安徽省安庆市大观区第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式．根据二次根式的化简方法将每个根式进行化简，判断那个为最简二次根式即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D
2. 已知关于x的方程的一个根是1，则此方程的另一根为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，
根据方程的解，求出方程中的参数，再代入求解方程即可；
【详解】解：把代入方程
得：，
解得：，
则方程为：
整理得：
则此方程的另一根为2，
故选：C
3. 下列各式中，一定能成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．分别利用二次根式的性质化简判断即可．
【详解】解：A、，当时，原式，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确；
故选：D．
4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．
【详解】解：，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（ ）
A. ﹣1B. 2C. ﹣1D. 1﹣
【答案】C
【解析】
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】解：∵A（−1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝，
∴点C的横坐标为（），
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
6. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A. 15B. 13C. 11或8D. 11和13
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系．根据题意解出方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∵三角形两边长分别为3和6，
∴当第三边长为时，不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去，
当第三边长为时，符合构成三角形三边关系，则周长为：，
故选：B．
7. 在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键．
根据直角三角形有一个角是直角，另外两个角互余可判定A选项；根据勾股定理可判定B，C选项；根据直角三角形两锐角互余可判定D选项，由此即可求解．
【详解】解：．∵，
∴，
∴，
∴，
∴不能判定为直角三角形，故不符合题意；
．∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴不能判定是直角三角形，故不符合题意；
．∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故符合题意；
．，
∴不能判定为直角三角形，故不符合题意，
故选：．
8. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【详解】x+1+（x+1）x=81
整理得，（1+x）2=81．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
9. 我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握解一元二次方程．
依据题意，由海伦-秦九韶公式转化得到关于b的一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
即
即
把，，代入得：
整理得，
即
且
即，
故选：A
10. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A. B. C. D. 大小无法确定
【答案】C
【解析】
分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵为直角三角形的三边，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 若与最简二次根式可以合并，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可．
【详解】解：∵，且与最简二次根式可以合并，
∴，
∴；
故答案为：2．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
故答案为：且
13. 如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的证明、正方形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
先设出四个直角三角形面积之和为S，再根据和求出，即可求解；
【详解】解：设四个直角三角形的面积之和为S，
又
解得
正方形的边长为：
则，
故答案：
14. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号）
①；②；③．
（2）若方程是“自然方程”，m的值为________．
【答案】 ①. ② ②. 2或0##0或2
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算：
（1）利用“自然方程”定义判断即可；
（2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可．
【详解】解：①
，
∴，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
②
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该方程是“自然方程”；
③
∴，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
故答案为：②
（2），
∴，
∴，
∴，
∵方程是“自然方程”，
∴，
∴或0．
故答案为：2或0
三、（本大题共3小题，第15题，第16题各8分，第17题10分，满分共26分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先把每项化简为最简二次根式，然后再计算乘法，最后在合并同类二次根式即可.
【详解】原式
.
【点睛】二次根式的化简及其四则混合运算是本题的考点，正确化简二次根式是解题的关键.
16. 用适当的方法解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】先移项，把方程化为，再配方得到，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键．
17. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）194 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是采用分母有理化对x、y进行化简，
（1）运用平方差公式对对x、y进行化简，求出，再对所求式子进行变形即可求解，
（2）对所求式子进行变形，代入数值即可；
【小问1详解】
解：，
，
，
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
，
四、（本题共2小题，第18题10分，第19题8分，共18分）
18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点P为内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中，作的边上高，垂足为H，则______，_______；
（2）在②中的边上确定一点M，边上确定一点N，连接、，使的周长最短，最短周长为________．
【答案】（1）图形见解析；3；
（2）图形见解析；
【解析】
【分析】本题考查了格点正方形中的作图以及轴对称的性质，勾股定理：
（1）取格点K，连接交于点H，则即为所求；
（2）分别连接，由网格性质易得P、F关于对称，连接，交于点M、N，连接，则点M，N即为所求．
【小问1详解】
解：如图，取格点K，连接交于点H，则即为所求，
根据题意得：，，边的高为2，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：3；
【小问2详解】
解：如图，分别连接，由网格性质易得P、F关于对称，连接，交于点M、N，连接，则点M，N即为所求．
∵点P、点F关于对称，点M在上，
∴，
同理可得：，
∴的周长，
∵两点之间线段最短，
∴此时的周长是最短的，
∵在中，，
∴周长最小值为，
故答案为：．
19. 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
，验证：
（1）仿照上述三个等式的变形，对下列式子进行变形：
____________，____________．
（2）根据上述规律，写出用n（n为正整数且）表示的等式，并加以验证．
【答案】（1），
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）观察题目所给等式，找出题中规律直接写出结果即可；
（2）归纳总结出规律即可．
【小问1详解】
解：；验证：，
；验证：，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：
证明：左式右式．
【点睛】本题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则以及根据题意找出一般性规律．
五、（本题10分）
20. 某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，， ．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【答案】7200元
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根据四边形的面积为，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
∵， ，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为，
元，
即学校需要投入7200元资金买草皮．
六、（本题10分）
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握因式分解求方程的解，以及具有分类讨论的思想．
（1）计算判别式的值得到即可证明；
（2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，再进行分类讨论即可．
小问1详解】
证明：．
方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：由，
得，
即、的长为，
当时，即 ，满足三角形构成条件；
当时，，解得 ，满足三角形构成条件．
综上所述，或 ．
七、（本题12分）
22. 某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）每次下降的百分率为；
（2）每千克应涨价5元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程
（1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为，再列出方程即可，
（2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答；
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为，
或（舍去），
答：每次下降的百分率为；
【小问2详解】
解：设每千克涨价x元，
依题意得：
解得：，，
要尽快减少库存，
则，
答：每千克应涨价5元，
八、（本题14分）
23. （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，现将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则___________．
（2）如图2，在等边内有一点，且，，，如果将绕点逆时针旋转60°得出，求的度数和的长；
（3）如图3，将（2）题中“在等边内有一点”改为“在等腰直角三角形内有一点”，且，，，，求的度数．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质只要证明是等腰直角三角形即可得到答案；
（2）根据旋转的性质，可得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求出的长，；而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，从而得出结论；
（3）如图3，将绕点B逆时针旋转90°得到，，与（2）类似：可得：，求出，根据勾股定理的逆定理求出，即可得出结论．
【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转60°得出，，
∴，．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）如图3，将绕点B逆时针旋转90°得到，
与（2）类似：可得：，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解答此题的关键．