2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方差

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[解析] 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝eq \f(2,3)，P(eq \x\t(A)k)＝eq \f(1,3)，k＝1,2,3,4,5，
(1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A1eq \x\t(A)2)＋P(eq \x\t(A)1A2)＝P(A1)P(eq \x\t(A)2)＋P(eq \x\t(A)1)P(A2)
＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9).
(2)X的所有可能值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2)
＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,9)，
P(X＝3)＝P(A1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1A2A3)
＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(2,9)，
P(X＝4)＝P(A1eq \x\t(A)2A3A4)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3eq \x\t(A)4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \f(2,3)＝eq \f(10,81)，
P(X＝5)＝P(A1eq \x\t(A)2A3eq \x\t(A)4)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3A4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(8,81).
故X的分布列为
名师点拨：
解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率求解问题．
【变式训练】
(2020·高考浙江卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝ eq \f(1,3) ；E(ξ)＝ 1 .
[解析] 随机变量ξ＝0,1,2，因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以P(ξ＝0)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，同理P(ξ＝1)＝eq \f(2,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，P(ξ＝2)＝1－eq \f(1,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，所以E(ξ)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1.X
2
3
4
5
P
eq \f(5,9)
eq \f(2,9)
eq \f(10,81)
eq \f(8,81)