别在第一、三象限内，
∴,
解得，
故答案为：．
13．1
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【详解】扇形的弧长==2π，
圆锥的底面半径为：2π÷2π=1．
故答案为：1
【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解．
【详解】解：设受益学生人次的平均增长率为x，根据题意得：
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．6
【分析】根据反比例函数k的几何意义计算即可；本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数k的几何意义，准确计算是解题的关键．
【详解】∵正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，轴于点B，轴于点D，
∴点A，点C关于原点对称，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴或，
∵反比例函数图像在一三象限，
∴；
故答案是6．
17．##
【分析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后再根据勾股定理求解即可．
【详解】连接CE，设BE与AC相交于点F，如图所示．
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠BAC=45°．
∵AB=BC=，
∴AC==4．
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE．
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=AE=4．
在△ABE与△CBE中，
∵，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°，
∴∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠AFB=∠AFE=90°．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF=AF2．
又在Rt△AFE中，
∠AEF=30°，∠AFE=90°，FEAF=2，
∴BE=BF+FE=．
故答案为：．
【点睛】本题是旋转综合题，解答此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用了等边三角形的判定与性质，全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用．
18．
【分析】将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
【详解】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E=，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC=
故答案为：
【点睛】本题考查旋转的性质、含30°角的直角三角形、三角形三边关系等知识，是重要考点，题目有一定的难度，掌握相关知识是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
∴或，
∴；
（2）
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，得到所有可能出现的结果共有种，取出个小球上的数字之和是奇数有种，再根据概率公式，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，得到所有可能出现的结果共有种，取出个小球上的数字全是偶数有种，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，可以画出如下的树状图
所有可能出现的结果共有种等可能结果，取出个小球上的数字之和是奇数有种，
∴取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是；
（2）解：取出个小球上的数字全是偶数有种，
∴取出的个小球上的数字全是偶数的概率是．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
21．(1)画图见解析
(2)
【分析】本题考查的是画旋转图形，求解扇形的面积，勾股定理的应用，熟练的画旋转图形是解本题的关键；
（1）将点 A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可；
（2）直接利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
点的坐标为；
（2）∵，
如图，扫过的面积为扇形的面积，
∴．
22．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把代入反比例函数，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值；
（2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
（3）求出直线与x轴的交点C的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可．
【详解】（1）把点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数为，
∵点也在反比例函数，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得；
（2）∵的x取值范围反映在图象上就是直线位于双曲线上方部分所对应的自变量的取值范围，
∴根据图象可知：的x的取值范围为或．
（3）如图，设直线与x轴的交点为C，
当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
23．(1)
(2)54
【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理．
（1）根据垂径定理和勾股定理可以得到和的长，然后再根据勾股定理即可求得的长度；
（2）根据垂径定理和圆周角定理，以及直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即长度为；
（2）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：54．
24．(1)260，
(2)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元
(3)6000元
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，
（1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到销售价格上涨4元时，每天的销售量以及y与x的函数关系式；
（2）先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可；
（3）根据“销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务”列不等式组求出x的取值范围，再求出在该范围内的最大值即可．
【详解】（1）∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为（件），
∵销售价格上涨x元/件，且销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．
∴其销售量；
故答案为：260，；
（2）依题意可得每天的销售利润为，
故当时，最大值，
∵x为偶数，
∴当或时，有最大利润，
为了让利于顾客，∴，符合题意，此时．
此时销售单价为（元），
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元；
（3）根据题意得，，
解得，，
而
∵，对称轴
∴当时，W随x的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，即最大利润为（元），
25．（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
（2）连接EC，根据题意得出，由（1）得，在证明，然后根据相似三角形性质求的值即可；
（3）过D作，过点A作，两线相交与点M，先证明，在证明，然后由相似三角形性质、勾股定理以及直角三角形角的性质可得结果．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
（2）如图2，连接EC，
，
，
由（1）知，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
作于H，
，，
，
，
由得，
又，
，
；
（3）如图，过D作，过点A作，
两线相交与点M，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
即AD的长为．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．(1)
(2)①；②的最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解；
②由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵的两根分别是，，
∴抛物线交x轴于，，
∴，
解得；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
令，则，
∴，设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上，
∴设，则，
即点在抛物线上，
∴，
整理得，
解得，，
∵点P不与点B重合，
∴；
②∵点，，
∴直线的方程为，
抛物线在平移过程中的顶点坐标为，
∵顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，即顶点始终在直线上，
∴，
即，
∵抛物线与相交于点Q，

∵，
∴当取最小值时，取最小值，
∵
，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．