安徽省安庆市潜山市第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形（ ）
A. B. C. D.
4. 若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示图形，若最大的正方形的边长是，则正方形、、、的面积和是 （ ）
A. 14cm2B. 42cm2C. 49cm2D. 64cm2
5. 某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若关于x的方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C. D.
7. 已知，则的值（ ）
A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014
8. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（ ）
A. B. C. D.
9. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
10. 如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若是二次根式，则x的取值范围是_______
12. 如图（1）边长为1的两个正方形可以拼成图（2）的大正方形，右图数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，以为边在数轴上方作一个正方形，以A为圆心，为半径作圆交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数是_________．
13. 如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为________．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论的有___________．
三、解答题（共90分）
15. 计算：
16. 用合适方法解方程：
（1）；
（2）．
17. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
18. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做
∵
∴
（1）仿上例，化简：；
（2）计算：．
19. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求∶
（1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
（2） 的面积；
（3）点C到边的距离．
20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
23. （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题
证明：过点作且使，连接，
∴四边形为平行四边形，则________，
∵，
∴，
又∵，
∴等边三角形，
∴，
∴，即．
请完成证明中的两个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为．若的面积为8，则以的长度为三边长的三角形的面积等于______（请直接写出答案）．