2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第2讲二项式定理

这是一份2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第2讲二项式定理，共3页。试卷主要包含了几个多项式积的展开式中特定项，几个多项式和的展开式中特定项，三项展开式中特定项问题等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·浙江绍兴诊断)(x2－1)(x＋2)4的展开式中x2的系数为 －8 (用数字作答)．
[解析] 由题意得：(x＋2)4展开式的通项为：Tr＋1＝Ceq \\al(r,4)x4－r2r，当4－r＝2时，即：r＝2，得：T3＝Ceq \\al(2,4)x222＝24x2，当4－r＝0时；即：r＝4，得：T5＝Ceq \\al(4,4)x024＝16，所以得：(x2－1)(x＋2)4展开式中含x2项为：16x2－24x2＝－8x2，所以x2的系数为－8.
2．(2023·广东六校联考)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为 40 .
[解析] 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中的各项系数的和为2，
令x＝1，得(a＋1)·15＝2，得a＝1.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(2x)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)·x5－2r，r＝0,1,2,3,4,5.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中的通项有(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)·x6－2r和(－1)r·25－r·Ceq \\al(r,5)·x4－2r.
令4－2r＝0，得r＝2，则展开式中的常数项为(－1)2·23·Ceq \\al(2,5)＝80；
令6－2r＝0，得r＝3，则展开式中的常数项为(－1)3·22·Ceq \\al(3,5)＝－40，
所以该展开式的常数项为80－40＝40.
名师点拨：
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
二、几个多项式和的展开式中特定项(系数)、参数问题
1.(2022·河南南阳期末)已知(1＋x)＋2(1＋x)2＋3(1＋x)3＋…＋10(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a7＝( C )
A．9Ceq \\al(3,11) B．eq \f(28,3)Ceq \\al(3,11)
C.eq \f(29,3)Ceq \\al(3,11) D．10Ceq \\al(3,11)
[解析] 解法一：依题意a7＝7×Ceq \\al(7,7)＋8×Ceq \\al(7,8)＋9×Ceq \\al(7,9)＋10×Ceq \\al(7,10)
＝7×Ceq \\al(0,7)＋8×Ceq \\al(1,8)＋9×Ceq \\al(2,9)＋10×Ceq \\al(3,10)
＝7＋8×8＋9×eq \f(9×8,2)＋10×eq \f(10×9×8,3×2×1)
＝7＋64＋324＋1 200＝1 595＝eq \f(29,3)Ceq \\al(3,11).故选C.
解法二：记Sn＝(1＋x)＋2(1＋x)2＋…＋10(1＋x)10，
则Sn－(1＋x)Sn＝eq \f(1＋x[1－1＋x10],1－1＋x)－10(1＋x)11，
∴Sn＝eq \f(1＋x－1＋x11,x2)＋eq \f(101＋x11,x).
∴a7＝－Ceq \\al(2,11)＋10Ceq \\al(3,11)＝－eq \f(1,3)Ceq \\al(3,11)＋10Ceq \\al(3,11)＝eq \f(29,3)Ceq \\al(3,11)，故选C.
2．(2023·北京四中开学考)设多项式(x＋1)5＋(x－1)10＝a10x10＋a9x9＋…＋a1x＋a0，则a9＝ －10 ，a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝ 528 .
[解析] 因为(x＋1)5＋(x－1)10＝a10x10＋a9x9＋…＋a1x＋a0，所以a9是展开式中x9的系数，设(x－1)10的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)x10－r(－1)r，
所以当r＝1时，a9＝Ceq \\al(1,10)(－1)1＝－10.
令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝25，
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝210.
∴a0＋a2＋a4＋…＋a10＝eq \f(210＋25,2)＝29＋24＝528.
名师点拨：
对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)参数问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项再求和．或将和式化简后转化为二项展开式问题处理．
三、三项展开式中特定项(系数)问题
(2022·安徽合肥质检)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5的展开式中，x2的系数为 －960 .
[解析] 解法一：(化为二项展开式问题)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))10，
Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(eq \r(x))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(x))))r＝(－2)rCeq \\al(r,10)x5－r，
令5－r＝2，r＝3，所求系数为(－2)3Ceq \\al(3,10)＝－960.
解法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4＋\f(4,x)))5＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))－4))5展开式的通项为Tr＋1＝(－4)r·Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))5－r；
而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))5－r展开式的通项为T′s＋1＝4s·Ceq \\al(s,5－r)x5－r－2s.
∴Tr＋1＝(－4)r·4sCeq \\al(r,5)·Ceq \\al(s,5－r)·x5－r－2s，
由s＝0，r＝3或s＝r＝1可求得x2的系数为(－4)3·40Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(0,2)＋(－4)·4·Ceq \\al(1,5)·Ceq \\al(1,4)＝－960.
解法三：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论)
①5个括号中的2个选x,3个选(－4)，这样得到的x2的系数为Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)(－4)3＝－640；
②5个括号中3个选x,1个选eq \f(4,x)，1个选－4，这样得到的x2的系数为Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)×4×(－4)＝－320；
∴所求系数为－640－320＝－960.
名师点拨：(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
【变式训练】
1．(多选题)(2024·湖南名校联考联合体联考)设(3x－2)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a7x7，则下列结论正确的是( ACD )
A．a0＝－2
B．a3＝85
C．a1＋a3＋a5＋a7＝32
D．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝2 916
[解析] (1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)xr(r＝0,1,2，…，6)，所以a0＝－2×Ceq \\al(0,6)＝－2，故选项A正确；又T4＝20x3，T3＝15x2，从而(3x－2)(1＋x)6的展开式中x3的系数为3×15＋(－2)×20＝5，故选项B错误；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(3×1－2)·(1＋1)6＝64，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，两式相减得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64，所以a1＋a3＋a5＋a7＝32，故选项C正确；令x＝2得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝(3×2－2)·(1＋2)6＝2 916.故选项D正确．故选ACD.
2．(2023·安徽蚌埠质检)(x2＋3x＋1)5的展开式中x3的系数为 330 .
[解析] 解法一：(x2＋3x＋1)5＝[x(x＋3)＋1]5＝x5(x＋3)5＋Ceq \\al(1,5)x4(x＋3)4＋Ceq \\al(2,5)x3(x＋3)3＋Ceq \\al(3,5)x2·(x＋3)2＋Ceq \\al(4,5)x(x＋3)＋Ceq \\al(5,5).∴x3的系数为33Ceq \\al(2,5)＋6Ceq \\al(3,5)＝330.
解法二：5个因式中1个选x2,1个选3x,3个选1其系数为3Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,4)＝60，若5个因式中3个选3x,2个选1其系数为33Ceq \\al(3,5)＝270.故x3的系数为60＋270＝330.