2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布

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(1)试估计该单位全体员工日行步数(单位：千步)的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表)；
(2)单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望．
[解析] (1)根据题意，该单位工会日行的人均健步步数估计为：5×0.01＋7×0.01＋9×0.08＋11×0.58＋13×0.22＋15×0.06＋17×0.03＋19×0.01＝11.68(千步)．
(2)每日健步数在14千步以上的概率为0.03×2＋0.015×2＋0.005×2＝0.1
则每日健步数在14千步以下的概率为1－0.1＝0.9，则ξ～B(3,0.1)，
ξ的所有可能值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝0.93＝0.729，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)×0.1×0.92＝0.243，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)×0.12×0.9＝0.027，
P(ξ＝3)＝0.13＝0.001，
所以ξ的分布列为
故ξ的期望E(ξ)＝3×0.1＝0.3.
题型二 概率与回归分析的综合应用
(2022·山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点(vi，ωi)(1≤i≤6)集中在一条直线附近，其中vi＝ln xi，ωi＝ln yi
附：①可能用到的数据；eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))viωi＝75.3，eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))vi＝24.6，eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))ωi＝18.3，eq \(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))veq \\al(2,i)＝101.4.
②对于一组数据(v1，ω1)，(v2，ω2)，…，(vn，ωn)，其回归直线eq \(ω,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))v＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计值分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)viωi－n\(v,\s\up6(－))\(ω,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)v\\al(2,i)－n\(v,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(ω,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(v,\s\up6(－)).
(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；
(2)按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(e,9)，\f(e,7)))上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
[解析] (1)∵散点(vi，ωi)(1≤ i≤6)集中在一条直线附近，设回归直线方程为eq \(ω,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))v＋eq \(a,\s\up6(^))，
由eq \x\t(v)＝eq \f(1,6)eq \i\su(i＝1,6,v)i＝4.1，eq \x\t(ω)＝eq \f(1,6)eq \i\su(i＝1,6,ω)i＝3.05，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,v)iωi－n\(v,\s\up6(－))\(ω,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,v)\\al(2,i)－n\(v,\s\up6(－))2)＝eq \f(75.3－6×4.1×3.05,101.4－6×4.12)＝eq \f(1,2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(ω,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(v,\s\up6(－))＝3.05－eq \f(1,2)×4.1＝1，
∴变量ω关于v的回归方程为eq \(ω,\s\up6(^))＝eq \f(1,2)v＋1，
∵vi＝ln xi，ωi＝ln yi，∴ln y＝eq \f(1,2)ln x＋1，
∴y＝exeq \f(1,2)，
综上，y关于x的回归方程为y＝exeq \f(1,2).
(2)由eq \f(y,x)＝eq \f(ex\f(1,2),x)＝eq \f(e,x\f(1,2))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(e,9)，\f(e,7)))，解得49≤x≤81，∴x＝49,58,67,77，
∴乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
∴X的分布列为：
E(X)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2.
题型三 概率与独立性检验的综合应用
(2024·江西智学联盟体联考)为提高高三学生身体素质，鼓励积极参加体育锻炼，某校在高三学生中随机抽取了100名男生和100名女生，利用一周时间对他们的身体各项运动指标(高中年龄段指标)进行考察，得到综合素质指标评分，评分结果分为两类：80分以上为达标，80分以下为不达标，统计结果如表：
(1)能否有95%的把握认为“运动达不达标与性别有关”？
(2)按分层抽样的方法抽取7位达标学生，再从中选出3人为其他同学介绍经验，记这3人中男生个数记为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
[解析] (1)假设H0：运动达不达标与性别无关．
x2＝eq \f(200×40×70－60×302,40＋60×30＋70×40＋30×60＋70)≈2.198