2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一次函数y=x−2的图象经过点(1,a)，则a的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
2.如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AD=BCB. AB=CD
C. AB=ADD. ∠ABD=∠BDC
3.甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2=16，S乙2=18，S丙2=5，S丁2=28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是( )
A. 甲团B. 乙团C. 丙团D. 丁团
4.如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线.设AC、BC的中点分别为M、N.若MN=3米，则AB=( )
A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
5.一次函数y=−12x−1的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.在一次体重测量后，小明测得自己的体重为50kg，他根据班长数据分析的结果，发现自己的体重低于全班半数学生的体重，则小明得出结论用到的统计量是( )
A. 方差B. 平均数C. 众数D. 中位数
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°
8.如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( )
A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C. 报亭到小亮家的距离是400米D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟
9.有一块长方形菜园ABCD，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m的篱笆围成，设长方形的长BC为x m，宽AB为y m，则下列函数图象能反映y与x关系的是( )
A. B.
C. D.
10.定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”.如图，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB=AD，∠A=90°，S四边形ABCD=16，CD=1，则BC的长为( )
A. 4B. 5C. 7D. 8
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.若正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是______.(写出一个即可)
12.一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间的销售情况如表：
根据表中数据，可建议鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为______cm．
13.将直线y=2x+1向上平移2个单位长度后得到的直线解析式为______．
14.某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占20%，演唱技能占40%，乐器演奏占40%，该校小颖同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：95分，90分，85分，则小颖同学的音乐成绩为______分.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9,0)，点C的坐标为(0,3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC⋅EF的值为______．
16.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.若∠EAF=45°，∠BAE=α，则∠AEF= ______(用含α的式子表示)．
17.如图，M为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，将纸片沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D处，MD′与BC交于点N.继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线MD′上的点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME.若MN=3 2，则EC的长为______．
18.在平面直角坐标系中，若点P(m−2,−m+3a+2)始终处于一次函数y=−x+2−a的图象的下方，则a的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM/​/CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F.求证BE=DF．
20.(本小题8分)
某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛，比赛规则：6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩下的4个分数的平均值为该选手成绩，如表是某选手的得分情况：
其中，裁判4、裁判5给出的分数均被去除.经计算，该选手的成绩为93.75分．
请根据上述信息，解决以下问题：
(1)求b的值；
(2)请判断a是最高分还是最低分，并说明理由．
21.(本小题12分)
如图，在直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=2x−52上，过点A的直线交y轴于点B(0,3)．
(1)求m的值和直线AB的解析式；
(2)若点P(t,y1)在直线AB上，当−2≤t≤4时，求y1的最大值；
(3)若点N(n,y2)在直线y=2x−52上，当y2<0时，请直接写出n的取值范围．
22.(本小题10分)
为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集(单位：万元)：
数据整理：
数据分析：
问题解决：
(1)填空：a= ______，b= ______．
(2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有______名员工获得奖励．
(3)经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
23.(本小题12分)
在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题．
小星和小红分别给出了自己的证明思路．
根据上面的信息，解决问题：
(1)请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断；
(2)请给出框图中解答题的证明过程．
24.(本小题13分)
1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升.两个气球都上升了1h.1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：
(1)a= ______，b= ______；
(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
25.(本小题14分)
如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P为射线BC上的一个动点，延长CD到点E，使DE=BP，连接AE，AP，以AE，AP为边作平行四边形APFE，直线PF和直线CD相交于点M．
(1)如图1，点P在边BC上，判断四边形APFE的形状，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若点P为BC的中点，求点F到边CD的距离；
(3)若CP=2，求CM的长．
26.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx−2k的图象分别交x轴、y轴于点A，B．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______(用含有k的式子表示)；
(2)若一次函数y=kx−2k经过点(1,−2)，平行于x轴的两条直线l1，l2分别与一次函数y=kx−2k的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n.当m−n=3时，线段MN的长度是否发生变化？若不变，请求出MN的长；若变化，请说明理由．
(3)若一次函数y=kx−2k的图象与函数y=x的图象、x轴所围成的三角形的面积不小于1，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=x−2的图象经过点(1,a)，
∴1−2=a，
∴a=−1．
故选：A．
将点(1,a)代入直线解析式求出a值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足关系式是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.根据AB/​/CD，AD=BC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B.由AB/​/CD，AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故该选项正确，符合题意；
C.根据AB/​/CD，AB=AD，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D.根据AB/​/CD，∠ABD=∠BDC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
本题考查了平行四边形的判定定理，关键是平行四边形判定定理的应用．
3.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=16，S乙2=18，S丙2=5，S丁2=28，
∴S丙2∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团，
故选：C．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4.【答案】B
【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB=2MN=6(m)，
故选：B．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5.【答案】A
【解析】解：∵y=−12x−1中k<0，b<0，
∴函数图象经过第二，三，四象限，
故选：A．
根据一次函数y=kx+b中，k与b的符号判断．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数关系．
6.【答案】D
【解析】解：全班在一次体重测量排列后，最中间一个数或最中间两个体重数的平均数是这组体重数的中位数，
半数学生的体重位于中位数或中位数以下，
小明低于全班半数学生的体重所用的统计量是中位数，
故选：D．
根据中位数的意义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
7.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=90°−∠1=70°．
故选C．
根据菱形的性质得到∠COD=90°，根据三角形内角和定理即可求得∠2．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：(1.0−0.4)÷(45−37)=0.075(千米/分)=75(米/分)，故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37−7=30(分钟)，故D选项符合题意；
故选：D．
根据图象逐个分析即可．
本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得，菜园三边长度的和为20m，
即2y+x=20，
所以y=−12x+10(0所以函数图象能反映y与x关系的是A．
故选：A．
根据菜园的三边的和为20m，进而得出一个x与y的关系式即可．
本题考查函数的图象，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为20m是解决问题的前提．
10.【答案】C
【解析】解：设BC=x，AB=AD=y，
∵四边形ABCD是“邻等对补四边形”，∠A=90°，
∴∠C=∠A=90°，
∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=16，CD=1，
∴12AB⋅AD+12BC⋅CD=16，
∴y2+x=32，
即y2=32−x①，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2=AB2+AD2=2y2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2=BC2+CD2=x2+1，
∴2y2=x2+1②，
将①代入②，得：64−2x=x2+1，
∴(x+1)2=64，
∴x+1=8或x+1=−8，
由x+1=8，解得：x=7，
由x+1=−8，解得：x=−9(不合题意，舍去)，
∴BC=x=7．
故选：C．
设BC=x，AB=AD=y，根据“邻等对补四边形”定义得∠C=∠A=90°，再根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=16得y2=32−x①，BD2=AB2+AD2=BC2+CD2得2y2=x2+1②，将①代入②得64−2x=x2+1，由此解出x即可得BC的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形”定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键．
11.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的函数值y随着x的增大而减小，
∴k<0，
则k=−2符合条件．
故答案为：−2(答案不唯一)．
根据正比例函数的性质可得k<0，写一个符合条件的数即可．
此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12.【答案】23.5
【解析】解：观察数据可知，24出现的次数最多，故鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为23.5cm．
故答案为：23.5．
根据众数的定义即可求解．
本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
13.【答案】y=2x+3
【解析】解：根据平移的规则可知：
将直线y=2x+1向上平移2个单位长度后得到的直线解析式为：y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
根据函数图象的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．
14.【答案】89
【解析】解：小颖同学的音乐成绩为95×20%+90×40%+85×40%=89(分)，
故答案为：89．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15.【答案】30
【解析】解：连接AC、EF，
∵点A的坐标为(9,0)，点C的坐标为(0,3)，以OA，OC为边作矩形OABC，
∴OA=BC=9，OC=AB=3，
∴B(9,3)，AC= BC2+AB2= 92+32=3 10，
依题意，OE=4×1=4，BF=4×1=4，
∴AE=9−4=5，则E(4,0)，
∴CF=BC−BF=9−4=5，
∴F(5,3)，
EF= (5−4)2+(3−0)2= 10，
∴AC⋅EF=3 10× 10=30．
故答案为：30．
根据题意，得出E(4,0)，F(5,3)，勾股定理求得EF，AC，即可求解，
本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求出E，F的坐标是解题的关键．
16.【答案】90°−α
【解析】解：在正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：
则AF=AG，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
在△GAE和△FAE中，
AF=AG∠FAE=∠GAEAE=AE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴∠AEF=∠AEG，
∵∠BAE=α，
∴∠AEB=90°−α，
∴∠AEF=∠AEB=90°−α，
故答案为：90°−α．
根据正方形的性质可得AD=AB，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE(SAS)，根据全等三角形的性质可得∠AEF=∠AEG，进而解答即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
17.【答案】6 2
【解析】解：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD=∠CMD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠CMD=∠MCN，
∴∠CMD′=∠MCN，
∴MN=CN；
由四边形ABEM折叠得到四边形A′B′EM，
∴∠AME=∠A′ME，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠AME=∠MEN，
∴∠A′ME=∠MEN，
∴MN=EN，
∵MN=CN，
∴MN=EN=NC，
即EC=2MN；
∵MN=3 2，
∴EC=6 2，
故答案为：6 2．
由折叠的性质可得∠CMD=∠CMD′，再由矩形的性质结合平行线的性质得到∠CMD=∠MCN，则∠CMD′=∠MCN，进而可得MN=CN；根据折叠的性质得到∠AME=∠A′ME，根据矩形的性质推出∠AME=∠MEN，则∠A′ME=∠MEN，根据等腰三角形的判定即可得出MN=EN，结合MN=CN即可得解；
此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
18.【答案】a<12
【解析】解：当x=m−2时，y=−m+2+2−a=−m+4−a，
∵点P(m−2,−m+3a+2)始终处于一次函数y=−x+2−a的图象的下方，
∴−m+3a+2<−m+4−a，
∴a<12，
∴a的取值范围为a<12．
故答案为：a<12．
当x=m−2时，y=−m+2+2−a=−m+4−a，根据点P(m−2,−m+3a+2)始终处于一次函数y=−x+2−a的图象的下方，得不定式−m+3a+2<−m+4−a，即可求出答案．
本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握一次函数的性质是关键．
19.【答案】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AM/​/CN，
∴∠EAC=∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
∠EAC=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴BO−OE=OD−OF，
∴BE=DF．
【解析】连接AC交BD于O，根据平行四边形的性质得到AO=OC，BO=DO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意得，(94+94+94+b)÷4=93.75，
解得b=93，
答：b的值为93；
(2)a是最低分，由题意可知a≤93，否则就不满足平均数是93.75，且去掉的是94分和a分．
【解析】(1)根据平均数的计算方法进行计算即可；
(2)根据计算成绩的方法进行判断即可．
本题考查算术平均数，理解平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的前提．
21.【答案】解：(1)∵点A(2,m)在直线y=2x−52上，
∴m=2×2−52=32，
∴A(2,32)，B(0,3)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
2k+b=32b=3，解得k=−34b=3，
∴直线AB的解析式为y=−34x+3．
(2)将直线AB解析式整理为：x=4−4y3，
∵−2≤t≤4即−2≤4−43y1≤4，
解得92≥y1≥0，
∴y1的最大值是92．
(3)当y2<0时，2n−52<0，
n<54．
【解析】(1)先求出m值，再用待定系数法求出直线AB解析式即可；
(2)将直线AB解析式整理为：x=4−4y3，根据题意列出不等式−2≤4−43y1≤4，解不等式即可得到y1最大值；
(3)当y2<0时，2n−52<0，解不等式即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握解不等式是解答本题的关键．
22.【答案】4 7.7 12
【解析】解：(1)a=20−3−5−4−4=4，
将20个数据按由大到小的顺序排列如下：
5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9，
位置在中间的两个数为7.6，7.8，它们的平均数为7.7，
∴这组数据的中位数为7.7，
∴b=7.7．
故答案为：4；7.7；
(2)由20个数据可知：不低于7万元的个数为12，
∴若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有12名员工获得奖励，
故答案为：12；
(3)由(1)可知：20名员工的销售额的中位数为7.7万元，
∴20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元，
公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得，
而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，
∴员工甲不能拿到奖励．
(1)利用频数和中位数的定义解答即可；
(2)利用表格一的信息解答即可；
(3)利用中位数的定义解答即可．
本题主要考查了数据与统计，数据的分析与整理，平均数，众数，中位数与频数，熟练掌握上述数据的特征是解题的关键．
23.【答案】(1)解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确，
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确；
(2)证明：小星的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，CD=AB，
∵AF=CE，
∴AB−AF=CD−CE，
即BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
小红的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，AD=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠BED=∠EBF=∠BEC=90°，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠A=∠CAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠DFA=∠BEC=90°，
∴∠BED=∠EBF=∠DFB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
【解析】(1)由矩形的判定方法即可得出答案；
(2)小星的思路：由平行四边形的性质得出CD/​/AB，CD=AB，求出BF=DE，则四边形BFDE是平行四边形，再由∠BED=90°，即可得出结论；小红的思路：由平行四边形的性质得出CD/​/AB，AD=CB，∠A=∠C，易证∠BED=∠EBF=∠BEC=90°，再证明△ADF≌△CBE(SAS)，得出∠DFA=∠BEC=90°，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定是解题的关键．
24.【答案】解：(1)0.5 30
(2)根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1=10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2=20+0.5x；
(3)分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5m，根据题意得：
(20+0.5x)−(x+10)=5，
解得x=10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5m，根据题意得：
(x+10)−(0.5x+20)=5，
解得x=30．
综上所述，上升了10min或30min后这两个气球相距5m．
【解析】解：(1)∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．
当x=20时，两球相遇，
y1=10+x=10+20=30，
∴b=30，
设2号探测气球解析式为y2=20+ax，
∵y2=20+ax过(20,30)，
∴30=20+20a，
解得a=0.5，
∴y2=20+0.5x，
故答案为：0.5，30；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据“1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度上升”求出b，再根据y2=20+ax计算出a即可；
(2)根据“1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度上升，2号探测气球从海拔20m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；
(3)两个气球所在位置的海拔相差5m，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高5m；②1号探测气球比2号探测气球海拔高5m；分别列出方程求解即可．
此题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式．
25.【答案】解：(1)四边形APFE是正方形，
理由：在正方形ABCD中，
AB=AD，∠B=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADE=∠BAD=90°，
∵DE=BP，
∴△ABP≌△ADE(SAS)，
∴AP=AE，∠BAP=∠DAE，
∵∠BAD=∠BAP+∠PAD=90°，
∴∠PAE=∠DAE+∠PAD=90°，
又∵四边形APFE是平行四边形，
∴四边形APFE是正方形；
(2)作FH⊥CD，垂足为H，

则FH为所求距离，
∵四边形APFE是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∵∠AED+∠MEF=90°，
∠EFH+∠MEF=90°，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF(AAS)，
∴ED=FH，
由(1)得△ABP≌△ADE，
∴PB=ED，
∴FH=PB，
∵点P是BC中点，
∴PB=12BC=2，
∴FH=2，
∴点F到CD距离为2；
(3)①点P在线段BC上，
在正方形APFE中，∠APM=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，∠MPC+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠MPC，
∴tan∠BAP=tan∠MPC，
∴BPAB=CMPC，
∴24=CM2，
∴CM=1，
②点P在BC延长线上，
在正方形ABCD中，
AD//BC，∠ADM=∠PCM=90°，
∴∠DAM=∠CPM，
∴tan∠DAM=tan∠CPM，
∴DMAD=CMCP，
∴DM2=CM2，
∴DM=2CM，
∵CD=CM+DM=3CM，
∴CM=43，
∴CM为1或43．
【解析】(1)先根据正方形ABCD，推出△ABP≌△ADE(SAS)，再根据角的变换，四边形APFE是平行四边形，即可作答；
(2)作FH⊥CD，垂足为H，则FH为所求距离，△ADE≌△EHF(AAS)，ED=FH，由(1)得△ABP≌△ADE，推出FH=PB，PB=12BC，进而推出FH的长；
(3)分情况讨论：①点P在线段BC上，②点P在BC延长线上，进而计算即可．
本题考查三角形全等，三角函数，正方形的综合题，解题的关键是分情况讨论．
26.【答案】(2,0) (0,−2k)
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx−2k的图象分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A(2,0)，B(0,−2k)；
故答案为：(2,0)，(0,−2k)；
(2)不发生变化，理由如下：
∵一次函数y=kx−2k经过点(1,−2)，
∴−2=k−2k，
∴k=2，
∴y=2x−4，
∵平行于x轴的两条直线l1，l2分别与一次函数y=2x−4的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n，
∴M(m,2m−4)，N(n,2n−4)，
∴MN= (m−n)2+(2m−4−2n+4)2= 5(m−n)2=3 5．
(3)设直线y=kx−2k与直线y=x的交点为P，
∵y=kx−2k=k(x−2)，
∴点A(2,0)，
∴OA=2，
当S△OAP=1时，P(1,1)或(−1,−1)，
把(1,1)代入y=kx−2k，求得k=−1，
把(−1,−1)代入y=kx−2k，求得k=13，
∵一次函数y=kx−2k的图象与函数y=x的图象、x轴所围成的三角形的面积不小于1，
∴k≤−1或k≥13且k≠1．
(1)根据图象上点的坐标特征求得即可；
(2)利用待定系数法求得k=2，则y=2x−4，M(m,2m−4)，N(n,2n−4)，利用勾股定理即可求得MN=3 5；
(3)求得S△OAP=1时，P(1,1)或(−1,−1)，代入y=kx−2k求得k的值，结合图象即可求得k的取值范围．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
3
4
7
15
6
3
2
裁判
1
2
3
4
5
6
分数
94
94
94
94
a
b
5.9
9.9
6.0
5.2
8.2
6.2
7.6
9.4
8.2
7.8
5.1
7.5
6.1
6.3
6.7
7.9
8.2
8.5
9.2
9.8
销售额/万元
5≤x<6
6≤x<7
7≤x<8
8≤x<9
9≤x<10
频数
3
5
a
4
4
平均数
众数
中位数
7.44
8.2
b
在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，点F在边AB上，AF=CE，连接DF，求证：四边形BFDE是矩形．
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．