2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第6讲二项分布与超几何分布

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附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
[解析] (1)∵χ2＝eq \f(400120×50－150×802,200×200×270×130)＝eq \f(400,39)≈10.256>6.635，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关．
(2)由题意得X的可能值是1,2,3，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(6,10)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
∴X的分布列为：
∴E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(6,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5).
【变式训练】
(2024·黑龙江双鸭山一中期中)近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：(单位：人)
(1)根据表中数据．能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X，求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X)．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
[解析] (1)χ2＝eq \f(9025×25－35×52,60×30×30×60)＝5.625>3.841，
∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关．
(2)某个考生首选志愿为师范专业的概率P＝eq \f(30,90)＝eq \f(1,3)，
X的所有可能取值为0,1,2,3，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27)，
∴X的分布列如下：
E(X)＝3×eq \f(1,3)＝1，D(X)＝3×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,3).一等品
二等品
合计
设备改造前
120
80
200
设备改造后
150
50
200
合计
270
130
400
α
0.050
0.010
0.001
χα
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(6,10)
eq \f(1,10)
首选志愿为师范专业
首选志愿为非师范专业
女性
25
35
男性
5
25
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
χα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)