2023-2024学年广西北海市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广西北海市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={1,2,4,8}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1,2,4,8}
2.命题“∀x>0，2x2+x>0”的否定为( )
A. ∀x>0，2x2+x≤0B. ∀x<0，2x2+x≤0
C. ∃x>0，2x2+x<0D. ∃x>0，2x2+x≤0
3.王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的( )
A. 四分位数B. 中位数C. 众数D. 均值
4.函数f(x)=ex+e−xx3图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则关于x的不等式f(2x−3)<0的解集为( )
A. (1,2)B. (1,3)C. (2,4)D. (2,3)
6.已知f(x)=2ax−1+3a，f(0)A. (15,13)B. (16,14)C. (17,15)D. (18,16)
7.已知a=2−0.1，b=lg23，c=lg410，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>c>aB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a
8.已知实数a>2，b>2，则a+b−2 a−2+ b−2的最小值是( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列每组函数不是同一函数的是( )
A. f(x)=x2−9x+3，g(x)=x−3
B. f(x)= x2，g(x)=x
C. f(x)= 4x2−1，g(x)= 2x−1⋅ 2x+1
D. f(x)=2x3+3x2−1，g(t)=2t3+3t2−1
10.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中将的概率为0.2，则( )
A. 小王和小张都中奖的概率为0.08
B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
11.下列命题中正确的是( )
A. “m<4”是“m<3”的必要不充分条件
B. “x<2且y<3”是“x+y<5”的充分不必要条件
C. “a>2”是“1a<12”的充要条件
D. “a12.已知函数f(x)=−x2−2|x|+3,x≥−2−2x−11,x<−2若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的值可以是( )
A. −8B. −7C. −6D. −5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为______.
14.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1=5x−14x2，y2=3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为__________万元．
15.从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为______.
16.若函数f(x)=lga(1−ax)在(−∞,14]上单调递减，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合U={x|x≤5}，A={x|1≤x≤2}，B={x|−1≤x≤4}.求：
(1)A∩B；
(2)∁U(A∪B).
18.(本小题12分)
计算：(1)lg7+2lg2+lg257；
(2)(338)−13+160.25−( 2÷33)6
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1).
(1)求关于x的不等式f(1−x)>f(x+3)的解集；
(2)若函数g(x)=ax+f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为a2+a−1，求实数a的值．
20.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2+52m−12)x4m2−m既不是奇函数，也不是偶函数.
(1)求m的值；
(2)若函数g(x)=x−2af(x)+12a−32的最小值为−3，求实数a的值.
21.(本小题12分)
居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在这100名业主中，求评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差；
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
(3)若小区物业服务满意度(满意度=满意度平均分100)低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由.(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2( x2+1+x+a)是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)证明：函数f(x)在R上单调递增；
(3)记g(x)=f(x)+2x−2−x，对∀x∈R，不等式g(x2+3)+g(−m|x+1|)≥0恒成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由已知集合A及集合B仅有公共元素1，2，
所以A∩B={1,2}.
故选：C.
利用集合的交集运算，即可得到本题的答案．
本题主要考查了集合的交集运算及其应用等知识，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x>0，2x2+x≤0，
故选：D.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：四分位数在统计学中是把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值，没有代表性；
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，没有代表性；
众数是一组数据中出现次数最多的数值，没有代表性；
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，所以选择均值较理想．
故选：D.
分别根据百分位数，中位数，众数，均值的定义判断即可求解．
本题考查了众数，平均数，中位数以及百分位数的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的图象的应用，属于基础题．
利用函数的定义域、奇偶性及特殊点即可求解．
【解答】
解：∵f(x)=ex+e−xx3，
∴定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
f(−x)=−e−x+exx3=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除BC；
当x>0时f(x)>0，排除D；
故选：A.
5.【答案】A
【解析】解：∵偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，
∴不等式f(2x−3)<0等价为不等式f(|2x−3|)则|2x−3|<1，
即−1<2x−3<1，2<2x<4，
解得x∈(1,2).
故选：A.
根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：因为f(0)0，该函数为增函数，
由题意可知f(1)=5a−1<0f(2)=7a−1>0，解得17故选：C.
由f(0)0，该函数为增函数，所以在(1,2)内f(x)存在零点，只需f(1)<0，f(2)>0，据此可得结论．
本题考查函数零点的判断，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵2−0.1<20=1，lg410=lg2 10>lg23>lg22=1，
∴c>b>a.
故选：D.
根据指数函数的单调性可得出2−0.1<1，根据对数的换底公式可得出c=lg2 10，然后根据对数函数的单调性即可得出c>b>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的换底公式和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为a，b>2，所以a−2>0，b−2>0，
所以a+b−2 a−2+ b−2=( a−2)2+( b−2)2+2 a−2+ b−2≥( a−2+ b−2)22+2 a−2+ b−2，
当且仅当 a−2= b−2，即a=b时取等号， a−2+ b−22+2 a−2+ b−2≥2 a−2+ b−22⋅2 a−2+ b−2=2，
当且仅当 a−2+ b−22=2 a−2+ b−2，则a=b=3时取等号，
所以a+b−2 a−2+ b−2的最小值是2.
故选：C.
将不等式变形并计算得a+b−2 a−2+ b−2=( a−2)2+( b−2)2+2 a−2+ b−2≥( a−2+ b−2)22+2 a−2+ b−2，再将其化简之后利用基本不等式求解判断．
本题主要考查基本不等式的公式，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A：f(x)=x2−9x+3的定义域是{x|x≠−3}，g(x)=x−3的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项B：f(x)= x2=|x|，g(x)=x对应法则不同，故不是同一函数；
对于选项C：由4x2−1≥0得x≤−12或x≥12，所以f(x)= 4x2−1的定义域是(−∞,−12]∪[12,+∞)，
由2x−1≥02x+1≥0得x≥12，所以g(x)= 2x−1⋅ 2x+1的定义域为[12,+∞),定义域不同，故不是同一函数；
对于选项D：f(x)=2x3+3x2−1与g(t)=2t3+3t2−1三要素相同，仅表示自变量的字母不同，是同一函数．
故选：ABC.
利用函数的概念，从函数的三要素分析是否为同一函数，逐一研究每个选项即可．
本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A：由题意知：小王和小张都中奖的概率为0.2×0.4=0.08，故A正确；
B：小王和小张都没有中奖的概率为(1−0.2)×(1−0.4)=0.48，故B错误；
C：小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.4×(1−0.2)+(1−0.4)×0.2=0.44，故C正确；
D：小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1−0.08=0.92，故D正确．
故选：ACD.
根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解．
本题考查了互斥事件的概率公式的应用，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：当m<4时，m<3不一定成立，但m<3时，m<4一定成立，即m<4是m<3的必要不充分条件，A正确；
当x<2且y<3时，x+y<5一定成立，但x+y<5时，x=4，y=0.5，显然不符合x<2，y<3，即x<2且y<3是x+y<5的充分不必要条件，B正确；
当a=−1时，1a<12，显然不满足a>2，即a>2不是1a<12的充要条件，C错误；
当c=0，a故选：AB.
结合不等式的性质分别检验充分及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】接：根据f(x)解析式作出f(x)的图像，再作y=k交f(x)于三点，横坐标分别为x1，x2，x3，
由图像易知x2+x3=0，所以x1+x2+x3=x1，
令f(x)=−5，解得x1=−3；
令f(x)=3，解得x1=−7；
故x1+x2+x3∈(−7,−3],
故选：CD.
作出分段函数的图像，数形结合分析满足的条件即可求解．
本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
13.【答案】10
【解析】解：由题意可得，采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，
那么高二抽取的人数为4001000×25=10.
故答案为：10.
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14.【答案】34
【解析】【分析】
本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
设销售甲种产品x吨，由题意建立利润y关于x的函数关系，配方法求最值．
【解答】
解：设销售甲种产品x吨，则销售乙种产品10−x吨，
由题意可得利润y=5x−14x2+3(10−x)=−14x2+2x+30=−14(x−4)2+34，
∴当x=4时，获得最大利润y=34万元．
故答案为：34.
15.【答案】37
【解析】解：记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件A，
事件A包括以下21种情况：(7,1)，(7,2)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(7,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，
而有放回地连续抽取2张卡片共有7×7=49(种)不同情况，
则P(A)=2149=37.
故答案为：37.
根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】(1,4)
【解析】解：根据对数函数的定义得a>0且a≠1，
令t=1−ax，则函数t=1−ax在(−∞,14]上单调递减，
∵函数f(x)=lga(1−ax)在(−∞,14]上单调递减，
且y=lgat在(−∞,14]单调递增，且1−ax>0在(−∞,14]上恒成立，
∴a>11−14a>0，解得：1故答案为：(1,4).
根据对数函数以及一次函数的性质，结合复合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．
本题考查了对数函数，一次函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是基础题．
17.【答案】解：(1)因为A={x|1≤x≤2}，B={x|−1≤x≤4}，
所以A∩B={x|1≤x≤2}；
(2)因为A={x|1≤x≤2}，B={x|−1≤x≤4}，
所以A∪B={x|−1≤x≤4}，又U={x|x≤5}，
所以∁U(A∪B)={x|x<−1或4【解析】(1)根据交集的定义求解即可；
(2)先求A∪B，再根据补集的运算的定义求∁U(A∪B).
本题考查并集、补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)原式=lg(7×4×257)=lg100=2;
(2)原式=(32) 3×(−13)+24×0.25−(212×6÷313×6)=23+2−(8÷9)=169.
【解析】本题考查了对数和指数幂的运算性质，属于基础题．
(1)根据对数的运算性质即可求出，
(2)根据指数幂的运算性质即可求出．
19.【答案】解：(1)由不等式f(1−x)>f(x+3)，
可得lga(1−x)>lga(x+3)，
当a>1时，则0<1−x当0综上可得，a>1时，不等式的解集为(−1,1)，
当0(2)函数g(x)=ax+f(x)=ax+lgax，
因为g(x)在区间[1,2]上单调，g(1)=a，g(2)=a2+lga2，
所以a+a2+lga2=a2+a−1，
解得a=12.
【解析】(1)讨论a>1，0(2)求出函数g(x)，由函数的单调性求解即可．
本题主要考查不等式的解法，对数函数与指数函数的性质，函数最值的求法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)令m2+52m−12=1，整理为(m+3)(2m−1)=0，
解得m=−3或m=12，
①当m=−3时，4m2−m=39，可得f(x)=x39，
由f(−x)=(−x)39=−x39=−f(x)，知函数f(x)为奇函数，不合题意；
②当m=12时，f(x)=x12，由函数的定义域为[0,+∞),此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，满足题意，
由①②知，m的值为12；
(2)由(1)有f(x)= x，可得g(x)=x−2a x+12a−32，
令t= x(t≥0)，有x=t2，可得g(x)=(t−a)2−a2+12a−32，
令h(t)=(t−a)2−a2+12a−32(t≥0)，
①当a≤0时，h(t)min=h(0)=12a−32，
又由g(x)的最小值为−3，有12a−32=−3，
解得a=−3；
②当a>0时，h(t)min=h(a)=−a2+12a−32，
又由g(x)的最小值为−3，有−a2+12a−32=−3，
解得a=−1(舍去)或a=32，
由①②知a=−3或a=32.
【解析】(1)根据幂函数的定义可知m2+52m−12=1，求出m的值，再结合f(x)的奇偶性排除即可；
(2)由(1)可知g(x)=x−2a x+12a−32，再利用换元法，结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了二次函数的性质，属于基础题．
21.【答案】解：(1)易知评分在区间[50,60),[70,80)的人数分别为100×0.016×10=16，100×0.04×10=40，
所以评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差为40−16=24(人)；
(2)易知在频率分布直方图中面积最大的矩形条所在区间为[70,80),
所以业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75(分)，
因为在区间[50,80)的频率为10(0.016+0.03+0.04)=0.86<0.9，在区间[50,90)的频率为10(0.016+0.03+0.04+0.01)=0.96>0.9，
所以业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数在区间[80,90)内，
不妨设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，
此时0.86+(x−80)×0.01=0.9，
解得x=84；
(3)易知业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分x−=10(55×0.016+65×0.03+75×0.04+85×0.01+95×0.004)=70.6，
因为70.6100=0.706<0.8，
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．
【解析】(1)由题意，先求出评分在区间[50,60),[70,80)的人数，进而即可求解；
(2)根据众数和百分位数的定义以及计算方法，列出等式进行求解即可；
(3)先求出业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分，得到小区物业服务满意度，进而即可求解．
本题考查频率分布直方图以及平均数、众数和百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，
有f(0)=lg2(a+1)=0，可得a=0，
当a=0时，由f(x)=lg2( x2+1+x)，
f(−x)=lg2( x2+1−x)=lg2( x2+1+x)( x2+1−x) x2+1+x=lg2x2+1−x2 x2+1+x=lg21 x2+1+x=−lg2( x2+1+x)=−f(x)，
此时f(x)为奇函数，
又由 x2+1+x> x2+x=|x|+x≥0，
可知函数f(x)的定义域为R，故a=0满足题意，
故实数a的值为0；
(2)证明：由(1)有f(x)=lg2( x2+1+x)，
任取x2>x1≥0，令t(x)= x2+1+x
则t(x1)−t(x2)= x12+1+x1− x22+1−x2=( x12+1− x22+1)+(x1−x2)，
因为x2>x1≥0，
所以x1−x2<0， x12+1− x22+1<0，
则t(x1)−t(x2)<0，即t(x1)所以t(x)在[0,+∞)上递增，
又y=lg2x在(0,+∞)上递增，
由复合函数的单调性得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，
又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)在(−∞,0]上单调递增，
所以函数f(x)在R上单调递增；
(3)由g(−x)=f(−x)+2−x−2x=−f(x)−(2x−2−x)=−[f(x)+2x−2−x]=−g(x)，
可得函数g(x)为奇函数．
又由函数f(x)和y=2x−2−x在R上单调递增，可得函数g(x)在R上单调递增，
不等式g(x2+3)+g(−m|x+1|)≥0可化为不等式g(x2+3)≥−g(−m|x+1|)，
可化为g(x2+3)≥g(m|x+1|)，有x2+3≥m|x+1|，
可知对∀x∈R，不等式g(x2+3)+g(−m|x+1|)≥0恒成立，等价于对∀x∈R，x2+3≥m|x+1|恒成立，
①当m≤0时，m|x+1|≤0，x2+3≥0，不等式x2+3≥m|x+1|显然成立；
②当m>0时，
Ⅰ.若x=−1，m|x+1|=0，x2+3=4>0，不等式x2+3≥m|x+1|显然成立，
Ⅱ.若x>−1，不等式x2+3≥m|x+1|可化为m≤x2+3x+1，
又由x2+3x+1=(x+1)2−2(x+1)+4x+1=(x+1)+4x+1−2≥2 (x+1)×4x+1−2=2(当且仅当x=1时取等号)，
故有0Ⅲ.若x<−1，不等式x2+3≥m|x+1|可化为m≤−x2+3x+1，
又由−x2+3x+1=−(x+1)2−2(x+1)+4x+1=2−(x+1)−4x+1=2+[−(x+1)+(−4x+1)]≥2+2 −(x+1)×(−4x+1)=6(当且仅当x=−3时取等号)，
故有0由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得0由①②可知，实数m的取值范围为(−∞,2].
【解析】(1)根据函数f(x)是定义在R上的奇函数，由f(0)=lg2(a+1)=0求得a，再验证即可；
(2)利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；
(3)先证得函数g(x)在R上单调递增，将不等式g(x2+3)+g(−m|x+1|)≥0转化为g(x2+3)≥g(m|x+1|)，进而得到x2+3≥m|x+1|求解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想，属于中档题．