2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合提能训练，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2024·湖南部分重点中学联考)在如图所示的表格中填写1,2,3三个数字，要求每一行、每一列均有这3个数字，则不同的填法种数为( C )
A．6 B．9
C．12 D．18
[解析] 第一行填数有Aeq \\al(3,3)＝6种填法，第二行填数有2种填法，第三行填数只有1种填法，故总的填数方法有6×2×1＝12种．
2．(2023·高考新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( D )
A．Ceq \\al(45,400)·Ceq \\al(15,200)种 B．Ceq \\al(20,400)·Ceq \\al(40,200)种
C．Ceq \\al(30,400)·Ceq \\al(30,200)种 D．Ceq \\al(40,400)·Ceq \\al(20,200)种
[解析] 根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×eq \f(400,600)＝40人，高中部共抽取60×eq \f(200,600)＝20，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有Ceq \\al(40,400)·Ceq \\al(20,200)种．故选D.
3．(2024·黑龙江龙西北高中名校联盟联考)将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( B )
A．90 B．135
C．270 D．360
[解析] 在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有Ceq \\al(2,6)＝15种，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为15×3×3＝135种选法．故选B.
4．(2023·黑龙江哈尔滨质检)小张接到5项工作，要在下周一、周二、周三、周四这4天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有( A )
A．180种 B．480种
C．90种 D．120种
[解析] 由题意可知不同的安排方式有Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝180种．故选A.
5．(2023·江西省萍乡市模拟)如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有( C )
A.24种 B．48种
C．96种 D．120种
[解析] 由表
知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(种)，故选C.
6．(2024·江苏扬州模拟)重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节日，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为( B )
A．288种 B．144种
C．72种 D．36种
[解析] A，B相邻，捆绑作为一个节目与E、F进行全排列，然后把C、D插入其中的四个空档中，排法总数为Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝144.故选B.
7．(2024·江苏南京六校联考)从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有( C )
A．16种 B．36种
C．54种 D．96种
[解析] 当选择一个男生，二个女生时，不同的安排方法有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(3,3)＝36；当选择二个男生，一个女生时，不同的安排方法有Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝18，所以不同安排方法有36＋18＝54种，故选C.
8．(2024·湖南名校联盟、河南焦作、陕西商洛阶段测试)位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为( C )
A．96 B．144
C．240 D．360
[解析] 先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为(Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(1,4))Aeq \\al(4,4)＝240.故选C.
9．(2024·河南洛阳创新发展联盟阶段测试)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是( D )
A．180 B．320
C．345 D．360
[解析] 若6支救援队按1,1,4分成3组，则不同的安排方法种数是eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,5),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝30，若6支救援队按1,2,3分成3组，则不同的安排方法种数是Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝240，若6支救援队按2,2,2分成3组，则不同的安排方法种数是eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90，故不同的安排方法种数是360.
二、多选题
10．(2024·河北石家庄摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( BD )
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
[解析] 由eq \f(A\\al(5,5),A\\al(3,3))＝20(种)知A错；由Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72(种)知B正确；若甲在最右端有Aeq \\al(4,4)＝24(种)排法，若甲不在最右端有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝54种排法，54＋24＝78(种)知C错；由Aeq \\al(4,4)＝24(种)知D正确．故选BD.
11．(2023·辽宁模拟)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( BD )
A．若1班不再分配名额，则共有Ceq \\al(4,20)种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有Ceq \\al(5,19)种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
[解析] 对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有Ceq \\al(4,19)种分配方法，故A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有Ceq \\al(5,19)种分配方法，故B正确；
对于C、D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有Aeq \\al(2,6)＝30种；③两个班都是2个名额，有Ceq \\al(2,6)＝15种；④两个班1个名额，一个班2个名额，有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)＝60；⑤四个班都是1个名额，有Ceq \\al(4,6)＝15种，则共有126种，故C错误，D正确．故选BD.
12．(2024·云南曲靖一中月考)下列说法正确的是( BC )
A．11×12×…×20可表示为Aeq \\al(11,20)
B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次
C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D．4名老师派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法
[解析] Aeq \\al(11,20)＝10×11×12×13×…×20，故A错误；5人两两握手，共握Ceq \\al(2,5)＝10(次)，故B正确；在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有Aeq \\al(3,5)＝60(种)，其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有60－1＝59(种)，故C正确；将4人按3,1分派，共Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝8种；将4人按2,2分派，共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6种．故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误．故选BC.
三、填空题
13．(2024·江苏常州教育学会期中)将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为 216 (用数字作答)
[解析] 5本书送4人共有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)＝240，甲，乙送一人有Aeq \\al(4,4)＝24个结果，240－24＝216.
14．(2024·浙江名校新高考研究联盟联考)杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 140 种．(用数字作答)．
[解析] 若从只会韩语中选3人，则Ceq \\al(3,4)(Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,1))＝4×20＝80种，若从只会韩语中选2人，则Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(3,5)＝6×10＝60种，故不同的选人方案共有60＋80＝140种．
15．(2024·湖南衡阳名校月考)在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有 36 个．
[解析] 如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有Aeq \\al(3,3)·Ceq \\al(2,4)＝36.
B组能力提升
1．(2023·贵州遵义新高考协作体质检)现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有( B )
A．72种 B．144种
C．288种 D．576种
[解析] 教师排两端有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝72种排法，
教师不排两端有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝72种排法．
故共有72＋72＝144种排法．选B.
2．(多选题)(2024·广东佛山S71联考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( AD )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为Aeq \\al(4,5)Ceq \\al(1,4)
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3))Aeq \\al(3,3)
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)
[解析] 每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)种安排方法，B错误；先将5人分为3组，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有Aeq \\al(3,3)种情况，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))Aeq \\al(3,3)种安排方法，C错误；①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)种安排方法，D正确．故选AD.
3．(2023·广东茂名一中模拟)由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为( C )
A．42 031 B．42 103
C．42 130 D．42 301
[解析] 由数字0,1,2,3,4组成的各位上没有重复数字的五位数中，1在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；2在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；3在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；4在万位的有Aeq \\al(4,4)＝24(个)；则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数.4在万位0在千位的有Aeq \\al(3,3)＝6(个)；4在万位1在千位的有Aeq \\al(3,3)＝6(个)；4在万位2在千位的有Aeq \\al(3,3)＝6(个)，则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数.4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为：42 013,42 031,42 103,42 130,42 301,42 310则从小到大排列第88个数为42 130.故选C.
4．(2024·南京师大苏州实验学校调研)有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有 480 种不同的坐法．
[解析] 先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1,2,3,4号位置，因为甲、乙两人都在丙的同侧，当丙在1号位置有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，当丙在2号位置有Aeq \\al(2,2)＝2种排法，当丙在3号位置有Aeq \\al(2,2)＝2种排法，当丙在4号位置有Aeq \\al(3,3)＝6种排法，共有16种排法；又因为有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余两个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，有5Ceq \\al(2,4)＝30种排法，所以共有16×30＝480种排法．
5．(2024·浙江新阵地教育联盟联考)首个全国生态主场日活动于2023年8月15日在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程，若要求A，B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有 252 种．(用数字作答)
[解析] 分两种情况，第一种，A，B议程中只有一项在上午，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝216种选择，第二种，A，B议程都安排在下午，有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝36种选择，综上：不同的安排方案一共有216＋36＝252种选择．端点
A
B
E
C
D
涂法
4
3
2
与A同色1
2
与A不同色1
2