2023-2024学年广东省广州市三校联考（广州铁一中、广州外国语学校、广大附中）高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年广东省广州市三校联考（广州铁一中、广州外国语学校、广大附中）高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知R为实数集，集合A={x|x<1或x>3}，B={x|12<2x<4}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {x|−12.设α是第二象限角，P(x,1)为其终边上一点，且csα=13x，则tanα=( )
A. − 22B. − 24C. 22D. 24
3.计算2723×7lg72−lg4164+lne2−2lg2−lg25=( )
A. 20B. 21C. 9D. 11
4.将函数f(x)=sin(x+512π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得的函数图象向右平移π24个单位长度，得到函数g(x)的图象；则g(π8)=( )
A. 6− 24B. 6+ 24C. 2− 64D. − 2− 64
5.已知函数f(x)=1 cs(x−π3)，则f(x)的单调递增区间是( )
A. (π3+2kπ,4π3+2kπ)(k∈Z)B. (−π6+2kπ,π3+2kπ)(k∈Z)
C. (π3+kπ,5π6+kπ)(k∈Z)D. (π3+2kπ,5π6+2kπ)(k∈Z)
6.已知a=30.1，b=(tan22.5∘1−tan222.5∘)0.2，c=lg50.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. c7.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x+b，则f(20232)=( )
A. −1− 2B. 1− 2C. 2+1D. 2−1
8.已知函数f(x)=1sin|x|+1csx，在下列结论中：
①2π是f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线x=π4对称；
③f(x)在区间(−π2,0)上无最大值.
正确结论的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+m>0”
B. 已知a∈R，则“a≤1”是“a2≤a”的必要不充分条件
C. 函数y=lg(x2−4x+3)的单调增区间是(2,+∞)
D. ∃x0∈(0,13)，(12)x0>lg13x0
10.已知θ∈(0,π)，sinθ+csθ=−15，则下列结论正确的是( )
A. θ为第二象限角B. csθ=−45
C. tanθ=−43D. 4sinθcsθ−2cs2θ=−165
11.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为π4，且f(0)= 33，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π4
B. 函数f(x)的定义域{x|x≠π12+kπ4,k∈N}
C. 函数f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π12,0)(k∈Z)
D. 函数f(x)的单调递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)
12.关于函数f(x)=2csπx,0≤x≤2,−lg2x+2,x>2.下列说法正确的有( )
A. f(2)=2
B. 不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]
C. 若方程f(x)=m有3个实数根，则0≤m<1
D. 若存在实数a，b，c(a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=cs(2x−π3)的对称轴方程是______.
14.已知函数y=f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−ln(x+1)，当x<0时，f(x)=______.
15.函数f(x)= x(2π−x)+ln( 3−2csx)的定义域为______.
16.已知函数f(x)=lg13x,x>02x,x≤0，若f(−lg2 22)+f[f(9)]=______；若f(f(a))≤1，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知f(θ)=sin(π−θ)cs(2π+θ)sin(−π2+θ)cs(π+θ).
(1)化简，并求f(8π3).
(2)若f(θ)=3，求2sin2θ−3sinθcsθ的值．
18.(本小题12分)
已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π3)⋅sin(π3−ωx)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若π8<α<5π8，f(α−π8)=1120，求cs2α的值.
19.(本小题12分)
已知函数y=ax−1−2(a>0,且a≠1)过定点A，且点A在函数f(x)=ln(x+m)−1，(m∈R)的图象上.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若定义在[1,2]上的函数y=f(x)+ln(k−2x)恰有一个零点，求实数k的取值范围.
20.(本小题12分)
塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200∼400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系y=y0⋅e−rvt，y0为初始量，r为光解系数(与光照强度、湿度及氧气浓度有关)，v为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.(参考数据：ln10≈2.30，lg2≈0.301)
(1)塑料自然降解，残留量为初始量的10%，大约需要多久？
(2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%，则残留量不足初始量的10%，至少需要多久？(精确到年)
21.(本小题12分)
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))，x∈[−4,0]的图像，图象的最高点为B(−1,2).边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD//EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE.
(1)求曲线段FGBC的函数表达式和半径OD的长度；
(2)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值.
22.(本小题12分)
设a∈R，函数f(x)=x2−2(a+1)x+a2+5，g(x)=sin(2πx−2πa).
(1)若函数y=lg[f(x)−2]的值域是R，求a的取值范围；
(2)当a∈(1,3)时，记函数H(x)=f(x),x≥ag(x),x答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x<1或x>3}，∴∁RA={x|1≤x≤3}，
集合B={x|12<2x<4}={x|−1∴图中阴影部分表示的集合为B∩(∁RA)={x|−1故选：C.
由Venn图可知图中阴影部分表示的集合为B∩(∁RA)，再利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了Venn图表达集合的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由三角函数定义可知：csα=x x2+1=13x⇒x=±2 2，
又α是第二象限角，
故x=−2 2，
所以tanα=yx=− 24.
故选：B.
利用三角函数的定义先解得x，再求正切值即可．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：原式=33×23×2−lg44−3+2−2lg2−2lg5=9×2+3+2−2(lg2+lg5)=18+3+2−2=21.
故选：B.
利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=sin(x+512π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，可得y=sin(2x+5π12)的图象；
再将所得的函数图象向右平移π24个单位长度，得到函数g(x)=sin[2(x−π24)+5π12]=sin(2x+π3)的图象．
故g(π8)=sin(π4+π3)=sinπ4csπ3+csπ4sinπ3= 22×12+ 22× 32= 6+ 24.
故选：B.
由题意，利用图象的变换法则得出g(x)，再由和角公式求解即可．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：由cs(x−π3)>0，得−π2+2kπ解得−π6+2kπ∴f(x)的定义域为(−π6+2kπ,5π6+2kπ)(k∈Z).
由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递增区间，
即为函数y=cs(x−π3)在区间(−π6+2kπ,5π6+2kπ)(k∈Z)上的单调递减区间，
令2kπ∴f(x)的单调递增区间为(π3+2kπ,5π6+2kπ)(k∈Z).
故选：D.
利用复合函数的单调性，结合函数定义域，求单调递增区间．
本题考查复合函数的单调性，考查y=Acs(ωx+φ)型函数的图象与性质，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：∵c=lg50.3b=(tan22.5∘1−tan222.5∘)0.2=(12×2tan22.5∘1−tan222.5∘)0.2=(12×tan45∘)0.2=(12)15，
又0<(12)15<(12)0=1，所以0a=30.1>30=1，
因此：a>b>c.
故选：C.
由于a，b，c对应的函数表达式不同，故寻找中间量来比较大小，易得c<0，a>1，再利用二倍角公式对b的底数化简得到12，进一步利用指数函数性质得到0本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为f(x)为奇函数，且当x∈[0,1]时，f(x)=2x+b，
所以f(0)=1+b=0，解得：b=−1，即当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，
又因为f(x)的图象关于直线x=1对称，
所以f(x)=f(2−x)，且f(x)=−f(−x)
则f(x)=f(2−x)=−f(x−2)=−f[2−(x−2)]=−f(4−x)=f(x−4)，
即函数f(x)是以4为周期的周期函数，
故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1− 2.
故选：B.
先由奇函数条件可得b=−1，然后根据函数的对称性可知函数的周期为4，再利用函数的周期性和奇偶性计算即可．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(−π4)=1sinπ4+1csπ4=2 2，
又f(−π4+2π)=f(7π4)=1sin7π4+1cs7π4=0，
所以f(−π4)≠f(−π4+2π)，可得2π不是f(x)的一个周期，故①错误；
因为f(π2−x)=1sin|π2−x|+1cs(π2−x)=1csx+1sinx,x≥π2−1csx+1sinx,x<π2≠f(x)，
所以f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故②错；
因为f(x)=−1sinx+1csx=sinx−csx1−(sinx−csx)22=2(sinx−csx)1−(sinx−csx)2，x∈(−π2,0)，
令t=sinx−csx= 2( 22sinx− 22csx)= 2sin(x−π4)，
则x−π4∈(−3π4,−π4)，t∈[− 2,−1),
可得y=2t1−t2=21t−t，在t∈[− 2,−1)上单调递增，
所以无最大值，即函数f(x)在x∈(−π2,0)上无最大值，故③正确．
故选：B.
①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数f(x)在x∈(−π2,0)的最值情况．
本题考查了三角函数恒等变换以及三角函数性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，命题命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+m>0”，故A正确；
对于B，由a2≤a，得0≤a≤1，∴“a≤1“是“a2≤a”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，由x2−4x+3>0，得函数的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)，
由y=lg(x2−4x+4)的增区间为(3,+∞)，故C错误；
对于D，作出函数y=(12)x和y=lg13x的图象，
∵(12)13<(12)0=lg1313=1，
∴在(0,13)上，(12)x故选：ABD.
对于A，根据存在性命题否定的方法进行判定；对于B，先求解不等式a2≤a，再进行判断；对于C，求出函数的定义域，在定义域内利用对数函数、二次函数的单调性进行判断；对于D，结合图象可以进行判断．
本题考查命题真假的判断，考查存在性命题否定、不等式性质、函数的定义域、对数函数、二次函数的单调性、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由同角三角函数平分关系可得，
sinθ+csθ=−15sin2θ+cs2θ=1，因为θ∈(0,π)，所以sinθ>0，解得sinθ=35，csθ=−45，
因为csθ=−45<0，所以θ是第二象限角，故选项A，B正确，
有同角三角函数商数关系可得，tanθ=sinθcsθ=−34，故选项C错误，
因为4sinθcsθ−2cs2θ=4sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=4tanθ−2tan2θ+1=−165，故选项D正确．
故选：ABD.
利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项．
本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：由已知，函数f(x)满足T2=π4，所以函数f(x)的最小正周期为π2，所以选项A错误；
而T=π2=π|ω|，因为ω>0，所以ω=2，此时函数f(x)=tan(2x+φ)，
因为f(0)= 33，所以φ=π6+kπ(k∈Z)，
又0<φ<π2，所以φ=π6，故f(x)=tan(2x+π6)，
由2x+π6≠π2+kπ,k∈Z，得x≠π6+kπ2,k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x|x≠π6+kπ2,k∈Z}，所以选项B错误；
由2x+π6=kπ2(k∈Z)，x=−π12+kπ4(k∈Z)，
故f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π12,0)(k∈Z)，所以选项C正确；
由kπ−π2<2x+π6故f(x)的单调递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)，所以选项D正确，
故选：CD.
对于A，由题意可得T2=π4，从而可求出其最小正周期，对于B，由f(0)= 33可求出φ，从而可求出f(x)=tan(2x+π6)，由2x+π6≠π2+kπ,k∈Z可求出定义域，对于C，由2x+π6=kπ2(k∈Z)可求出对称中心的横坐标，对于D，由kπ−π2<2x+π6本题考查三角函数的据图求式问题，三角函数的图象与性质等，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：A选项，f(2)=2cs2π=2，A正确；
B选项，0≤x≤2时，2csπx>1，解得0≤x<13，或53x>2时，−lg2x+2>1，无解，所以不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2],B正确；
C选项，0≤x≤2时，f(x)∈[−2,2]，x>2时，f(x)单调递减，f(2)=1，f(x)∈(−∞,1)，若方程f(x)=m有3个实数根，则−2≤m<1，C错误；
D选项，因为存在实数a，b，c(a当−lg2x+2=−2时，x=16，故c的取值范围是2∴a+b+c+9c=2+c+9c≥2+2 c×9c=8，
当且仅当c=9c，即c=3时，等号成立，
∴a+b+c+9c的最小值为8，D正确．
故选：ABD.
根据分段函数的性质逐项求解即可．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
13.【答案】x=kπ2+π6(k∈Z)
【解析】解：令2x−π3=kπ，可得x=kπ2+π6(k∈Z)
故答案为：x=kπ2+π6(k∈Z).
令2x−π3=kπ，可得结论．
本题考查余弦函数的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．
14.【答案】2x+ln(1−x)
【解析】解：因为y=f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−ln(x+1)，
当x<0时，−x>0，
则f(−x)=−2x−ln(−x+1)=−f(x)，
则f(x)=2x+ln(1−x).
故答案为：2x+ln(1−x).
根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；
本题主要考查函数解析式的求解，属于基础试题．
15.【答案】(π6,11π6)
【解析】解：函数f(x)= x(2π−x)+ln( 3−2csx)有意义，
则需x(2π−x)≥0 3−2csx>0⇒x(2π−x)≥0csx< 32，
由x(2π−x)≥0⇒0≤x≤2π，
csx< 32⇒π6+2kπ则π6所以函数定义域为(π6,11π6).
故答案为：(π6,11π6).
利用已知条件，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答．
本题考查函数的定义域的求法，三角函数线的应用，是中档题．
16.【答案】1+2 24 {a|lg213≤a≤(13)13,或a≥1}
【解析】解：∵函数f(x)=lg13x,x>02x,x≤0，
∴f(lg2 22)+f[f(9)]=f(−12)+f(−2)=1+2 24，
若f(f(a))≤1，
则f(a)≤0，或f(a)≥13，
∴lg213≤a≤(13)13，或a≥1，
故答案为：1+2 24；{a|lg213≤a≤(13)13,或a≥1}.
根据分段函数的解析式代入求解即可；根据f(f(a))≤1，得到f(a)≤0，或f(a)≥13，进而求解结论．
本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，对数的运算性质，难度中档．
17.【答案】解：(1)f(θ)=sinθ⋅csθ(−csθ)⋅(−csθ)=tanθ，
所以f(8π3)=tan8π3=tan(2π+2π3)=tan2π3=− 3.
(2)因为f(θ)=tanθ=3，
所以2sin2θ−3sinθcsθ=2sin2θ−3sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tan2θ−3tanθtan2θ+1=2×32−3×332+1=910.
【解析】(1)利用诱导公式化简可得f(θ)=tanθ，再代入求值，即可；
(2)由(1)可得f(θ)=tanθ=3，再利用“同除余弦可化切”的思想，即可得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+π3)⋅sin(π3−ωx)=(12sinωx+ 32csωx)⋅( 32csωx−12sinωx)
=34cs2ωx−14sin2ωx=38(cs2ωx+1)−18(1−cs2ωx)=12cs2ωx+14，
因为f(x)的最小正周期为π，所以2π2ω=π，即ω=1，
所以f(x)=12cs2x+14，
由2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，可得kπ−π2≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π2,kπ]，k∈Z；
(2)由(1)知f(x)=12cs2x+14，
所以f(α−π8)=12cs(2a−π4)+14=1120，
所以cs(2α−π4)=35，
又π8<α<5π8，
所以0<2α−π4<π，
所以sin(2α−π4)=45，
所以cs2α=cs[(2α−π4)+π4]= 22cs(2α−π4)− 22sin(2α−π4)=− 210.
【解析】(1)化简f(x)的解析式，先求得ω，然后利用整体代入法求得f(x)的单调递增区间；
(2)利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)函数y=ax−1−2(a>0,且a≠1)过定点A(1,−1)，
函数f(x)=ln(x+m)−1，(m∈R)的图象过点A(1,−1)，
即−1=ln(m+1)−1，解得m=0，
函数f(x)的解析式为f(x)=lnx−1；
(Ⅱ)函数y=f(x)+ln(k−2x)=lnx+ln(k−2x)−1定义在[1,2]上，
由k−2x>0在[1,2]上恒成立，可得k>4，
令y=lnx+ln(k−2x)−1=ln(kx−2x2)−1=0，得2x2−kx+e=0，
设g(x)=2x2−kx+e，
函数y=f(x)+ln(k−2x)在[1,2]上恰有一个零点，
等价于g(x)在[1,2]上恰有一个零点，
函数g(x)=2x2−kx+e图象抛物线开口向上，对称轴x=k4>1，
若g(1)=2−k+e=0g(2)=8−2k+e<0，无解，不成立；
若g(1)⋅g(2)=(2−k+e)(8−2k+e)<0，解得2+e若k4≥2g(2)=8−2k+e=0，无解，不成立；
若g(1)=2−k+e<01所以实数k的取值范围为(2+e,4+e2].
【解析】(Ⅰ)把定点A代入函数f(x)的解析式求出m的值即可；
(Ⅱ)问题等价于g(x)在[1,2]上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可．
本题考查了指数函数、对数函数、二次函数的性质，考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可知，v=90r，
所以y=y0⋅e−190t，
当残留量为初始量的10%时，y0⋅e−190t=10%y0，
依题意得y0>0，
所以e−190t=110，
所以−190t=ln110=−ln10，即t=90ln10≈90×2.30=207，
即残留量为初始量的10%，大约需要207年；
(2)因为2年就可降解初始量的20%，
所以y0⋅e−rv×2=80%⋅y0，
即e−2rv=45，
所以−2rv=ln45，
所以−rv=12ln45，
所以y=y0⋅e12ln45⋅t，
令y=y0⋅e12ln45⋅t<10%⋅y0，得e12ln45⋅t<110，
所以12ln45⋅t所以t>2ln10ln54=ln100ln54=lg54100=lg100lg54=2lg5−lg4=21−3lg2≈21−3×0.301=20.6，
即残留量不足初始量的10%，至少需要21年．
【解析】(1)由题意可得e−190t=110，再利用指数式与对数式的互化，结合对数的运算性质求出t的值即可；
(2)依题意得e−2rv=45，进而可得−rv=12ln45，令y0⋅e12ln45⋅t<10%⋅y0，可得t>2ln10ln54，再利用换底公式结合对数的运算性质求出t的最小值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知条件，得A=2，
又T4=3，T=2πω，知ω=π6，
当x=−1时，有y=2sin(−π6+φ)=2，
所以φ=2π3，
故曲线段FGBC的函数表达式为：y=2sin(π6x+2π3)，x∈[−4,0]，
如图，OC=f(0)=2sin2π3= 3，CD=1，
所以OD= OC2+CD2= 3+1=2；
(2)因为∠COD=π6，
作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，OPsin120∘=OMsin(60∘−θ)，
从而OM=OP⋅sin(60∘−θ)sin120∘=4 3⋅sin(60∘−θ)=2csθ−2 33sinθ，
所以S平行四边形OMPQ=OM⋅PP1
=(2csθ−2 33sinθ)⋅2sinθ
=4sinθcsθ−4 33sin2θ
=2sin2θ+2 33cs2θ−2 33
=4 33sin(2θ+π6)−2 33，θ∈(0,π3)，
当2θ+π6=π2，即θ=π6时，平行四边形OMPQ面积最大，最大值为2 33.
【解析】(1)由题意可得A=2，T=12，代入点求φ的值，从而求解析式，由题意可求OC的值，进而利用勾股定理可求OD的值；
(2)作图求平行四边形的面积SOMPQ=OM⋅PP1=(2csθ−2 23sinθ)2sinθ=4 33sin(2θ+π6)−2 33，θ∈(0,π3)，从而求最值．
本题考查三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)y=lg[f(x)−2]=lg[x2−2(a+1)x+a2+3]，
因为函数y=lg[f(x)−2]的值域是R，
所以(0,+∞)是函数y=x2−2(a+1)x+a2+3的值域的子集，
所以4(a+1)2−4(a2+3)≥0，解得a≥1，
所以a的取值范围为[1,+∞)；
(2)H(x)在区间(0,+∞)内零点的个数，
即方程H(x)=0在区间(0,+∞)内实数根的个数，
当x则2πx−2πa=kπ，则x=a+k2,k∈Z，
因为x又x>0，所以a+k2>0，即k>−2a，
所以−2a当x≥a时，f(x)=x2−2(a+1)x+a2+5，对称轴为x=a+1>a，
而f(a)=5−2a，f(a+1)=−2a+4，
①，当f(a+1)=−2a+4>0，即1函数f(x)在[a,+∞)上无零点，
−2a∈(−4,−2)，
当−2a∈(−4,−3)，即a∈(32,2)时，
此时−2a故方程g(x)=0在(0,a)上有3个实数根，
所以当a∈(32,2)时，函数H(x)在(0,+∞)有3个零点；
当−2a∈[−3,−2),即a∈(1,32]时，
此时−2a故方程g(x)=0在(0,a)上有2个实数根，
所以当a∈(1,32]时，函数H(x)在(0,+∞)有2个零点；
②，当f(a+1)=−2a+4=0，即a=2时，
函数f(x)在[a,+∞)上只有1个零点，
此时−4故方程g(x)=0在(0,a)上有3个实数根，
所以当a=2时，函数H(x)在(0,+∞)有4个零点；
③，当f(a)=5−2a≥0f(a+1)=−2a+4<0，即2函数f(x)在[a,+∞)上有2个零点，
此时−2a∈[−5,−4),
此时−2a故方程g(x)=0在(0,a)上有4个实数根，
所以当2④，当f(a)=5−2a<0f(a+1)=−2a+4<0，即52函数f(x)在[a,+∞)上只有1个零点，
此时−2a∈(−6,−5)，
此时−2a故方程g(x)=0在(0,a)上有5个实数根，
所以当52综上所述，当a∈(2,3)时，函数H(x)在(0,+∞)有6个零点；
当a=2时，函数H(x)在(0,+∞)有4个零点；
当a∈(32,2)时，函数H(x)在(0,+∞)有3个零点；
当a∈(1,32]时，函数H(x)在(0,+∞)有2个零点．
【解析】(1)由题意可得(0,+∞)是函数y=x2−2(a+1)x+a2+3的值域的子集，进而可得出答案；
(2)先求出函数g(x)的零点，再根据二次函数的对称轴为x=a+1>a，分f(a+1)>0，f(a+1)=0，f(a+1)<0f(a)≥0和f(a)<0四种情况讨论即可得出答案．
本题考查函数的值域，函数的零点与方程根的问题，属于中档题．