2023-2024学年广东省深圳市罗湖区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市罗湖区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|0≤x≤3}，B={x|(x−2)(x+1)<0}，则A∩B=( )
A. [0,2)B. (0,2)C. [0,3]D. (−1,3]
2.命题“∃x>0，x−ex−1≥1”的否定为( )
A. ∀x≤0，x−ex−1≥1B. ∀x>0，x−ex−1<1
C. ∃x≤0，x−ex−1<1D. ∃x>0，x−ex−1<1
3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)=x3+2x2，则f(x)在区间[−1,0]上( )
A. 单调递增，且最小值为−3B. 单调递减，且最小值为−3
C. 单调递增，且最大值为−3D. 单调递减，且最大值为−3
4.已知a=lg23，b=lg48，c=(3π)2，则( )
A. a5.若sin(α−π6)=13，则cs(π3−2α)=( )
A. 89B. −89C. 79D. −79
6.已知x，y∈R，则使x>y成立的充分条件为( )
A. xy+1>1B. 1y>1x−1C. x2>(y+1)2D. (x−1)3>y3
7.设函数f(x)=x2+1ax+1，g(x)=xa(x≥0)它们在同一坐标系的图象如图所示，则下列结论正确的为( )
A. a<−1
B. a<−12
C. −1D. −128.已知函数f(x)=8(x+1)3+2x+1，g(x)=x3+x，则下列结论正确的为( )
A. f(x)与g(x)均为单调函数
B. 若f(a)0
C. 若f(a)=g(b)，则a+b=1不可能成立
D. 存在关于y轴对称的点P，Q分别在f(x)，g(x)的图象上
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列等式正确的为( )
A. 923=6B. lg2+lg5=1C. 2lg123=−3D. 3a a= a
10.在△ABC中，下列结论正确的为( )
A. csA⋅csB⋅csC>0B. sin(A+B2)=csC2
C. sinC=sinAcsB+csAsinBD. csC=csAcsB−sinAsinB
11.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=xf(y)+yf(x)；②∀x∈(1,+∞)，f(x)>0，则下列结论正确的为( )
A. f(1)=0B. f(x2)=x2f(x)
C. ∀x∈(0,1)，f(x)<0D. f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
12.已知函数f(x)=2 3cs2x+2sinxcsx− 3，则下列结论正确的为( )
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)在区间(0,π)上的所有零点之和为7π6
C. 若|f(ωx)|(ω>0)在区间(−π6,π4)上单调，则ω∈(0,13]
D. 若x1，x2为f(x)=32在区间(0,π)上的两个根，则cs(x1−x22)= 24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y= x+ln(1−x)的定义域为______.
14.已知某扇形的圆心角是3π4，半径是4，则该扇形的面积为______.
15.已知x，y>0，若x+xy=4，则x+y的最小值为______.
16.已知函数f(x)=|lg3x|,x>0sinπx− 3csπx,−32≤x≤0，若关于x的方程f(x)=a恰有四个相异实数解x1，x2，x3，x4，则实数a的最小值为______；x1+x2+x3+x4的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知点(a,3)在角α的终边上，且csα=45.
(1)求tanα的值；
(2)求sin(π+α)+cs(π−α)sin(π2+α)的值.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|116≤2x≤16}，B={x|m−3≤x≤m2+3}.
(1)当m=2时，求A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
19.(本小题12分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为130米，转盘直径为120米，开启后按逆时针方向匀速旋转，每30分钟转一圈.已知游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设游客距离地面的高度h(单位：米)关于进舱时间t(单位：分钟)的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A>0，ω>0，φ∈(−π,π)).
(1)求h(t)；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间游客距离地面的高度不小于100米？
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+1x.
(1)根据定义法证明f(x)在区间[1,+∞)上单调递增；
(2)设t>0，求解关于t的不等式f(t2−t+2)+f(−t−2)>0.
21.(本小题12分)
某企业为了提升全球竞争力，大力推进生产改革，从生产单一产品转型为生产多种产品.已知A，B为该企业生产的两种产品，现企业拟将72千万元资念全部投入A，B的生产，记A，B的利润分别为M，N.由市场调查可知，M=4 x,0≤x<3624,x≥36，N=12x，其中x(单位：千万元)为该产品的投入资金.
(1)当A的投入资金为25千万元时，求生产A，B的总利润；
(2)如何分配A，B的投入资金，方可使得总利润最大，并求最大总利润.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=k⋅2x−1+2−x是偶函数，g(x)=−12x2+2x+2.
(1)求函数y=g(lnx)+2k的零点；
(2)当x∈[a,b]时，函数g(f(x))与f(x)的值域相同，求b−a的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|0≤x≤3}，B={x|(x−2)(x+1)<0}={x|−1故A∩B=[0,2).
故选：A.
结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：“∃x>0，x−ex−1≥1”的否定为：∀x>0，x−ex−1<1.
故选：B.
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)=x3+2x2单调递增，
所以当x=1时，函数取得最大值f(1)=3，
根据奇函数的对称性可知，f(x)在[−1,0)上单调递增，且函数有最小值f(−1)=−f(1)=−3.
故选：A.
由已知结合奇函数的对称性即可求解．
本题主要考查了奇函数对称性的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为b=lg48=lg2 8所以1因为c=(3π)2<1，
所以c故选：C.
结合对数函数的单调性比较a，b的大小及与1的大小，然后判断c与1的大小即可比较．
本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为sin(α−π6)=13，
所以cs(π3−2α)=cs(2α−π3)=cs2(α−π6)=1−2sin2(α−π6)=1−2×19=79.
故选：C.
由诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可．
本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，还考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：当x=−2，y=−2时，xy+1>1，但是不满足x>y，即A不符合题意；
当y=1，x=0时，1y>1x−1，但是不满足x>y，即B不符合题意；
当x=−2，y=−1时，x2>(y+1)2，但是不满足x>y，不符合题意；
当(x−1)3>y3时，可得x−1>y，即x>y+1，可以得出x>y，D符合题意．
故选：D.
举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质判断D.
本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由幂函数的图象可知，a<0，
由二次函数的性质可知，当x=1时，f(1)=2+1a<0，
解得，−12故选：D.
由已知结合幂函数及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了幂函数及二次函数性质的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：g(x)=x3+x是R上单调递增函数，
f(x)=8(x+1)3+2x+1=g(2x+1)，所以f(x)在(−∞,−1)，(−1,+∞)上单调递减，故A错误；
若f(a)所以g(2a−1)0，
得ab+b−2>0a>0或ab+b−2<0a<0，故B错误；
若f(a)=g(b)，则b=2a−1，所以ab+b−2=0，若a+b=1，
则(1−b)b+b−2=0，整理得b2−2b+2=0无实根，故C正确；
假设存在点P(x,y)，则点P关于y轴的对称点Q(−x,y)，满足f(x)=g(−x)，
所以−x=2x−1，即x2−x+2=0无实根，
所以不存在关于y轴对称的点P，Q分别在f(x)，g(x)的图象上，故D错误．
故选：C.
根据条件可知f(x)=g(2x+1)，逐一判断选项即可．
本题考查函数的单调性，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，923=343=3 3，故A错误；
对于B，lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1，故B正确；
对于C，2lg123=2lg213=13，故C错误；
对于D，3a a=3a⋅a12=a32×13= a，故D正确．
故选：BD.
由指数、对数的运算法则计算各选项即可．
本题考查指数、对数的运算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，若△ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，则A，B为锐角，
所以csA>0，csB>0，csC<0，则csA⋅csB⋅csC<0，故A错误；
对于B，sin(A+B2)=sin(π−C2)=sin(π2−C2)=csC2，故B正确；
对于C，sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，故C正确；
对于D，csC=cs[π−(A+B)]=−cs(A+B)=−(csAcsB−sinAsinB)=sinAsinB−csAcsB，故D错误．
故选：BC.
举反例可判断A；由三角形的内角和定理和诱导公式可判断B；由三角形的内角和定理与三角恒等变换知识可判断C，D.
本题考查三角恒等变换与诱导公式，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=xf(y)+yf(x)，
所以令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，可得f(1)=0，故A正确；
令y=x，则f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，故B错误；
若x∈(0,1)，y=1x>1，则f(1)=xf(1x)+1xf(x)=0，
根据性质②知f(1x)=−1x2f(x)>0，
所以x∈(0,1)时，f(x)<0，故C正确；
设x1，x2∈(1,+∞)，且x11，
则f(x2)=x1f(x2x1)+x2x1f(x1)，f(x2)−x2x1f(x1)=x1f(x2x1)>0，
又f(x2)−x2x1f(x1)所以f(x2)−f(x1)>f(x2)−x2x1f(x1)>0，
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，故D错误．
故选：AC.
利用赋值法可判断选项AB；若x∈(0,1)，y=1x>1，则f(1)=xf(1x)+1xf(x)=0，结合性质②即可判断C；利用单调性的定义可判断D.
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：∵f(x)=2 3cs2x+2sinxcsx− 3，
∴f(x)= 3(2cs2x−1)+sin2x= 3cs2x+sin2x=2sin(2x+π3)，
A选项，∵f(x)=2sin(2x+π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π，故A错误；
B选项，当x∈(0,π)时，t=2x+π3∈(π3,7π3)，
记f(x)在区间(0,π)上的零点分别为xa，xb(xa∴ta=2xa+π3=π，tb=2xb+π3=2π，
∴2(xa+xb)+2π3=3π，∴xa+xb=7π6，即所有零点之和为7π6，故B正确；
C选项，|f(ωx)|=|2sin(2ωx+π3)|，当x=0时，2ωx+π3=π3，
∵ω>0，∴2ω⋅π4+π3≤π2,2ω⋅(−π6)+π3≥0,解得ω∈(0,13],故C正确．
D选项，当x∈(0,π)时，t=2x+π3∈(π3,7π3)，
∵f(x)=2sin(2x+π3)=32，即sint=34< 32=sinπ3，
∴t1=2x1+π3与t2=2x2+π3关于t=3π2对称，
∴t1+t2=2x1+π3+2x2+π3=3π，∴x1+x2=7π6，
∴cs(x1−x2)=cs(7π6−2x2)=cs[3π2−(2x2+π3)]=−sin(2x2+π3)=−34，
∵x1−x2∈(−π,π),x1−x22∈(−π2,π2)，
∴cs(x1−x22)= 1+cs(x1−x2)2= 24，故D正确．
故选：BCD.
将f(x)化简为f(x)=2sin(2x+π3)，再结合选项所给条件，逐一判断即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】[0,1)
【解析】解：要使原函数有意义，则x≥01−x>0，解得0≤x<1，
所以原函数的定义域[0,1).
故答案为：[0,1).
根据偶次根式下大于等于0，对数函数的真数大于0建立不等式关系，然后解之即可求出函数的定义域．
本题主要考查了对数函数的定义域及其求法，以及偶次根式的定义域，属于基础题．
14.【答案】6π
【解析】解：某扇形的圆心角是3π4，半径是4，
则该扇形的面积为：12×3π4×42=6π.
故答案为：6π.
根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：x+xy=4，
则x(1+y)=4，即x=41+y，
故x+y=41+y+y=41+y+y+1−1≥2 41+y⋅(1+y)−1=3，当且仅当41+y=1+y，即x=1时，等号成立，
故x+y的最小值为3.
故答案为：3.
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
16.【答案】1(79,7)
【解析】解：因为f(x)=|lg3x|,x>0sinπx− 3csπx,−32≤x≤0=|lg3x|,x>02sin(πx−π3),−32≤x≤0，
作出y=f(x)的图象，如图所示：
又因为f(x)=a恰有四个相异实数解x1，x2，x3，x4，
由图象可知a∈[1,2),
所以a的最小值为1；
不妨设x1由正弦函数的性质可知x1，x2关于x=−76对称，
所以x1+x2=−73，
令−lg3x=2，解得x=19；令−lg3x=1，解得x=13；
所以19令lg3x=2，解得x=9；令lg3x=1，解得x=3；
所以3≤x4<9，
所以289所以79故答案为：1；(79,7).
利用三角恒等变换得f(x)=|lg3x|,x>02sin(πx−π3),−32≤x≤0，作出图象，结合题意和图象即可得第一空答案；结合三角函数、对数函数的性质即可得第二空答案．
本题考查了正弦函数、对数函数的性质，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)点(a,3)在角α的终边上，且csα=45，
则角α的终边位于第一象限或第二象限或y轴正半轴，
故sinα= 1−cs2α=35，
所以tanα=sinαcsα=34；
(2)sin(π+α)+cs(π−α)sin(π2+α)=−sinα−csαcsα=−tanα−1=−74.
【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)A={x|116≤2x≤16}={x|−4≤x≤4}，
当m=2时，B={x|−1≤x≤7}，
故A∩B={x|−1≤x≤4}；
(2)“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则A⫋B，即m2+3≥m−3m−3≤−4m2+3≥4，解得m≤−1，
故实数m的取值范围为{m|m≤−1}.
【解析】(1)先求出集合A，再结合交集的定义，即可求解；
(2)根据已知条件，推得A⫋B，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查指数不等式的解法，以及集合的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意知，T=30，所以ω=2πT=π15，
由A+b=130−A+b=130−120，解得b=70，A=60；
由t=0时，h(0)=60sinφ+70=10，解得sinφ=−1，
又因为φ∈(−π,π)，所以φ=−π2，
所以h(t)=60sin(π15t−π2)+70，0≤t≤30.
(2)t∈[0,30]时，h=60sin(π15t−π2)+70≥100，
即sin(π15t−π2)≥12，
解得π6+2kπ≤π15t−π2≤5π6+2kπ，k∈Z；
即10+30k≤t≤20+30k，k∈Z；
所以取10≤t≤20，
所以有20−10=10分钟游客距离地面的高度不小于100米．
【解析】(1)由T=30求出ω，利用最大最小值求出b和A，由t=0求出φ，即可写出函数解析式．
(2)令h(t)≥100，求出t的取值范围，即可得出结果．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
20.【答案】(1)证明：任取x1>x2≥1，
则x1x2>1，x1−x2>0，
则f(x1)−f(x2)=x1−x2+1x1−1x2=(x1−x2)(1−1x1x2)=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增；
(2)因为f(−x)=−x+1−x=−(x+1x)=−f(x)，
即f(x)为奇函数且在[1,+∞)上单调递增，
由f(t2−t+2)+f(−t−2)>0可得f(t2−t+2)>−f(−t−2)=f(t+2)，
由t>0可得t2−t+2>1，t+2>1，
故t2−t+2>t+2，
解得，t>2或t<0，
故t的范围为{t|t>2或t<0}.
【解析】(1)任取x1>x2≥1，利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断；
(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：设A产品的投入资金为x千万元时，生产A，B的总利润为f(x)(单位：千万元).
(1)当A产品的投入资金为25千万元时，则B产品投入资金为47千万元，
则生产A，B的总利润为：f(25)=4 25+12×47=43.5(千万元)；
(2)A产品的投入资金为x千万元，B产品的投入资金为(72−x)千万元，
当0≤x<36时，则36<72−x≤72，
f(x)=4 x+12(72−x)=−12x+4 x+36，
令t= x，得0≤t<6，则总利润为g(t)=−12t2+4t+36=−12(t−4)2+44，
显然当t=4时，函数取得最大值g(t)=44=f(16)，
即A产品投入16千万元，B产品投入56千万元时，总利润最大，最大利润为44千万元，
当36≤x≤72时，则0≤72−x≤36，
∴f(x)=24+12(72−x)=−12x+60，
又f(x)在[36,57]上单调递减，
∴f(x)≤f(36)=42，即此时总利润为42千万元，
又∵44>42，
∴该公司A产品投入16千万元，B产品投入56千万元，总利润最大，最大利润为44千万元．
【解析】(1)由题意得当A产品的投入资金为25千万元时，则B产品投入资金为47千万元，代入分段函数即可求解；
(2)A产品的投入资金为x千万元，B产品的投入资金为(72−x)千万元，利用换元法和二次函数的单调性即可求解．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=k⋅2x−1+2−x，
∴f(−x)=f(x)，12k⋅2−x+2x=12k⋅2x+2−x，
∴12k=1，解得k=2，
y=g(lnx)+2k=−12(lnx)2+2(lnx)+6=−12(lnx+2)(lnx−6)=0，
令−12(lnx+2)(lnx−6)=0，
则lnx=−2，lnx=6，即x=e−2，x=e6，
函数y=g(lnx)+2k的零点为e−2，e6.
(2)设当x∈[a,b]时，函数f(x)的值域为[m,n]，
则函数g(f(x))的值域也为[m,n]，
令t=f(x)，t=2x+2−x≥2，
∵g(t)在区间(2,+∞)上单调递减，
∴当t∈[m,n]时，g(t)的值域为[g(n),g(m)]，
∴g(m)=ng(n)=m，即−12m2+2m+2=n−12n2+2n+2=m，解得m=2n=4，
∴当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[2,4]，
由复合函数的单调性知，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
∵f(x)=2x+2−x是偶函数，∴f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，
令f(x)=4，解得2x=2+ 3或2x=2− 3，即x=lg2(2+ 3)或x=lg2(2− 3)，
故b−a的最大值为lg2(2+ 3)−lg2(2− 3)=lg2(7+4 3).
【解析】(1)结合零点的定义，以及g(x)的解析式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合换元法，先求出函数f(x)的值域，再结合函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查转化能力，属于难题．