2023-2024学年江苏省常州市天宁区北郊初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市天宁区北郊初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.为了考察库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实验，在这个问题中．下列说法正确的是( )
A. 总体是2000只灯泡B. 样本是抽取的15只灯泡
C. 个体是每只灯泡的使用寿命D. 个体是2000只灯泡的使用寿命
3.下列事件属于必然事件的是( )
A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是180°
D. 有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
4.若分式x−12−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x≠0C. x≠1且x≠2D. x≠2
5.《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情.如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为x(m)，根据题意可列方程( )
A. 0.6−x2.6−x=311B. 0.6−2x2.6−2x=311C. 0.6+x2.6+x=311D. 0.6+2x2.6+2x=311
6.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形.小明这样做的依据是( )
A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.如图，在△ABC中，AC=BC，AB=12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当CD=2 3时，AC的长为( )
A. 4 3
B. 10
C. 2 21
D. 21
8.如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是( )
A. 一直减小
B. 一直减小后增大
C. 一直不变
D. 先增大后减小
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______．
10.为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是______(填“普查”或“抽样调查”)．
11.为了解某市八年级学生的身高情况，在该市8200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是______．
12.八年级(1)班有40位同学，他们的学号是1−40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35.其中，发生可能性最小的事件为______(填序号)．
13.对于命题“若四边形ABCD中，AO=CO，BO≠DO，那么四边形ABCD不是平行四边形”.用反证法证明这个结论时，第一步应假设______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，DE=4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则平行四边形ABCD的周长为 ．
15.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG= ______．
16.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，分别连接A′B，D′B，则A′B+D′B的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程
(1)2x−3=32x−1；
(2)1x+1+2x−1=4x2−1．
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
(1)1a+3a2−3a；
(2)x+2x2÷(1+2x)．
19.(本小题8分)
为了解某校初三学生英语口语检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的英语口语检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：

请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽取的学生有______名；
(2)补全条形统计图；
(3)在抽取的学生中C级人数所扇形圆心角的度数为是______°；
(4)根据抽样调查结果，请你估计某校880名初三学生英语口语检测成绩等级为C级的人数．
20.(本小题6分)
在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的a= ______，b= ______；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是______(精确到0.1)；
(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
21.(本小题6分)
如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−5,3)，C(−1,1)．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P′(a+4,b+2)，请画出平移后的△A2B2C2；
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
22.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE/​/CF．
求证：(1)∠1=∠2；
(2)△ABE≌△CDF．
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE/​/AC交BC的延长线于点E．
(1)求证：DE=2OC；
(2)若AB=5，BD=8，求四边形ACED的面积．
24.(本小题8分)
新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．

(1)下列四边形为对直四边形的是______(写出所有正确的序号)；
①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．
(2)如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC=90°，O为AC的中点．
①求证：BD的垂直平分线经过点O；
②若AB=6，BC=8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．
25.(本小题10分)
对于矩形OABC，AB/​/OC，AO/​/BC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．
(1)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；
(2)点M从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动．
①当点M移动了3秒时，过点M作MD⊥BC于点D，E为OM的中点，F为线段OC上一点，且∠EDF=45°，求F点的坐标；
②当点M运动4秒时，连CM，点N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线交BM的延长线于点P，在点N运动的过程中，∠P∠CNM的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据中心对称图形的定义可知：
A，不是中心对称图形，不合题意；
B，不是中心对称图形，不合题意；
C，是中心对称图形，符合题意；．
D，不是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
根据定义“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的性质是关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、这2000只灯泡的使用寿命是总体，故本选项不合题意；
B、抽取的15个灯泡的使用寿命是样本，故本选项不合题意；
C、每个灯泡的使用寿命是个体，故本选项符合题意；
D、个体是每只灯泡的使用寿命，故本选项不合题意．
故选：C．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3.【答案】C
【解析】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：2−x≠0，
解得：x≠2，
故选：D．
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，得：0.6+2x2.6+2x=311，
故选：D．
根据装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可．
本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据平移的性质，得到AB//B1A1，AB=B1A1，
故选：C．
直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案．
本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠DAB=60°，AD=AB=12，
∴△DAB为等边三角形，
∴DA=DB，
∵AC=BC，
∴CD为AB的中垂线，
∴AF=12AB=6，
在Rt△ADF中，DF= AD2−AF2=6 3，
而CD=2 3，
∴CF=DF−CD=4 3，
在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2=2 21．
故选：C．
如图，连接DB，延长DC交AB于F，首先利用旋转的性质证明△DAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出DF，接着利用已知条件求出CF，最后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练利用旋转的性质和等边三角形的性质．
8.【答案】A
【解析】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，
∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△ADF≌△BAE(ASA)，
∴DF=AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF=PE，∠DFE=∠DPE，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°，
∴∠BAE=∠PEH，
∵∠ABE=∠H=90°，AE=EP．
∴△ABE≌△EHP(AAS)，
∴PH=BE，AB=EH=BC，
∴BE=CH=PH，
∴∠PCH=45°，
∵∠DCH=90°，
∴∠DCP=∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠DFE+∠EPC=∠DPE+∠EPC=∠DPC，
观察图象可得，∠DPC一直减小，
故选：A．
根据题意∠DFE+∠EPC=∠DPC，作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线即可解决问题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9.【答案】−1
【解析】解：由题意可得x2−1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为−1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
10.【答案】抽样调查
【解析】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
根据全面调查与抽样调查的特点解答即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的关键．
11.【答案】1500
【解析】解：在该市8200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是1500．
故答案为：1500．
根据样本容量的定义进行解答即可．
本题主要考查了样本容量的定义，掌握样本容量指一个样本的必要抽样单位数目，注意样本容量不带单位是关键．
12.【答案】③
【解析】解：①抽到的学号是奇数的可能性为2040=12；
②抽到的学号是个位数的可能性为940；
③抽到的学号不小于35的可能性为640=320，
∵320<940<12，
∴发生可能性最小的事件为为③．
故答案为：③．
分别求出3个事件的概率即可求解．
本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】四边形ABCD是平行四边形
【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形．
用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．
14.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD=BC=10，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=BC−DE=10−4=6，
∴平行四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)=(10+6)×2=32，
故答案为：32．
由平行四边形的性质可得ADBC，AD=BC=10，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB=AE，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，找到AB=AE并求出AB的长是解决本题的关键．
15.【答案】14
【解析】解：如图，连接AG，EG，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=2，
∵E是CD的中点，
∴CE=1，
设CG=x，则BG=2−x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+EC2=x2+1，AG2=AB2+BG2=4+(2−x)2，
∴x2+1=4+(2−x)2，
解得：x=74，
∴CG=74，
∴BG=2−74=14，
故答案为：14．
连接AG，EG，垂直平分线和正方形的性质，可得AG=EG，∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=2，设CG=x，则BG=2−x，根据勾股定理表示出EG2=x2+1，AG2=4+(2−x)2，根据AG=EG解出x的值即可．
本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线，是解答本题的关键．
16.【答案】4 3
【解析】解：∵在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，

∴AB=CD=4，∠ABC=∠DAC=30°，
∵将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，
∴A′D′=AD=4，A′D′//AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB，AD/​/CB，
∴∠ADC=120°，
∴A′D′=CB，A′D′//CB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=D′C，
∴A′B+BD′的最小值=BD′+CD′的最小值，
∵点D′在过点D且平行于AC的定直线上，
∴作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，
则BE的长度即为BD′+BA′的最小值，
在Rt△CHD中，∵∠D′DC=∠ACD=30°，AD=4，
∴CH=EH=12AD=2，
∴CE=4，
∴CE=CB，
∵∠ECB=∠ECA′+∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠E=∠BCE=30°，
∴BE=2× 32CD=4 3．
故答案为：4 3．
根据菱形的性质得到AB=4，∠ABC=120°，得出∠BAC=30°，根据平移的性质得到A′D′=AD=4，A′D′//AD，推出四边形A′BCD′是平行四边形，得到A′B=D′C，于是得到A′B+BD′的最小值=CD′+BD′的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，则BE的长度即为BA′+BD′的最小值，求得CE=CB，得到∠E=∠CBE=30°，于是得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：(1)去分母得：2(2x−1)=3(x−3)，
去括号得：4x−2=3x−9，
移项合并得：x=−7，
经检验x=−7是分式方程的解；
(2)去分母得：x−1+2x+2=4，
移项合并得：3x=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：(1)原式=1a+3a(a−3)
=a−3a(a−3)+3a(a−3)
=a−3+3a(a−3)
=1a−3；
(2)原式=x+2x2÷x+2x
=x+2x2⋅xx+2
=1x．
【解析】(1)先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可；
(2)先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19.【答案】100 108
【解析】解：(1)本次抽取的学生有2020%=100(名)．
故答案为：100；
(2)B等级的人数是：100×25%=25(名)．
补图如下：
(3)在抽取的学生中C级人数所所对应扇形的圆心角度数为：
360°×30100=108°，
故答案为：108；
(4)根据题意得：880×30%=264(名)．
答：估计某校880名初三学生英语口语检测成绩等级为C级的人数是264名．
(1)根据A等级的人数和所占的百分比即可求出总人数；
(2)用总人数乘以B等级所占的百分比，即可补全统计图；
(3)根据统计图中的数据可以求得在抽取的学生中C级人数所所对应扇形的圆心角度数；
(4)用某校860名初三学生乘以A等级所占的百分比，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】0.58 118 0.6
【解析】解：(1)a=58÷100=0.58，b=200×0.59=118，
故答案为：0.58，118；
(2)由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
(3)15÷0.6−15=10(个)，
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
(1)利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
(2)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
(3)根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21.【答案】(2,1)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)对称中心的坐标为(2,1)．
故答案为(2,1)．
(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)连接A1A2、B1B2、C1C2，它们的交点为对称中心．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF/​/EC，
又∵AE/​/CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴∠1=∠2(平行四边形对角相等)．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE=FC，AF=CE，
∴BE=FD，
在△ABE和△CDF中，
BE=DFAE=CFAB=CD,
∴△ABE≌△CDF(SSS)．
【解析】(1)证明四边形AECF是平行四边形即可；
(2)用SSS证明全等即可．
本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC，AD//BC，
∵DE/​/AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC，
∴DE=2OC．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，BO=DO=12BD=4，AC⊥BD，AO=CO=12AC，
∴∠AOB=90°，
∴AO=OC= AB2−OB2=3，
∴AC=2OC=6，
∴S菱形ABCD=12AC×BD=12×6×8=24，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，AD/​/CE，
∴S四边形ACED=S菱形ABCD=24．
【解析】(1)证明四边形ACDE为平行四边形，得出AC=DE，根据菱形性质得出AC=2OC即可证明结论；
(2)根据勾股定理，先求出对角线AC的长，再根据S四边形ACED=S菱形ABCD即可解决问题．
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是证明ACED是平行四边形，记住菱形的对角线互相垂直．
24.【答案】②④
【解析】(1)∵矩形和正方形的四个角都是直角，
∴矩形和正方形是对直四边形，
故答案为：②④；
(2)①证明：如图，连接BO，DO，
在对直四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵O为AC的中点．
∴BO=DO，
∴BD的垂直平分线经过点O；
②∵四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，S△ABC是定值，
∴S△ACD有最大值时，四边形ABCD的面积有最大值，
∵AC是定长，
∴当OD⊥AC时，S△ACD有最大值．
如图，过点D作DE⊥BD，交BA的延长线于点E，
∵AO=OC=OD，OD⊥AC，
∴AD=CD，
∵DE⊥BD，
∴∠EDB=∠ADC=90°，
∴∠EDA=∠BDC，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠DCB=∠DAE，
∴△DAE≌△DCB(ASA)，
∴DE=DB，AE=BC=8，
∴△DEB是等腰直角三角形，BE=14，
∴DB=7 2．
(1)由对直四边形的定义可求解；
(2)①由直角三角形的性质可得BO=DO，可得结论；
②由“ASA”可证△DAE≌△DCB，可得DE=DB，AE=BC=8，由等腰直角三角形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①当点P在OA上时，设P(x,0)(x<0)，如图1−①，

∵S△ABP：S四边形BCOP=1：4，
∴S△ABP=15S矩形OABC，
即12×3(x+5)=15×5×3，
解得x=−3，
∴P(−3,0)；
②当点P在OC上时，设P(0,y)(y<0)，如图1−②，

∵S△CBP：S四边形BPOA=1：4，
∴S△CBP=15S矩形OABC，
即12×5(y+3)=15×5×3，
解得y=−95，
∴P(0,−95)，
综上所述，P点坐标为(−3,0)或(0,−95)；
(2)①当点M移动了3秒时，OM=3，M(−3,0)，如图2，

在MA上截取MF′=CF，连接CF′，EF，
∵MD⊥BC，
∴∠MDC=90°=∠MOC=∠BCO，
∴四边形CDMO是矩形，
∴∠MDC=90°，
∵OM=OC=3，
∴四边形CDMO是正方形，
∴DC=DM=3，
∵∠DCF=∠DMF′，CF=MF′，
∴△DCF≌△DMF′(SAS)，
∴DF=DF′，∠CDF=∠MDF′，
∵∠EDF=45°，
∴∠CDF+∠EDM=45°，
∴∠MDF′+∠EDM=45°，即∠EDF′=45°，
∴∠EDF′=∠EDF，
∵DE=DE，DF′=DF，
∴△EDF′≌△EDF(SAS)，
∴EF′=EF，
∵E为OM的中点，
∴OE=EM=32，
设F(0,−m)(m>0)，
则MF′=CF=3−m，
∴EF=EM′=92−m，
在Rt△EFO中，OE2+OF2=EF2，
∴(32)2+m2=(92−m)2，
解得：m=2，
∴F(0,−2)；
②∠P∠CNM的值不会变化，理由如下：
延长BC至点K，过点M作MH//CP交BC于点H，如图3，

当点M运动4秒时，OM=4，
在Rt△OCM中，CM= 42+32=5，
∴CB=CM=5，
∴∠CBM=∠CMB，
∵四边形OABC为矩形，
∴OA/​/BC，
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCK，
∴∠MCK=2∠CMB，
∵MH//CP，
∴∠HMC=∠MCP，∠P=∠BMH，
又∵CP平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠HMC，
∴∠P=∠BMH=∠CMB−∠HMC，
∠CNM=∠NCK=∠MCK−∠NCM=2∠BMC−2∠PCM=2∠P，
∴∠P∠CNM=12．
【解析】(1)分类讨论：当点P在OA上时，设P(x,0)(x<0)，根据题意得S△ABP=15S矩形OABC，则12×3(x+5)=15×5×3；当点P在OC上时，设P(0,y)(y<0)，根据题意得S△CBP=15S矩形OABC，则12×5(y+3)=15×5×3，然后分别解方程即可得到P点坐标；
(2)①当点M移动了3秒时，OM=3，M(−3,0)，如图2，在MA上截取MF′=CF，连接CF′，EF，利用矩形的性质证得△DCF≌△DMF′(SAS)，△EDF′≌△EDF(SAS)，设F(0,−m)(m>0)，则MF′=CF=3−m，EF=EM′=92−m，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
②延长BC至点K，过点M作MH//CP交BC于点H，如图2，运用勾股定理可得出CB=CM=5，可得∠CBM=∠CMB，由OA//BC得∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCK，利用∠CBM=∠CMB得到∠MCK=2∠CMB，根据平行线得性质得∠HMC=∠MCP，∠P=∠BME，加上∠NCM=2∠HMC，于是可得∠P=∠BMH=∠CMB−∠HMC，∠CNM=∠NCK=∠MCK−∠NCM=2∠BMC−2∠PCM，所以∠CNM=2∠P，即可得出答案．
本题是矩形综合题，考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，非负数的性质，角平分线的定义，矩形性质，平行线的性质，三角形面积公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质．学会添加辅助线，运用数形结合思想是解题关键．摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率mn
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601