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2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，5，8}，集合M满足∁UM＝{1，8}，则（ ）
A．1∈MB．2∉MC．3∈MD．5∉M
2．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）不等式6x﹣1﹣9x2＜0的解集是（ ）
A．∅B．R
C．{}D．（﹣∞，）∪（，+∞）
4．（5分）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为W＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数）已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：lg2≈0.3010）（ ）
A．3.0hB．3.3hC．6.0hD．6.6h
5．（5分）已知函数①y＝lgax，②y＝lgbx，③y＝lgcx，④y＝lgdx的大致图象如图所示，则（ ）
A．a+c＜b+aB．a+d＜b+cC．b+c＜a+dD．b+d＜a+c
6．（5分）方程ex﹣4x+1＝0的实数解所在的一个区间是（ ）
A．（，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）
7．（5分）下列函数中，最小正周期为，且在（，0）上单调递减的是（ ）
A．B．
C．y＝tan（π+2x）D．y＝|sin（π+2x）|
8．（5分）设a＝lg32，b＝lg53，c＝lg85，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
（多选）9．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则（ ）
A．命题p是真命题
B．命题p的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1＝0
C．命题p是假命题
D．命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0
（多选）10．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，）．则（ ）
A．
B．f（x）的值域是[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）在（0，+∞）上是减函数
（多选）11．（5分）已知，且，则（ ）
A．sinB．
C．D．
（多选）12．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（ ）
A．ab＜baB．lgab＞lgba
C．lgab+lgba＞2D．sin（sina）＜sinb
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若函数f（x）的定义域为A，函数g（x）＝lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B＝ ．
14．（5分）已知tanα＝﹣2，则（sinα﹣csα）2＝ ．
15．（5分）函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则的最小值为 ．
16．（5分）数学中处处存在着美，菜洛三角形就给人以对称的美感．菜洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到菜洛三角形（如图所示）．若菜洛三角形的周长为，则其面积是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（1）求sinα+csα的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝x．
（1）若f（1）＝5，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（4）＝3，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
19．（12分）已知函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[，]上的最大值与最小值．
20．（12分）已知函数b的图象过点（0，2），且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交．
（1）求函数y＝f（x）的解析式：
（2）解关于x的不等式f（lnx）．
21．（12分）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝1.02x，y＝lg8x+1，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：lg1.025≈81.274，lg81000≈3.322，当x≥8时，lg8x+1≤0.25x恒成立）
22．（12分）对于定义在I上的函数f（x），若存在实数x0∈I，使得f（x0）＝x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点，已知f（x）＝ax2﹣x+2（a≠0）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设F（x）＝lga[f（x）﹣x]，证明：F（x）在定义域内至少有两个不动点．
2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，5，8}，集合M满足∁UM＝{1，8}，则（ ）
A．1∈MB．2∉MC．3∈MD．5∉M
【分析】根据条件求出集合M，再判断1，2，3，5是否是M中的元素．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，5，8}，∁UM＝{1，8}，
∴M＝{2，3，5}，∴3∈M．
故选：C．
【点评】本题考查了补集的定义及运算，属于基础题．
2．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
【解答】解：当a＞b，c＝0时，ac2＝bc2，故充分性不成立，
ac2＞bc2，
则a＞b，必要性成立，
故“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
3．（5分）不等式6x﹣1﹣9x2＜0的解集是（ ）
A．∅B．R
C．{}D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【分析】不等式化为9x2﹣6x+1＞0，再求出解集即可．
【解答】解：不等式6x﹣1﹣9x2＜0，可化为9x2﹣6x+1＞0，
所以（3x﹣1）2＞0，解得x，
所以不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
4．（5分）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为W＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数）已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：lg2≈0.3010）（ ）
A．3.0hB．3.3hC．6.0hD．6.6h
【分析】由题意可得e﹣k＝0.5，进而得0.1＝（0.5）t，利用指数与对数的关系可得t＝lg0.50.1，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可．
【解答】解：由题意可知（1﹣50%）M0＝M0e﹣kt，所以e﹣k＝0.5，
设过滤90%的污染物需要的时间为t，则（1﹣90%）M0＝M0e﹣kt，
所以0.1＝e﹣kt＝（e﹣k）t＝（0.5）t，
所以t＝．
故选：B．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知函数①y＝lgax，②y＝lgbx，③y＝lgcx，④y＝lgdx的大致图象如图所示，则（ ）
A．a+c＜b+aB．a+d＜b+cC．b+c＜a+dD．b+d＜a+c
【分析】由对数函数的图象及性质，结合不等式的性质求解即可．
【解答】解：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，
则a+b＞a+c，b+d＞a+c，
即选项A正确，选项D错误；
又a+d与b+c的大小不确定，
即选项B、C错误，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的图象及性质，重点考查了不等式的性质，属基础题．
6．（5分）方程ex﹣4x+1＝0的实数解所在的一个区间是（ ）
A．（，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）
【分析】设f（x）＝ex﹣4x+1，可得f（）f（1）＜0，再利用函数零点的判定定理求解即可．
【解答】解：设f（x）＝ex﹣4x+1，
∵f（）2+1＞0，f（0）＝e0+1＝2＞0，f（）2+11＞0，f（1）＝e﹣4+1＝e﹣3＜0，
∴f（）f（1）＜0，
∴函数的一个零点所在区间为（，1），
即方程ex﹣4x+1＝0的实数解所在的一个区间是（，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数零点的判定定理，属于中档题．
7．（5分）下列函数中，最小正周期为，且在（，0）上单调递减的是（ ）
A．B．
C．y＝tan（π+2x）D．y＝|sin（π+2x）|
【分析】由题意，利用诱导公式，三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：由于函数y＝sin（4x）＝cs4x的最小正周期为，
当x∈（，0）时，4x∈（﹣π，0），函数y单调递增，故A不符合题意；
由于函数y＝cs（4x）＝sin4x的最小正周期为，
当x∈（，0）时，4x∈（﹣π，0），函数y不单调，故B不符合题意；
由于函数y＝tan（π+2x）＝tan2x的最小正周期为，
当x∈（，0）时，2x∈（，0），函数y单调递增，故C不符合题意；
由于函数y＝|sin（π+2x）|＝|sin2x|的最小正周期为•，
当x∈（，0）时，2x∈（，0），函数y＝﹣sin2x单调递减，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式，三角函数的图象和性质，属于基础题．
8．（5分）设a＝lg32，b＝lg53，c＝lg85，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】运用对数函数的单调性和中间量“”和“”，可得结论．
【解答】解：a＝lg32＞lg3，且lg32＜lg33，即a，
b＝lg53＞lg55，且lg53＜lg55，
c＝lg85＞lg88，且lg85＞lg88，
可得a＜b＜c，
故选：A．
【点评】本题考查两数的大小比较，注意运用对数函数的单调性，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
（多选）9．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则（ ）
A．命题p是真命题
B．命题p的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1＝0
C．命题p是假命题
D．命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0
【分析】根据已知条件，结合配方法，以及全称命题的否定，即可求解．
【解答】解：x2﹣x+1，
则命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0为真命题，故A正确，C错误；
命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0，故B错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，）．则（ ）
A．
B．f（x）的值域是[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）在（0，+∞）上是减函数
【分析】由题意，利用待定系数法求函数的解析式，再利用幂函数的性质，得出结论．
【解答】解：由于幂函数y＝f（x）＝xα 的图象过点（3，），
故有3α，∴α，f（x），故A正确；
根据f（x）的解析式，可得它的值域为[0，+∞），故B正确；
显然，f（x）不是偶函数，故C错误；
由于f（x） 在（0，+∞）上是增函数，故D错误，
故选：AB．
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，幂函数的定义和性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知，且，则（ ）
A．sinB．
C．D．
【分析】由同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可．
【解答】解：已知，
则，
又，
则，
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即选项D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了诱导公式，属基础题．
（多选）12．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（ ）
A．ab＜baB．lgab＞lgba
C．lgab+lgba＞2D．sin（sina）＜sinb
【分析】由指数函数和幂函数的单调性可判断A；取a，b，计算可判断B；由基本不等式可判断C；由正弦函数的单调性和当0＜x时，sinx＜x，可判断D．
【解答】解：由0＜a＜b＜1，可得ab＜aa＜ba，故A正确；
取a，b，lgab，lgba＝2，即lgab＜lgba，故B错误；
由0＜a＜b＜1，可得lgab＞0，lgba＞0，且lgab≠lgba，则lgab+lgba＞22，故C正确；
当0＜x时，sinx＜x，由0＜a＜b＜1，0＜sina＜sinb＜1，可得sin（sina）＜sinb，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查两数的大小比较，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若函数f（x）的定义域为A，函数g（x）＝lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B＝ （﹣1，2） ．
【分析】由题意，利用分式、偶次根式的性质，求得函数的定义域．
【解答】解：对于函数f（x），可得x+1＞0，即x＞﹣1，可得的定义域为A＝（﹣1，+∞）．
对于函数g（x）＝lg（2﹣x），可得2﹣x＞0，即x＜2，可得的定义域为B＝（﹣∞，2），
则A∩B＝（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查分式、偶次根式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
14．（5分）已知tanα＝﹣2，则（sinα﹣csα）2＝ ．
【分析】利用同角三角函数基本关系的运用化简所求后代入已知即可求值得解．
【解答】解：∵tanα＝﹣2，
∴2csαsinα
∴（sinα﹣csα）2＝1﹣2csαsinα．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．
15．（5分）函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是 （1，2） ；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则的最小值为 8 ．
【分析】利用指数函数恒过点（0，1）来判断函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）过哪个定点；利用1的代换求的最小值．
【解答】解：函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1），令x＝1，y＝2，则函数恒过点（1，2），则点P的坐标是（1，2）；
若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则m+2n＝1，
则（）（m+2n）＝424＝8，
当且仅当，即m，n取等号，则的最小值为8．
故答案为：（1，2）；8．
【点评】本题考查函数恒过定点，考查基本不等式的应用，属于基础题．
16．（5分）数学中处处存在着美，菜洛三角形就给人以对称的美感．菜洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到菜洛三角形（如图所示）．若菜洛三角形的周长为，则其面积是 ．
【分析】根据莱洛三角形的周长先算出半径AB的长度，然后整个莱洛三角形的面积为等边三角形与三个拱形的面积之和，利用割补法求出拱形的面积，则问题可解．
【解答】解：易知弧AB的圆心角为，半径为AB，
故弧长为AB，
故莱洛三角形的周长3×AB，
所以AB，，
故阴影部分面积为S扇形ABC﹣S△ABCsin，
故莱洛三角形的面积为sin3×（）．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（1）求sinα+csα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）依题意，可求得sinα与csα的值，从而可得答案；
（2）利用诱导公式化简可求得答案．
【解答】解：（1）∵角α的终边过点P（，）．
∴sinα，csα，
∴sinα+csα；
（2）11．
【点评】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝x．
（1）若f（1）＝5，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（4）＝3，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
【分析】（1）根据题意，先求出a的值，结合函数奇偶性的判断方法分析可得答案；
（2）根据题意，先求出a的值，利用作差法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x，
若f（1）＝5，即1+a＝5，解可得a＝4，则f（x）＝x，
f（x）为奇函数，
证明：f（x）＝x，其定义域为{x|x≠0}，
则f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；
（2）若f（4）＝3，即f（4）＝43，则a＝﹣4，
则f（x）＝x，在（0，+∞）上为增函数，
证明：设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2）＝（x1﹣x2）﹣（）＝（x1﹣x2）（1），
而0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上为增函数．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数的单调性，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[，]上的最大值与最小值．
【分析】（1）由f（x）的最小正周期为π可求出ω的值，进而得到f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象求出其单调递减区间即可；
（2）利用正弦函数的图象求解．
【解答】解：（1）∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴ω＝2，
∴f（x）sin（2x），
令2kπ，k∈Z，
解得kπ≤x，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）f（x）sin（2x），
当x∈[，]时，2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，]，
∴f（x）在区间[，]上的最大值为，最小值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性和最值，属于基础题．
20．（12分）已知函数b的图象过点（0，2），且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交．
（1）求函数y＝f（x）的解析式：
（2）解关于x的不等式f（lnx）．
【分析】（1）由f（0）＝2，结合指数函数的性质可求出a，b，进而可求得函数解析式；
（2）利用f（x）的单调性解f（lnx）f（1）可求得答案．
【解答】解：（1）因为函数b的图象过点（0，2），
所以b＝a+b＝2，
∴b＝2﹣a，
又因为f（x）的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，
∴b＝2﹣a＝1，解得a＝1，此时1；
（2）因为1为偶函数，且在[0，+∞）上为减函数，f（1），
所以f（lnx）可化为f（lnx）＜f（1），故|lnx|＞1，
解得x＞e或0＜x．
所以原不等式的解集为（0，）∪（e，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求解及指数函数与对数函数性质的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝1.02x，y＝lg8x+1，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：lg1.025≈81.274，lg81000≈3.322，当x≥8时，lg8x+1≤0.25x恒成立）
【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，根据函数的性质一一验证即可．
【解答】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，
对于y＝0.2x，易知满足①，但当x＞25时，y＞5，不符合公司的要求；
对于y＝1.02x，易知满足①，但当x≥82时，v≥1.0282＞1.025，不符合公司的要求；
对于y＝lg8x+1，函数在[10，1000]上单调递增，而且函数的最大值lg81000≈3.322＜5，因而满足①②，
因为当x≥8时，lg8x+1≤0.25x恒成立，
所以当x∈[10，1000]时，lg8x+1＜x•25%，满足③，故符合公司的要求．
综上，奖励模型y＝lg8x+1符合公司的要求．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．（12分）对于定义在I上的函数f（x），若存在实数x0∈I，使得f（x0）＝x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点，已知f（x）＝ax2﹣x+2（a≠0）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设F（x）＝lga[f（x）﹣x]，证明：F（x）在定义域内至少有两个不动点．
【分析】（1）根据不动点的定义，ax2﹣x+2＝x的两根满足x1＜2＜x2，结合二次函数的性质，分a＞0，a＜0两种情况求解即可；
（2）设p（x）＝ax2﹣2x+2，根据题意说明设p（x）＝0有两个不等实根m、n，不妨设m＜n，从而判断1＜m＜2n，记h（x）＝ax﹣（ax2﹣2x+2），判断1是方程g（x）的一个不动点；说明h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，利用函数的单调性，推出F（x）在定义域内至少有两个不动点．
【解答】解：（1）由题意可得ax2﹣x+2＝x有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，a≠0，
即ax2﹣2x+2＝0有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，a≠0，
令m（x）＝ax2﹣2x+2＝0，
则有或，
解得：0＜a，
所以实数a的取值范围为（0，）；
（2）证明：因为F（x）＝lga[f（x）﹣x]＝lga（ax2﹣2x+2），
方程F（x）＝x可化为lga（ax2﹣2x+2）＝x，
即ax2﹣2x+2＝ax且ax2﹣2x+2＞0，
因为0＜a，Δ＝4﹣8a＞0，
设p（x）＝ax2﹣2x+2，所以p（x）＝0有两个不相等的实数根，
设p（x）＝ax2﹣2x+2＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n，
因为函数p（x）＝ax2﹣2x+2图象的对称轴为直线x，p（1）＝a＞0，2，p（2）＝4a﹣2＜0，p（）＝2＞0，
所以1＜m＜2n，
记h（x）＝ax﹣（ax2﹣2x+2），因为h（1）＝0，且p（1）＝a＞0，所以x＝1是方程F（x）＝x的实数根，
所以1是F（x）的一个不动点，
又因为h（n）＝an﹣（an2﹣2n+2）＝an＞0，
因为0＜a，所以4，h（）2＜a4﹣2＜0，
且h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，
所以∃x0∈[n，]，使得h（x0）＝0，
又因为p（x）＝ax2﹣2x+2＝0在[n，]上单调递增，
所以p（x0）＞p（n）＝0，
所以x0是g（x）的一个不动点，
综上，F（x）在定义域内至少有两个不动点．
【点评】本题属于新概念题，考查了指数函数、二次函数的性质，也考查了学生理解、分析、推理能力，属于难题．
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1．（5分）设全集U＝{1，2，3，5，8}，集合M满足∁UM＝{1，8}，则（ ）
A．1∈MB．2∉MC．3∈MD．5∉M
2．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）不等式6x﹣1﹣9x2＜0的解集是（ ）
A．∅B．R
C．{}D．（﹣∞，）∪（，+∞）
4．（5分）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为W＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数）已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：lg2≈0.3010）（ ）
A．3.0hB．3.3hC．6.0hD．6.6h
5．（5分）已知函数①y＝lgax，②y＝lgbx，③y＝lgcx，④y＝lgdx的大致图象如图所示，则（ ）
A．a+c＜b+aB．a+d＜b+cC．b+c＜a+dD．b+d＜a+c
6．（5分）方程ex﹣4x+1＝0的实数解所在的一个区间是（ ）
A．（，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）
7．（5分）下列函数中，最小正周期为，且在（，0）上单调递减的是（ ）
A．B．
C．y＝tan（π+2x）D．y＝|sin（π+2x）|
8．（5分）设a＝lg32，b＝lg53，c＝lg85，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
（多选）9．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则（ ）
A．命题p是真命题
B．命题p的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1＝0
C．命题p是假命题
D．命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0
（多选）10．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，）．则（ ）
A．
B．f（x）的值域是[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）在（0，+∞）上是减函数
（多选）11．（5分）已知，且，则（ ）
A．sinB．
C．D．
（多选）12．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（ ）
A．ab＜baB．lgab＞lgba
C．lgab+lgba＞2D．sin（sina）＜sinb
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若函数f（x）的定义域为A，函数g（x）＝lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B＝ ．
14．（5分）已知tanα＝﹣2，则（sinα﹣csα）2＝ ．
15．（5分）函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则的最小值为 ．
16．（5分）数学中处处存在着美，菜洛三角形就给人以对称的美感．菜洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到菜洛三角形（如图所示）．若菜洛三角形的周长为，则其面积是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（1）求sinα+csα的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝x．
（1）若f（1）＝5，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（4）＝3，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
19．（12分）已知函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[，]上的最大值与最小值．
20．（12分）已知函数b的图象过点（0，2），且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交．
（1）求函数y＝f（x）的解析式：
（2）解关于x的不等式f（lnx）．
21．（12分）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝1.02x，y＝lg8x+1，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：lg1.025≈81.274，lg81000≈3.322，当x≥8时，lg8x+1≤0.25x恒成立）
22．（12分）对于定义在I上的函数f（x），若存在实数x0∈I，使得f（x0）＝x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点，已知f（x）＝ax2﹣x+2（a≠0）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设F（x）＝lga[f（x）﹣x]，证明：F（x）在定义域内至少有两个不动点．
2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，5，8}，集合M满足∁UM＝{1，8}，则（ ）
A．1∈MB．2∉MC．3∈MD．5∉M
【分析】根据条件求出集合M，再判断1，2，3，5是否是M中的元素．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，5，8}，∁UM＝{1，8}，
∴M＝{2，3，5}，∴3∈M．
故选：C．
【点评】本题考查了补集的定义及运算，属于基础题．
2．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
【解答】解：当a＞b，c＝0时，ac2＝bc2，故充分性不成立，
ac2＞bc2，
则a＞b，必要性成立，
故“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
3．（5分）不等式6x﹣1﹣9x2＜0的解集是（ ）
A．∅B．R
C．{}D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【分析】不等式化为9x2﹣6x+1＞0，再求出解集即可．
【解答】解：不等式6x﹣1﹣9x2＜0，可化为9x2﹣6x+1＞0，
所以（3x﹣1）2＞0，解得x，
所以不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
4．（5分）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为W＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数）已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：lg2≈0.3010）（ ）
A．3.0hB．3.3hC．6.0hD．6.6h
【分析】由题意可得e﹣k＝0.5，进而得0.1＝（0.5）t，利用指数与对数的关系可得t＝lg0.50.1，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可．
【解答】解：由题意可知（1﹣50%）M0＝M0e﹣kt，所以e﹣k＝0.5，
设过滤90%的污染物需要的时间为t，则（1﹣90%）M0＝M0e﹣kt，
所以0.1＝e﹣kt＝（e﹣k）t＝（0.5）t，
所以t＝．
故选：B．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知函数①y＝lgax，②y＝lgbx，③y＝lgcx，④y＝lgdx的大致图象如图所示，则（ ）
A．a+c＜b+aB．a+d＜b+cC．b+c＜a+dD．b+d＜a+c
【分析】由对数函数的图象及性质，结合不等式的性质求解即可．
【解答】解：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，
则a+b＞a+c，b+d＞a+c，
即选项A正确，选项D错误；
又a+d与b+c的大小不确定，
即选项B、C错误，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的图象及性质，重点考查了不等式的性质，属基础题．
6．（5分）方程ex﹣4x+1＝0的实数解所在的一个区间是（ ）
A．（，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）
【分析】设f（x）＝ex﹣4x+1，可得f（）f（1）＜0，再利用函数零点的判定定理求解即可．
【解答】解：设f（x）＝ex﹣4x+1，
∵f（）2+1＞0，f（0）＝e0+1＝2＞0，f（）2+11＞0，f（1）＝e﹣4+1＝e﹣3＜0，
∴f（）f（1）＜0，
∴函数的一个零点所在区间为（，1），
即方程ex﹣4x+1＝0的实数解所在的一个区间是（，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数零点的判定定理，属于中档题．
7．（5分）下列函数中，最小正周期为，且在（，0）上单调递减的是（ ）
A．B．
C．y＝tan（π+2x）D．y＝|sin（π+2x）|
【分析】由题意，利用诱导公式，三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：由于函数y＝sin（4x）＝cs4x的最小正周期为，
当x∈（，0）时，4x∈（﹣π，0），函数y单调递增，故A不符合题意；
由于函数y＝cs（4x）＝sin4x的最小正周期为，
当x∈（，0）时，4x∈（﹣π，0），函数y不单调，故B不符合题意；
由于函数y＝tan（π+2x）＝tan2x的最小正周期为，
当x∈（，0）时，2x∈（，0），函数y单调递增，故C不符合题意；
由于函数y＝|sin（π+2x）|＝|sin2x|的最小正周期为•，
当x∈（，0）时，2x∈（，0），函数y＝﹣sin2x单调递减，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式，三角函数的图象和性质，属于基础题．
8．（5分）设a＝lg32，b＝lg53，c＝lg85，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】运用对数函数的单调性和中间量“”和“”，可得结论．
【解答】解：a＝lg32＞lg3，且lg32＜lg33，即a，
b＝lg53＞lg55，且lg53＜lg55，
c＝lg85＞lg88，且lg85＞lg88，
可得a＜b＜c，
故选：A．
【点评】本题考查两数的大小比较，注意运用对数函数的单调性，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
（多选）9．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则（ ）
A．命题p是真命题
B．命题p的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1＝0
C．命题p是假命题
D．命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0
【分析】根据已知条件，结合配方法，以及全称命题的否定，即可求解．
【解答】解：x2﹣x+1，
则命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0为真命题，故A正确，C错误；
命题p的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0，故B错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，）．则（ ）
A．
B．f（x）的值域是[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）在（0，+∞）上是减函数
【分析】由题意，利用待定系数法求函数的解析式，再利用幂函数的性质，得出结论．
【解答】解：由于幂函数y＝f（x）＝xα 的图象过点（3，），
故有3α，∴α，f（x），故A正确；
根据f（x）的解析式，可得它的值域为[0，+∞），故B正确；
显然，f（x）不是偶函数，故C错误；
由于f（x） 在（0，+∞）上是增函数，故D错误，
故选：AB．
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，幂函数的定义和性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知，且，则（ ）
A．sinB．
C．D．
【分析】由同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可．
【解答】解：已知，
则，
又，
则，
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即选项D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了诱导公式，属基础题．
（多选）12．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（ ）
A．ab＜baB．lgab＞lgba
C．lgab+lgba＞2D．sin（sina）＜sinb
【分析】由指数函数和幂函数的单调性可判断A；取a，b，计算可判断B；由基本不等式可判断C；由正弦函数的单调性和当0＜x时，sinx＜x，可判断D．
【解答】解：由0＜a＜b＜1，可得ab＜aa＜ba，故A正确；
取a，b，lgab，lgba＝2，即lgab＜lgba，故B错误；
由0＜a＜b＜1，可得lgab＞0，lgba＞0，且lgab≠lgba，则lgab+lgba＞22，故C正确；
当0＜x时，sinx＜x，由0＜a＜b＜1，0＜sina＜sinb＜1，可得sin（sina）＜sinb，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查两数的大小比较，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若函数f（x）的定义域为A，函数g（x）＝lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B＝ （﹣1，2） ．
【分析】由题意，利用分式、偶次根式的性质，求得函数的定义域．
【解答】解：对于函数f（x），可得x+1＞0，即x＞﹣1，可得的定义域为A＝（﹣1，+∞）．
对于函数g（x）＝lg（2﹣x），可得2﹣x＞0，即x＜2，可得的定义域为B＝（﹣∞，2），
则A∩B＝（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查分式、偶次根式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
14．（5分）已知tanα＝﹣2，则（sinα﹣csα）2＝ ．
【分析】利用同角三角函数基本关系的运用化简所求后代入已知即可求值得解．
【解答】解：∵tanα＝﹣2，
∴2csαsinα
∴（sinα﹣csα）2＝1﹣2csαsinα．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．
15．（5分）函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是 （1，2） ；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则的最小值为 8 ．
【分析】利用指数函数恒过点（0，1）来判断函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）过哪个定点；利用1的代换求的最小值．
【解答】解：函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1），令x＝1，y＝2，则函数恒过点（1，2），则点P的坐标是（1，2）；
若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则m+2n＝1，
则（）（m+2n）＝424＝8，
当且仅当，即m，n取等号，则的最小值为8．
故答案为：（1，2）；8．
【点评】本题考查函数恒过定点，考查基本不等式的应用，属于基础题．
16．（5分）数学中处处存在着美，菜洛三角形就给人以对称的美感．菜洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到菜洛三角形（如图所示）．若菜洛三角形的周长为，则其面积是 ．
【分析】根据莱洛三角形的周长先算出半径AB的长度，然后整个莱洛三角形的面积为等边三角形与三个拱形的面积之和，利用割补法求出拱形的面积，则问题可解．
【解答】解：易知弧AB的圆心角为，半径为AB，
故弧长为AB，
故莱洛三角形的周长3×AB，
所以AB，，
故阴影部分面积为S扇形ABC﹣S△ABCsin，
故莱洛三角形的面积为sin3×（）．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（1）求sinα+csα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）依题意，可求得sinα与csα的值，从而可得答案；
（2）利用诱导公式化简可求得答案．
【解答】解：（1）∵角α的终边过点P（，）．
∴sinα，csα，
∴sinα+csα；
（2）11．
【点评】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝x．
（1）若f（1）＝5，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（4）＝3，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
【分析】（1）根据题意，先求出a的值，结合函数奇偶性的判断方法分析可得答案；
（2）根据题意，先求出a的值，利用作差法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x，
若f（1）＝5，即1+a＝5，解可得a＝4，则f（x）＝x，
f（x）为奇函数，
证明：f（x）＝x，其定义域为{x|x≠0}，
则f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；
（2）若f（4）＝3，即f（4）＝43，则a＝﹣4，
则f（x）＝x，在（0，+∞）上为增函数，
证明：设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2）＝（x1﹣x2）﹣（）＝（x1﹣x2）（1），
而0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上为增函数．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数的单调性，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[，]上的最大值与最小值．
【分析】（1）由f（x）的最小正周期为π可求出ω的值，进而得到f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象求出其单调递减区间即可；
（2）利用正弦函数的图象求解．
【解答】解：（1）∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴ω＝2，
∴f（x）sin（2x），
令2kπ，k∈Z，
解得kπ≤x，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）f（x）sin（2x），
当x∈[，]时，2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，]，
∴f（x）在区间[，]上的最大值为，最小值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性和最值，属于基础题．
20．（12分）已知函数b的图象过点（0，2），且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交．
（1）求函数y＝f（x）的解析式：
（2）解关于x的不等式f（lnx）．
【分析】（1）由f（0）＝2，结合指数函数的性质可求出a，b，进而可求得函数解析式；
（2）利用f（x）的单调性解f（lnx）f（1）可求得答案．
【解答】解：（1）因为函数b的图象过点（0，2），
所以b＝a+b＝2，
∴b＝2﹣a，
又因为f（x）的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，
∴b＝2﹣a＝1，解得a＝1，此时1；
（2）因为1为偶函数，且在[0，+∞）上为减函数，f（1），
所以f（lnx）可化为f（lnx）＜f（1），故|lnx|＞1，
解得x＞e或0＜x．
所以原不等式的解集为（0，）∪（e，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求解及指数函数与对数函数性质的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝1.02x，y＝lg8x+1，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：lg1.025≈81.274，lg81000≈3.322，当x≥8时，lg8x+1≤0.25x恒成立）
【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，根据函数的性质一一验证即可．
【解答】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，
对于y＝0.2x，易知满足①，但当x＞25时，y＞5，不符合公司的要求；
对于y＝1.02x，易知满足①，但当x≥82时，v≥1.0282＞1.025，不符合公司的要求；
对于y＝lg8x+1，函数在[10，1000]上单调递增，而且函数的最大值lg81000≈3.322＜5，因而满足①②，
因为当x≥8时，lg8x+1≤0.25x恒成立，
所以当x∈[10，1000]时，lg8x+1＜x•25%，满足③，故符合公司的要求．
综上，奖励模型y＝lg8x+1符合公司的要求．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．（12分）对于定义在I上的函数f（x），若存在实数x0∈I，使得f（x0）＝x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点，已知f（x）＝ax2﹣x+2（a≠0）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设F（x）＝lga[f（x）﹣x]，证明：F（x）在定义域内至少有两个不动点．
【分析】（1）根据不动点的定义，ax2﹣x+2＝x的两根满足x1＜2＜x2，结合二次函数的性质，分a＞0，a＜0两种情况求解即可；
（2）设p（x）＝ax2﹣2x+2，根据题意说明设p（x）＝0有两个不等实根m、n，不妨设m＜n，从而判断1＜m＜2n，记h（x）＝ax﹣（ax2﹣2x+2），判断1是方程g（x）的一个不动点；说明h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，利用函数的单调性，推出F（x）在定义域内至少有两个不动点．
【解答】解：（1）由题意可得ax2﹣x+2＝x有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，a≠0，
即ax2﹣2x+2＝0有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，a≠0，
令m（x）＝ax2﹣2x+2＝0，
则有或，
解得：0＜a，
所以实数a的取值范围为（0，）；
（2）证明：因为F（x）＝lga[f（x）﹣x]＝lga（ax2﹣2x+2），
方程F（x）＝x可化为lga（ax2﹣2x+2）＝x，
即ax2﹣2x+2＝ax且ax2﹣2x+2＞0，
因为0＜a，Δ＝4﹣8a＞0，
设p（x）＝ax2﹣2x+2，所以p（x）＝0有两个不相等的实数根，
设p（x）＝ax2﹣2x+2＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n，
因为函数p（x）＝ax2﹣2x+2图象的对称轴为直线x，p（1）＝a＞0，2，p（2）＝4a﹣2＜0，p（）＝2＞0，
所以1＜m＜2n，
记h（x）＝ax﹣（ax2﹣2x+2），因为h（1）＝0，且p（1）＝a＞0，所以x＝1是方程F（x）＝x的实数根，
所以1是F（x）的一个不动点，
又因为h（n）＝an﹣（an2﹣2n+2）＝an＞0，
因为0＜a，所以4，h（）2＜a4﹣2＜0，
且h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，
所以∃x0∈[n，]，使得h（x0）＝0，
又因为p（x）＝ax2﹣2x+2＝0在[n，]上单调递增，
所以p（x0）＞p（n）＝0，
所以x0是g（x）的一个不动点，
综上，F（x）在定义域内至少有两个不动点．
【点评】本题属于新概念题，考查了指数函数、二次函数的性质，也考查了学生理解、分析、推理能力，属于难题．
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