2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习11（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习11（含答案），共14页。
(1)求此抛物线的表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
如图，抛物线y=﹣eq \f(3,5)x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(5，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．
①当MN＝eq \f(1,2)AB时，求点P的坐标；
②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．
定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点(0，0)在抛物线y＝﹣x2＋2x上，抛物线y＝﹣x2＋2x的顶点(1，1)也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2＋2x关联．
(1)已知抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1和抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1与抛物线C1是否关联；
(2)抛物线M1：y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点为A，动点P的坐标为(t，2)，将抛物线M1绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；
(3)抛物线M1：y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．
如图(1)，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A(﹣6，0)、B(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图(2)，点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．
(3)直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．
已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)的对称轴为x＝4，C为顶点，且A(2，0)，C(4，﹣2).
【问题背景】求出抛物线C的解析式．
【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．
①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．
②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．
【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．
如图，已知点A(1，0)，B(3，0)，D(2，﹣1)，C是y轴上的点，且OC＝3．
(1)过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；
(2)若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；
(3)设Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋eq \f(\r(10),10)QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．已知点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．
(1)求这个抛物线的表达式．
(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
\s 0 答案
解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x﹣4)=a(x2﹣x﹣12)，
即：﹣12a=4，解得：a=﹣eq \f(1,3)，
则抛物线的表达式为y=﹣eq \f(1,3)x2+eq \f(1,3)x+4；
(2)存在，理由：点A、B、C的坐标分别为(﹣3，0)、(4，0)、(0，4)，
则AC=5，AB=7，BC=4eq \r(2)，∠OAB=∠OBA=45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=﹣x+4…①，
同理可得直线AC的表达式为：y=eq \f(4,3)x+4，
设直线AC的中点为M(﹣eq \f(3,2)，4)，过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣eq \f(3,4)，
同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=﹣eq \f(3,4)x+eq \f(7,8)…②，
①当AC=AQ时，如图1，
则AC=AQ=5，设：QM=MB=n，则AM=7﹣n，
由勾股定理得：(7﹣n)2+n2=25，解得：n=3或4(舍去4)，故点Q(1，3)；
②当AC=CQ时，
如图1，CQ=5，则BQ=BC﹣CQ=4eq \r(2)﹣5，
则QM=MB=，故点Q(，)；
③当CQ=AQ时，
联立①②并解得：x=12.5(舍去)；
故点Q的坐标为：Q(1，3)或(，)；
(3)设点P(m，﹣eq \f(1,3)m2+eq \f(1,3)m+4)，则点Q(m，﹣m+4)，
∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，
PN=PQsin∠PQN=eq \f(\r(2),2)(﹣eq \f(1,3)m2+eq \f(1,3)m+4+m﹣4)=﹣eq \f(1,6)eq \r(2)m2+eq \f(7,6)eq \r(2)m，
∵﹣eq \f(1,6)eq \r(2)＜0，
∴PN有最大值，当m=eq \f(7,2)时，PN的最大值为：．
解：(1)∵抛物线y=﹣eq \f(3,5)x2＋bx＋c经过B(5，0)，C(0，﹣3)，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(3,5)x2＋eq \f(18,5)x﹣3；
(2)∵y＝﹣eq \f(3,5)x2＋eq \f(18,5)x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∵点A与B(5，0)关于直线x＝3对称，
∴A(1，0)，
∴AB＝5﹣1＝4，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×4×3＝6，
设E(3，m)，对称轴交BC于点F，
设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝eq \f(3,5)x﹣3，
∴F(3，﹣eq \f(6,5))，
∴EF＝|m＋eq \f(6,5)|，
∴S△BCE＝eq \f(1,2)EF×OB＝eq \f(5,2)|m＋eq \f(6,5)|，
∵S△BCE＝2S△ABC，
∴eq \f(5,2)|m＋eq \f(6,5)|＝12，解得：m＝eq \f(18,5)或﹣6，
∴点E的坐标为(3，eq \f(18,5))或(3，﹣6)；
(3)设E(3，m)，P(n，﹣eq \f(3,5)n2＋eq \f(18,5)n﹣3)，
①当点P在x轴上方时，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点G，
∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE＝90°，PB＝PE，
∴∠BPG＋∠EPF＝90°，
∵∠G＝∠PFE＝90°，
∴∠BPG＋∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∴△BPG≌△PEF(AAS)，
∴BG＝PF，PG＝EF，
∴，解得：，，
当n＝0时，P(0，﹣3)；
当n＝eq \f(13,3)时，BG＝PF＝n﹣3＝eq \f(13,3)﹣3＝eq \f(4,3)，
∴P(eq \f(13,3)，eq \f(4,3))；
②当点P在x轴下方时，如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EK⊥PH于点K，
∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE＝90°，PB＝PE，
∴∠BPH＋∠EPK＝90°，
∵∠K＝∠PHB＝90°，
∴∠BPH＋∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠EPK，
∴△BPH≌△PEK(AAS)，
∴BH＝PK，PH＝EK，
∴eq \f(3,5)n2﹣eq \f(18,5)n＋3＝n﹣3，解得：n＝6或n＝eq \f(5,3)(舍去)，∴P(6，3)；
综上所述，点P的坐标为(0，﹣3)或(eq \f(13,3)，eq \f(4,3))或(6，3)．
解：(1)∵直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，
∴令x＝0，则y＝8，
令y＝0，则x＝﹣4，
∴B(0，8)，A(﹣4，0)，
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B，
∴，∴，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋8；
(2)①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N，
∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，
∴∠MPN＝∠AOB＝90°，
∴△PMN∽△OBA，
∴，
设点M的横坐标为m(﹣4＜m＜0)，
则M(m，2m＋8)，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，
∴PM＝﹣m2﹣2m＋8﹣(2m＋8)＝﹣m2﹣4m，
∵B(0，8)，A(﹣4，0)，
∴OA＝4，OB＝8，
∵MN＝eq \f(1,2)AB，
∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，
∴P(﹣2，8)；
②如图，连接OP交AB于点C，
∵PN∥x轴，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，
∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m＋8，
令y＝﹣m2﹣2m＋8，则2x＋8＝﹣m2﹣2m＋8，
解得：x＝﹣eq \f(1,2)m2﹣m，N(﹣eq \f(1,2)m2﹣m，﹣m2﹣2m＋8)，
∵点C是MN的中点，M(m，2m＋8)，
∴C(﹣eq \f(1,4)m2，﹣eq \f(1,2)m2＋8)，
由①知：∠MPN＝90°，
又点C是MN的中点，
∴PC＝CM＝CN，
∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，
∵PM∥y轴、PN∥x轴，
∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，
∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，
∴AC＝OC，BC＝OC，
∴AC＝BC，
∴点C是AB的中点，
∴C(﹣2，4)，
∴﹣eq \f(1,4)m2＝﹣2，解得：m＝±2eq \r(2)，
∵﹣4＜m＜0，
∴m＝﹣2eq \r(2)，
∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣(﹣2eq \r(2))2﹣4×(﹣2eq \r(2))＝8eq \r(2)﹣8，
∵PM∥y轴，
∴△PCM∽△OCB，
∴＝＝eq \r(2)﹣1，故的值为eq \r(2)﹣1．
解：(1)∵抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点坐标为M(﹣1，﹣2)，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣1﹣2＋1＝﹣2，
∴C1的顶点在抛物线C2上；
∵抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，其顶点坐标为(1，2)，
当x＝1时，y＝(x＋1)2﹣2＝22﹣2＝2，
∴C2的顶点在抛物线C1上；
∴抛物线C1、C2是关联的；
∵抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1的顶点坐标为M(﹣eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，
∴当x＝﹣eq \f(1,2)时，y＝(x＋1)2﹣2＝eq \f(1,4)﹣2＝﹣eq \f(7,4)，
∴抛物线C1与C3不关联；
综上，抛物线C1、C2是关联的；抛物线C1与C3不关联；
(2)抛物线M1：y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点M的坐标为(﹣1，﹣2)，
∵动点P的坐标为(t，2)，
∴点P在直线y＝2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y＝2的垂线，垂足为E，F，则ME＝NF＝4，
∴点N的纵坐标为6，
当y＝6时，eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2＝6，解得：x1＝7，x2＝﹣9，
①设抛物M2的解析式为：y＝a(x﹣7)2＋6，
∵点M(﹣1，﹣2)在抛物线M2上，
∴﹣2＝a(﹣1﹣7)2＋6，∴a＝﹣eq \f(1,8)．
∴抛物线M2的解析式为：y＝﹣eq \f(1,8)(x﹣7)2＋6；
②设抛物M2的解析式为：y＝a(x＋9)2＋6，
∵点M(﹣1，﹣2)在抛物线M2上，
∴﹣2＝a(﹣1＋9)2＋6，∴a＝﹣eq \f(1,8)．
∴抛物线M2的解析式为：y＝﹣eq \f(1,8)(x＋9)2＋6；
(3)若A为抛物线M1：y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点，
∴A(﹣1，﹣2)，
当点B1恰好在y轴上，过A作x轴的平行线AN交y轴于N，过B作BM⊥AN于M，如图，
∴AN＝1，
∵BA⊥B1A，
∴∠BAM＋∠B1AN＝90°，
∵∠BAM＋∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠B′AN，
∵AB＝AB′，
∴△ABM≌△B1AN(AAS)，
∴BM＝AN＝1，AM＝B1N，
∴B点的纵坐标为﹣1，
把y＝﹣1代入y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2，解得：x＝﹣1＋2eq \r(2)或x＝﹣1﹣2eq \r(2)，
∴B1(0，2eq \r(2)﹣2)或(0，﹣2﹣2eq \r(2))，
∴点B1的纵坐标是(0，2eq \r(2)﹣2)或(0，﹣2﹣2eq \r(2))．
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象过点A(﹣6，0)、点B(2，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.5x2﹣2x＋6；
(2)如图1，连接CD，设AP与y轴交点为Q，
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，6)，
∵点D与点C关于直线MN对称，直线MN是抛物线的对称轴，
∴D(﹣4，6)，M(﹣2，8)，N(﹣2，0)，CD∥AB，
∵C(0，6)，A(﹣6，0)，
∴AO＝CO，CD＝4，
∴∠BAC＝∠ACO＝45°，
∴∠QCA＝∠DCA，
∵∠CAD＝∠CAQ，AC＝AC，
∴△DCA≌△QCA(ASA)，
∴CQ＝CD＝4，
∴Q(0，2)，
设直线AP的解析式为y＝kx＋2，
把点A坐标代入解析式得：﹣6k＋2＝0，解得：k＝eq \f(1,3)，
∴直线AP的解析式为y＝eq \f(1,3)x＋2，
∵点P为直线AP与抛物线的交点，
∴，解得：或 (舍去)，
∴P(，)；
(3)∵∠BOE＝∠BNF＝90°，∠OBE＝∠NBF，
∴△BOE∽△BNF，
∴＝，
∵OB＝2，BN＝4，
∴＝，
即2OE＝NF．
分类讨论：
①如图2，此时FN＝FM＋MN，
∴FM＋MN＝2OE；
②如图3，此时FN＋FM＝MN，
∴FM＋2OE＝MN．
解：【问题背景】
A(2，0)，对称轴为x＝4，则点B(6，0)，
则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，
将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a(4﹣2)(4﹣6)，解得：a＝eq \f(1,2)，
故抛物线的表达式为：y=eq \f(1,2)x2-4x+6…①；
【尝试探索】①点C′(4，2)，由点B、C′的坐标可得，
直线BC′的表达式为：y＝﹣x＋6…②，
四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，
设点N的坐标为：(x，eq \f(1,2)k2﹣4k＋6)，则点M(k，﹣k＋6)，
即|eq \f(1,2)k2﹣4k＋6﹣(﹣k＋6)|＝2，解得：k＝3±eq \r(13)或3±eq \r(5)，
故k的值为：eq \r(13)+3或3-eq \r(13)或eq \r(5)+3或3-eq \r(5).
②联立①②并解得：x＝0或6，
故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，
MN＝(﹣k＋6)﹣(eq \f(1,2)k2﹣4k＋6)＝﹣eq \f(1,2)k2＋3k，
∵-eq \f(1,2)