2023-2024学年广东省阳江市高新区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省阳江市高新区高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={−1,0,2,3,4,5}，则A∩B=( )
A. {0,2,3}B. {2,3}C. {3,4,5}D. {4,5}
2.已知1≤a−b≤2，3≤a+b≤4，则ab的最大值为( )
A. 154B. 92C. 3D. 4
3.若x>0，y>0且x+2y=1，则1x+xy的最小值是( )
A. 1+2 2B. 32+ 2C. 2D. 32
4.函数f(x)= 2x−1+ 1−x的定义域为( )
A. {x|x≥12}B. {x|12≤x≤1}C. {x|x≥1}D. {x|125.已知函数f(x)=x2+4ax在(−∞,6)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. a≥3B. a≤3C. a<−3D. a≤−3
6.如果函数y=a2x+2ax−1(a>0,a≠1)在区间[−1,1]上的最大值是14，则a的值为( )
A. 3B. 13C. −5D. 3或13
7.函数y=sin2x⋅ln2x2+1x2的图象可能为( )
A. B.
C. D.
8.若a=4lg2 32，b=lg147，c=lg126，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b∈R，aA. a21bD. 2a<2b
10.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( )
A. p是q的充分条件B. p是s的必要条件
C. r是q的必要不充分条件D. s是q的充要条件
11.已知正实数x，y满足2x+y=xy，则( )
A. xy≥8B. x+y>6C. x+2y≥9D. 1x−1+8y≥3
12.设函数f(x)=x|x|−2x，则f(x)( )
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 在(−1,1)上单调递减D. 在(−∞,−1)上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知正数a，b满足2ab=2a+b，则a+2b的最小值为______．
14.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm是R上的增函数，则m的值为______．
15.不等式3x+lg2x>10的解为______．
16.已知函数f(x)=acs(π2+x)+btanx+8，若f(−2)=10，则f(2)= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x|2x≤1}，B={x|x+a>0}．
(1)当a=1时，求A∩B；
(2)若A⊆∁RB，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知不等式x2−(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：(x−c)(ax−2)>0(c为常数，且c≠2)
19.(本小题12分)
近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系：Q(v)=600vv2+2v+400(0(1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求v的取值范围；
(2)当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量(精确到0.1)．
20.(本小题12分)
已知M(4,3)为角α终边上一点．
(1)求sinα和tanα的值；
(2)求cs(π2−α)+2cs(π+a)sin(π−α)−sin(π2+a)的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)单调递增区间．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=−x2+4ax+a+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[t,t+2]时，求f(x)的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意：A={0,1,2,3}，∴A∩B={0,2,3}．
故选：A．
先求出集合A，再按交集的定义求A∩B即可．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为1≤a−b≤2，3≤a+b≤4，
所以1≤(a−b)2≤4，9≤(a+b)2≤16，
所以−4≤−(a−b)2≤−1，
所以5≤(a+b)2−(a−b)2≤15，
即5≤4ab≤15，
所以54≤ab≤154，
则ab的最大值为154．
故选：A．
由已知结合不等式性质及重要不等式即可求解．
本题主要考查了重要不等式及不等式性质的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为x>0，y>0且x+2y=1，所以x=1−2y，
所以1x+xy=1x+1−2yy=1x+1y−2=(1x+1y)(x+2y)−2=1+2+2yx+xy−2≥1+2 2yx⋅xy=1+2 2，
当且仅当2yx=xy，即x= 2y，即y=2− 2，x=2 2−2时取等号，
所以1x+xy的最小值为1+2 2．
故选：A．
由题意所求代数式转化为1x+xy=1x+1y−2，再由“1”的活用及基本不等式可得答案．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f(x)= 2x−1+ 1−x，
则2x−1≥01−x≤0，解得{x|12≤x≤1}．
故选：B．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
5.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线x=−2a，
由函数f(x)在(−∞,6)上单调递减可得−2a≥6，解得a≤−3．
故选：D．
根据二次函数的单调性可得出关于实数a的不等式，解之即可．
本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：令ax=t，则y=a2x+2ax−1=t2+2t−1=(t+1)2−2．
当a>1时，因为x∈[−1,1]，所以t∈[1a,a]，
又函数y=(t+1)2−2在[1a,a]上单调递增，
所以ymax=(a+1)2−2=14，解得a=3(a=−5舍去)．
当0又函数y=(t+1)2−2在[a,1a]上单调递增，
则ymax=(1a+1)2−2=14，
解得a=13(a=−15舍去)．
综上知a=3或a=13．
故选：D．
利用换元法，令ax=t，转化为二次函数y=(t+1)2−2，根据单调性由区间[−1,1]上的最大值是14，求出a的值．
本题主要考查二次函数的性质和换元法的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：函数y=f(x)=sin2x⋅ln2x2+1x2的定义域为{x|x≠0}，
又f(−x)=sin2(−x)⋅ln2(−x)2+1(−x)2=−sin2x⋅ln2x2+1x2=−f(x)，
因此函数y=sin2x⋅ln2x2+1x2为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；
当x∈(0,π2)时，sin2x>0，2x2+1x2=2+1x2>2，则ln2x2+1x2>0，
因此sin2x⋅ln2x2+1x2>0，C错误，A符合题意．
故选：A．
首先判断函数的奇偶性，再根据函数在(0,π2)上函数值的正负情况，利用排除法判断即可．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：a=4lg2 32=22lg2 32=2lg2( 32)2=( 32)2=34，
b=lg147=1−lg142=1−ln2ln14，c=lg126=1−lg122=1−ln2ln12，
因为4lg142=lg1424=lg1416>1，则lg142>14，
所以1−lg142<1−14=34，即b而ln2>0，ln14>ln12>0，所以ln2ln14所以1−ln2ln14>1−ln2ln12，即b>c；
综上：a>b>c．
故选：A．
利用指对数运算法则得到a=34，b=1−lg142=1−ln2ln14，c=1−ln2ln12，从而利用对数函数的性质分析判断得bc，从而得解．
本题解决的关键是利用b=1−lg142与34比较大小，利用b=1−ln2ln14与c=1−ln2ln12比较大小，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a=−2，b=−1时，满足ab2，故A错误；
对于B，f(x)=x3在R上单调递增，
a故f(a)对于C，a则1a−1b=b−aab>0，即1a>1b，故C正确；
对于D，g(x)=2x，在R上单调递增，
a则g(a)故选：BCD．
根据已知条件，结合特殊值法，函数的单调性，作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，
可得p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，
对于A中，由p⇒q，所以p是q的充分条件，所以A正确；
对于B中，由p⇒s，所以p是s的充分条件，所以B不正确；
对于C中，由r⇔q，所以r是q的充要条件，所以C不正确；
对于D中，由s⇔q，所以s是q的充要条件，所以D正确．
故选：AD．
根据题意，结合p，q，r，s间的推出关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题意得，1x+2y=1，x>0，y>0，
对于A，xy=2x+y≥2 2xy，则xy≥8，当且仅当y=2x=4时取等号，A正确；
对于B，由选项A知，当x=2，y=4时，2x+y=xy成立，此时x+y=6，B错误；
对于C，x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+2 2yx⋅2xy=9，
当且仅当x=y=3时取等号，C正确；
对于D，由1x+2y=1，得2y=x−1x,x>1，则1x−1+8y=xx−1−1+4(x−1)x≥2 xx−1⋅4(x−1)x−1=3，
当且仅当xx−1=4(x−1)x，即x=2时取等号，D正确．
故选：ACD．
根据给定条件，利用基本不等式及“1“的妙用逐项计算判断即得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：函数定义域为R，
f(−x)=−x|−x|−2(−x)=−x|x|+2x=−f(x)，即f(x)为奇函数，A正确，B错误；
当x≥0时，f(x)=x2−2x，根据二次函数的性质可知，函数f(x)在[0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，
根据奇函数的对称性可知，f(x)在(−1,0)上单调递减，(−∞,−1)上单调递增，
即函数在(−1,1)上单调递减，C正确，D错误．
故选：AC．
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的判断，属于基础题．
13.【答案】92
【解析】解：因为2ab=2a+b，∴2=2a+bab，∴1a+2b=2，
则a+2b=12(a+2b)(1a+2b)=12(5+2ba+2ab)≥12(5+2 2ba⋅2ab)=92，
当且仅当2ba=2ab，即a=b=32时，等号成立．
故答案为：92．
利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：因为f(x)=(m2−2m−2)xm为幂函数，
所以m2−2m−2=1即m=3或m=−1，
又因为f(x)为R上的增函数，所以m=3．
故答案为：3．
由幂函数的定义可知，m2−2m−2=1，又由f(x)为R上的增函数，可得m>0．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
15.【答案】{x|x>2}
【解析】解：对于不等式3x+lg2x>10，令f(x)=3x+lg2x，则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
又f(2)=10，
故不等式的解集为{x|x>2}．
故答案为：{x|x>2}．
构造函数，根据函数的单调性即可求出解集．
本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】6
【解析】解：由题意f(x)=acs(π2+x)+btanx+8=−asinx+btanx+8，f(−2)=10=−asin(−2)+btan(−2)+8=asin2−btan2−8+16
=−(−asin2+btan2+8)+16=−f(2)+16，
解得f(2)=6．
故答案为：6．
由题意结合诱导公式和整体思想进行运算即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
17.【答案】解：(1)(1)A={x|2x≤1}={x|x≤12}；
当a=1时，B={x|x>−1}，
∴A∩B={x|−1(2)(2)A⊆∁RB，故A∩B=⌀，B={x|x>−a}，
∴−a≥12⇒a≤−12，所以a的取值范围是(−∞,−12)．
【解析】(1)直接计算即可；
(2)关键在于A⊆∁RB⇒A∩B=⌀，然后计算就可以得出答案．
本题考查集合的运算，集合之间的关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为不等式x2−(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以1和2是方程x2−(a+2)x+b=0的两根，
由根与系数的关系知，1+2=a+21×2=b，解得a=1，b=2．
(2)不等式(x−c)(ax−2)>0即为(x−c)(x−2)>0，
由c≠2，则c<2时，解不等式得，x2；
c>2时，解不等式得，x<2或x>c；
综上，c<2时，不等式的解集为{x|x2}；
c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}．
【解析】(1)根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出a、b的值．
(2)不等式为(x−c)(x−2)>0，讨论c<2和c>2，写出对应不等式的解集．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)电动自行车流量不少于10千辆/小时，
即Q(v)=600vv2+2v+400≥10，
化简可得v2−58v+400≤0，解得8≤v≤50，
又因为最高设计时速为25千米/小时，故8≤v≤25，
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，则v∈[8,25]．
(2)Q(v)=600vv2+2v+400=600v+400v+2，
由基本不等式可得v+400v≥2 v⋅400v=2 400=40，
当且仅当v=400v，即v=20时取到最小值，
此时电动车流量有最大值，最大值为Q(v)=60042=1007≈14.3，
故平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时．
【解析】(1)由Q(v)≥10，求解即可；
(2)利用基本不等式求解最值即可．
本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为M(4,3)为角α终边上一点，
所以sinα=3 42+32=35，tanα=34；
(2)cs(π2−α)+2cs(π+α)sin(π−α)−sin(π2+α)=sinα−2csαsinα−csα=tanα−2tanα−1=−5．
【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义即可求解；
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π，则2πω=π，ω=2，
f(x)=2sin(2x+π3)+1，f(π6)=2sin(2×π6+π3)+1= 3+1；
(2)取2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z．
【解析】(1)根据周期确定ω；(2)根据正弦函数的性质即可求．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=−x2+2ax+a+1．
则f(0)=a+1=0，解得a=−1，
即当x≤0时，f(x)=−x2−2x；
则当x>0时，−x<0，f(x)=−f(−x)=−[−(−x)2−2(−x)]=x2−2x，
故f(x)=−x2−2x,x≤0x2−2x,x>0．
(2)作出函数f(x)的大致图象如图所示：

当t≥1，即t≥1时，函数f(x)在[t,t+2]上单调递增，
则f(x)min=f(t)=t2−2t；
当−1≤t<1，函数f(x)在[t,1]上单调递减，在[1,t+2]上单调递增，
此时，f(x)min=f(1)=−1；
当t<−10≤t+2<1时，即当−2≤t<−1，
函数f(x)在[t,−1]上单调递增，在[−1,t+2]上单调递减，
f(t)=−t2−2t，f(t+2)=(t+2)2−2(t+2)=t2+2t，
则f(t+2)−f(t)=(t2+2t)−(−t2−2t)=2t(t+2)≤0，则f(t+2)≤f(t)，
则f(x)min=f(t+2)=t2+2t；
当−1f(t)=−t2−2t，f(t+2)=−(t+2)2−2(t+2)=−t2−6t−8，
则f(t+2)−f(t)=(−t2−6t−8)−(−t2−2t)=−4t−8=−4(t+2)>0，则f(t+2)>f(t)，
则f(x)min=f(t)=−t2−2t；
当t+2≤−1时，即当t≤−3时，函数f(x)在[t,t+2]上单调递增，
此时，f(x)min=f(t)=−t2−2t．
综上所述，f(x)min=−t2−2t,t<−2t2+2t,−2≤t<−1−1,−1≤t<1t2−2t,t≥1．
【解析】(1)由奇函数的性质可得出f(0)=a+1=0，求出a的值，可得出函数f(x)在x≤0时的解析式，利用奇函数的定义求出函数f(x)在x>0时的解析式，由此可得出函数f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，对实数t的取值进行分类讨论，分析函数f(x)在[t,t+2]上的单调性，即可得出函数f(x)在[t,t+2]上的最小值．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了的二次函数闭区间上最值的求解，属于中档题．