2023-2024学年广东省深圳市燕川中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市燕川中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=x+1 3x−2+(x−1)0的定义域为( )
A. (23,+∞)B. [23,1)∪(1,+∞)C. (23,1)∪(1,+∞)D. [23,+∞]
2.若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2]
C. [2,+∞)D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
3.“x>0”是“x2+x>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数y=ax+4+2(a>0,且a>1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sinα=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
5.下列是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=x−1B. y= xC. y=exD. y=x3
6.已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，则1m+2n的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
7.将函数y=2cs(4x−π3)+1图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. x=π12B. x=−π6C. x=−π3D. x=−π12
8.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)0.2毫克/毫升属于酒驾.假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早点(结果取整数)开车才不构成酒驾.(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列是函数图象的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=sinx+1sinx，下列说法正确的是( )
A. f(x)的定义域是RB. f(x)的图象关于原点对称
C. f(−π6)=−52D. 当x>0时，f(x)的最小值为2
11.已知f(x)的定义域是R，f(x)既是奇函数又是减函数．若a，b∈R，且a+b<0，则( )
A. f(a+b)>0B. f(a)+f(b)<0C. f(a+b)<0D. f(a)+f(b)>0
12.若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0,4)，(0,2)(1,32)，(54,32)内，则与f(0)符号不同的是( )
A. f(4)B. f(2)C. f(1)D. f(32)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a>0，计算：a12a23÷a16=______.
14.若函数f(x)=lg12x,(x>0)2x,(x≤0)，则f[f(2)]=__________.
15.若sinθ、csθ是关于x的方程x2−ax+a=0的两个根，则cs(θ−3π2)+sin(3π2+θ)=______.
16.设当x=θ时，函数f(x)=3csx−sinx，x∈R取得最大值，则csθ=__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设U=R，已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}.
(Ⅰ)当m=4时，求∁U(A∪B)；
(Ⅱ)若B≠⌀，且B⊆A，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x+k在区间[1,3]上恒成立，试求k的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2( 3csx−sinx)sinx，x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π4]上的最大值与最小值．
20.(本小题12分)
某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前n(n∈N*)年的支出成本为(10n2−2n)万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.(注：年平均盈利额=总盈利额年度)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−3−x，x∈R.
(1)证明f(x)是增函数；
(2)若不等式3xf2(x)+m⋅f(x)≥0对于∀x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg1−x1+x.
(1)求不等式f(x)>0的解集；
(2)函数g(x)=2−ax(a>0,a≠1)，若存在x1，x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：要使函数f(x)=x+1 3x−2+(x−1)0有意义，
则3x−2>0x−1≠0，解得x>23且x≠1，
因此函数f(x)的定义域为(23,1)∪(1,+∞).
故选：C.
根据函数解析式列出不等式组，求解即可．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的定义，以及一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题．
根据题意可得Δ>0，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：∵∀x∈R，x2+ax+1≥0是假命题，
∴Δ=a2−4>0
∴a>2或a<−2，
∴实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)，
故选：A.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由x2+x>0，解得x的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由x2+x>0，解得x>0，或x<−1.
∴“x>0”是“x2+x>0”的的充分不必要条件，
故选：A.
4.【答案】A
【解析】解：由x+4=0得x=−4，此时y=a0+2=1+2=3，即定点P(−4,3)，
则|OP|=5，则sinα=35，
故选：A.
根据指数函数的性质求出定点坐标，利用三角函数的定义进行计算即可．
本题主要考查三角函数定义的应用，根据指数函数过定点的性质求出定点坐标是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减，不符合题意；
对于B，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于C，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于D，是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意．
故选：D.
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，属于中档题.
利用“乘1法”变形，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，
∴1m+2n=12(2m+n)(1m+2n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2 nm⋅4mn)=12(4+4)=4，
当且仅当nm=4mn，2m+n=2，即n=2m=1时取等号．
∴1m+2n的最小值是4.
故选A.
7.【答案】B
【解析】解：将函数y=2cs(4x−π3)+1图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=2cs(2x−π3)+1的图象；
再向左平移π3个单位，纵坐标不变，可得y=2cs(2x+π3)+1的图象，
令2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=kπ2−π6，k∈Z，
令k=0，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=−π6，
故选：B.
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：假设经过x(x∈N*)小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则1×(1−10%)x<0.2，即0.9x<0.2，所以lg0.9x则x>−lg52lg3−1=1−lg21−2lg3≈15.2，
所以xmin=16，所以次日上午最早10点，该驾驶员开车才不构成酒驾．
故选：D.
假设经过x(x∈N*)小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则1×(1−10%)x<0.2，由对数的运算性质解不等式即可得出答案．
本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据函数的定义可得：在一个函数中，对于自变量x的任意一个值，都有唯一的函数值y与之对应，
由此可知A、B、D三项均符合函数的定义；而C项的图象中，1个x有2个y与之对应，不符合函数的定义．
故选：ABD.
根据题意，利用函数的定义对各选项中的图象加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查函数的定义与基本要素，考查了概念的理解能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于函数f(x)=sinx+1sinx，由sinx≠0，可得它的定义域为{|x≠kπ,k∈Z}，故A错误；
由于函数f(x)为奇函数，可得它的图象关于原点对称，故B正确；
由f(−π6)=−12+1−12=−52，可知C正确；
当x>0时，sinx>0，∴函数f(x)=sinx+1sinx≥2，当且仅当sinx=1时，等号成立，故D正确．
故选：BCD.
由题意，利用正弦函数的图象和性质，基本不等式，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，基本不等式的应用，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据题意，f(x)既是奇函数又是减函数，f(0)=0，
又由a+b<0，则有f(a+b)>0，
若a，b∈R，且a+b<0，则a<−b，则有f(a)>f(−b)=−f(b)，
变形可得f(a)+f(b)>0，
故选：AD.
根据题意，分析可得a<−b，结合函数的奇偶性和单调性可得f(a)>f(−b)=−f(b)，变形可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的性质，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由二分法的步骤可知：
(1)零点在(0,4)内，则有f(0)⋅f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
(2)零点在(0,2)内，则有f(0)⋅f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；
(3)零点在(1,2)内，则有f(1)⋅f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点32；
(4)零点在(1,32)内，则有f(1)⋅f(32)<0，则f(1)>0,f(32)<0，则取中点54；
(5)零点在(54,32)内，则有f(54)⋅f(32)<0，则f(54)>0,f(32)<0，
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f(32)，
故选：ABD.
假设f(0)>0，根据零点所在区间的两个端点的函数值异号，逐步分析可得．
本题考查了二分法求零点的步骤，属于基础题．
13.【答案】a
【解析】解：∵a>0，∴a12a23÷a16=a76÷a16=a(76−16)=a，
故答案为：a.
由题意，利用分数指数幂的运算法则，得出结论．
本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】【分析】
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题、
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=lg12x,(x>0)2x,(x≤0)，
则f(2)=lg122=−1，则f[f(2)]=f(−1)=12；
故答案为：12.
15.【答案】 2−1
【解析】解：由题意得，Δ=a2−4a≥0sinθ+csθ=asinθcsθ=a，则a≤0或a≥4，
又(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ，即a2=1+2a，解得a=1− 2或a=1+ 2(舍去)，
则sinθ+csθ=1− 2，
所以cs(θ−3π2)+sin(3π2+θ)=cs(θ−2π+π2)+sin(π+π2+θ)=cs(θ+π2)−sin(π2+θ)
=−sinθ−csθ=−(sinθ+csθ)= 2−1.
故答案为： 2−1.
先根据韦达定理得到Δ=a2−4a≥0sinθ+csθ=asinθcsθ=a，进而求得a，sinθ+csθ，再结合诱导公式化简求值即可．
本题考查诱导公式的应用，属于中档题．
16.【答案】3 1010
【解析】【分析】
直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
【解答】
解：f(x)=3csx−sinx= 10csx+φ，
其中csφ=3 10,sinφ=1 10，
当x=θ时，函数f(x)=3csx−sinx取得最大值，
即θ+φ=2kπ,k∈Z，
所以csθ=cs2kπ−φ=csφ=3 1010，
故答案为：3 1010.
17.【答案】解(I)当m=4时，集合B=[5,7]，
所以A∪B=[−2,7]，
所以CU(A∪B)=(−∞,−2)∪(7,+∞)；
(Ⅱ)因为B≠⌀，且B⊆A，
所以一定有m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得2≤m≤3，
所以实数m的取值范围为[2,3].
【解析】(Ⅰ)根据m的值求出集合B，再求出集合A，B的并集，进而可以求解；
(Ⅱ)根据已知建立不等式关系，求解即可．
本题考查了集合的运算关系以及集合间的包含关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意知f(1)=a+b+1=0，且−b2a=1，
∴a=1，b=−2，∴f(x)=x2−2x+1，
因为函数f(x)对称轴x=1，开口向上，
∴f(x)单调减区间为(−∞,1],单调增区间为[1,+∞)；
(2)f(x)>x+k在区间[1,3]上恒成立，
转化为x2−3x+1>k在[1,3]上恒成立．
设g(x)=x2−3x+1，x∈[1,3]，且对称轴为x=32，
则g(x)在x=32取得最小值，
∴g(x)min=g(32)=(32)2−3×32+1=−54.
∴k<−54，即k的取值范围为(−∞,−54).
【解析】(1)根据函数f(x)的最小值为f(1)=0，可得f(1)=a+b+1=0，且−b2a=1，可得a，b的值，从而得到f(x)的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
(2)分离参数k，求解二次函数f(x)在区间[1,3]上的最小值，即可得k的范围．
本题主要考查二次函数的性质，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得，f(x)=2 3sinxcsx−2sin2x= 3sin2x+cs2x−1
=2( 32sin2x+12cs2x)−1=2sin(2x+π6)−1，
(Ⅰ)f(x)的最小正周期为：T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，
−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；
(Ⅱ)因为0≤x≤π4，所以π6≤2x+π6≤2π3，
所以12≤sin(2x+π6)≤1，即0≤2sin(2x+π6)−1≤1，
所以0≤f(x)≤1，
当2x+π6=π6时，即x=0时，f(x)取最小值，f(x)min=f(0)=0，
当2x+π6=π2时，即x=π6时，f(x)取得最大值，f(x)max=f(π6)=1.
【解析】本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．
根据二倍角公式、两角和的正弦公式运算化简f(x)，
(Ⅰ)由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；
(Ⅱ)由x的范围求出求出2x+π6的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最大值、最小值．
20.【答案】解：方案二更合理，理由如下：
方案一：设f(n)为前n年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得f(n)=98n−(10n2−2n)−160=−10n2+100n−160=−10(n−5)2+90，
当n=5时，f(n)取得最大值90；此时处理掉设备，则总利润为90+20=110万元；
方案二：平均盈利额为f(n)n=−10n2+100n−160n=−10(n+16n)+100≤100−20 n⋅16n=20，
当且仅当n=16n，即n=4时，等号成立；即n=4时，平均盈利额最大，此时f(n)=80，
此时处理掉设备，总利润为80+30=110万元；
综上，两种方案获利都是110万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合理．
【解析】分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论．
本题考查函数模型的实际应用，数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=3x1−3−x1−3x2+3−x2=3x1−3x2−13x1+13x2
=3x1−3x2+3x1−3x23x1+x2=(3x1−3x2)(1+13x1+x2)，
∵x1则f(x1)−f(x2)=(3x1−3x2)(1+13x1+x2)<0，即f(x1)∴f(x)是增函数；
(2)解：∀x∈[1,2]，f(x)=3x−3−x≥f(1)=3−13=83>0，
不等式3xf2(x)+m⋅f(x)≥0对于∀x∈[1,2]恒成立，
即m⋅f(x)≥−3xf2(x)恒成立，也就是m≥−3xf(x)恒成立，
∴m≥−3x(3x−3−x)=−32x+1对于∀x∈[1,2]恒成立，
当x∈[1,2]时，−32x+1∈[−80,−8]，则m≥−8.
∴实数m的取值范围是[−8,+∞).
【解析】(1)直接利用函数单调性的定义证明；
(2)问题转化为m≥−3xf(x)恒成立，即m≥−32x+1对于∀x∈[1,2]恒成立，求出−32x+1的最大值，即可求得m的取值范围．
本题考查函数的性质及应用，考查恒成立问题的求解方法，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)lg1−x1+x>0=lg1，
∴1−x1+x>1，即−2x1+x>0，解得，−1∴不等式f(x)>0的解集为(−1,0).
(2)∵x∈[0,1),∴1−x>0,1+x>0,
∴f(x)=lg1−x1+x=lg(1−x)−lg(1+x)在[0,1)上单调递减，
∴f(x)≤f(0)=0；
函数g(x)=2−ax(a>0,a≠1)，x∈[0,1),
当a>1时，g(x)在(0,1)上单调递减，
∴2−a∵存在x1，x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立，
∴2−a<0，解得a>2，∴a>2；
当0∴1≤g(x)<2−a；
此时不存在x1，x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立，
综上所述，实数a的取值范围为(2.+∞).
【解析】(1)根据对数恒等式和对数函数的单调性，把不等式f(x)>0转化为1−x1+x>1，解这个不等式即可；
(2)先判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，根据单调性求出函数的值域，分类讨论函数g(x)的单调性，求出其值域，根据存在x1，x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立，转化为f(x)的最大值与g(x)的最小值的大小比较，即可求出结果．
本题考查对数不等式的解法，利用函数的单调性求最值，属中档题．