2023-2024学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3}B. {1,2,3)C. {x|−1≤x≤4)D. {x|0≤x≤3}
2.已知函数f(x)=x+1,x≤1x−2,x>1，则f(f(2))=( )
A. 15B. −3C. 54D. 109
3.下列直线中，与函数y=tan(2x−π4)的图象不相交的是( )
A. x=π2B. y=π2C. x=3π8D. y=3π8
4.已知a=0.30.3,b=lg0.33,c=30.3，则( )
A. a5.函数f(x)=x3−lg12x−2的零点属于区间( )
A. (0,13)B. (13,12)C. (12,1)D. (1,2)
6.已知sinθ+csθ=15(0<θ<π)，则cs2θ=( )
A. ±2425B. −2425C. ±725D. −725
7.已知0A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|，下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)在区间(−π,−π2)上单调递减
C. f(x)在区间[−π,π]上有3个零点D. f(x)的最小值为−1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 命题“∀x>0，lnx≤x−1”的否定是“∃x>0，lnx≥x−1”
B. ∀x∈R，x2+x+1>0
C. “a>1”是“f(x)=x+ax在(1,+∞)上单调递增”的充要条件
D. 若a>0>b，则ab10.若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列结论中一定成立的是( )
A. cs(A+B)=−csCB. tan(B+C)=tanA
C. csA+C2=sinBD. sinB+C2=csA2
11.若m，n均为正数，且满足m+2n=2，则( )
A. mn的最大值为12B. 1m+1n的最小值为3+2 2
C. 2m+4n的最小值为4D. 2m+mn的最小值为1+2 2
12.已知实数x>0，y>0，满足lg2x−lg2y<(12)x−(12)y，则( )
A. 1x<1yB. x2C. lg(y−x+1)>0D. 2x−y<1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知lg0.8a>1，则实数a的取值范围为______.
14.已知幂函数y=(m2−2m−2)xm2−m−3在(0,+∞)单调递增，则实数m=______.
15.写出函数f(x)=2sinπx的一条对称轴方程：______.
16.把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比(简称黄金比).黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用.我们把顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比.由上述信息可求得sin18∘=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(1)2lg33+(e−π)0+(1258)13；
(2)sin8π3+tan(−5π4)+cs7π6.
18.(本小题12分)
已知A={x|x2−5x+4≤0}，B={x|m≤x≤m+2}.
(1)若m=0，求(∁RA)∪B；
(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
19.(本小题12分)
某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中y>x，其面积为3(x−y+15)平方米.
(1)求y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x−π6).
(1)若g(x)=f(π6−x)，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π4,0]时，函数y=2af(x)+b的最大值为1，最小值为−3，求实数a，b的值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2024x−a2024x+1为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(3)若f(m+5)+f(3m−m2)>0，求实数m的取值范围.
22.(本小题12分)
已知f(x)=2sinxsin(x+π3)+a，且f(π6)=1，
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g(x)的图象.若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π2]有两个不同的根，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3,4}，B={−1,0,1,2,3}，
则A∩B={0,1,2,3}.
故选：A.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=x+1,x≤1x−2,x>1，
∴f(2)=2−2=14，
∴f(f(2))=f(14)=14+1=54.
故选：C.
利用分段函数求解函数值即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意，令2x−π4=kπ+π2，解得x=kπ2+3π8，k∈Z；
当k=0时，x=3π8，
所以直线x=3π8与函数y=tan(2x−π4)的图象不相交．
故选：C.
根据正切函数的图象与性质，令2x−π4=kπ+π2，k∈Z；求解即可．
本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，
所以0<0.30.3<30.3，
又b=lg0.33<0，
所以b故选：B.
结合幂函数单调性比较a，c的大小及范围，结合对数函数单调性判断b的范围，即可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了幂函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵y=x3，y=−lg12x都是(0,+∞)上的增函数，
且f(1)=13−lg121−2=−1<0，
f(2)=23−lg122−2=7>0，
∴函数f(x)=x3−lg12x−2的零点属于区间(1,2).
故选：D.
判定函数的单调性，求出f(1)与f(2)的值，再由函数零点判定定理得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为sinθ+csθ=15(0<θ<π)，
两边同时平方得，sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ=1+sin2θ=125，
即sinθcsθ=−2425<0，
因为0<θ<π，sinθ>0，csθ<0，
所以sinθ=45，csθ=−35，
则cs2θ=2cs2θ−1=2×925−1=−725.
故选：D.
由已知结合同角平方关系先求出sinθ，csθ，然后结合二倍角公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：当0故选：C.
已知0本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数(对数)函数单调性的关系是解答本题的关键，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=sin|x|+|sinx|，其定义域为R，有f(−x)=f(x)，故函数为偶函数；故A错误；
对于B，在区间(−π,−π2)上，f(x)=−sinx−sinx=−2sinx，f(x)在区间(−π,−π2)上单调递增，B错误；
对于C，当x=0时，f(0)=0，f(π)=0，f(x)为偶函数，所以f(−π)=0，故函数f(x)在区间[−π,π]上有3个零点，故C正确；
对于D，对于C，当x>0时，f(x)=sinx+|sinx|，
此时f(x)=2sinx,x∈(2kπ,2kπ+π)0,[2kπ+π,2kπ+2π]，k∈N，
所以当x≥0时，f(x)≥0，根据函数是偶函数，f(x)≥0恒成立，即函数的最小值是0，故D错误．
故选：C.
根据题意，由三角函数、分段函数的性质分析选项，即可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及正弦函数的性质，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：命题“∀x>0，lnx≤x−1”的否定是“∃x>0，lnxx2+x+1=(x+12)2+34>0，
故∀x∈R，x2+x+1>0，故B正确；
当a<0，
则f(x)=x+ax在(1,+∞)上单调递增，故C错误；
a>0>b，
则ab<0，a2>0，
故ab故选：BD.
对于A，结合命题否定的定义，即可求解；对于B，结合配方法，即可求解；对于C，结合充要条件的定义，即可求解；对于D，结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为A+B+C=π，
A：cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，选项A正确；
B：tan(B+C)=tan[π−(A+B)]=−tanA，选项B错误；
C：csA+C2=cs(π2−B2)=sinB2，选项C错误；
D：sinB+C2=sin(π2−A2)=csA2，选项D正确．
故选：AD.
由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为m，n均为正数，且满足2=m+2n≥2 2mn，当且仅当m=2n，即m=1，n=12时取等号，
所以mn≤12，A正确；
1m+1n=m+2n2m+m+2n2n=32+nm+m2n≥32+2 nm⋅m2n=32+ 2，当且仅当m= 2n，即n=2− 2，m=2 2−2时取等号，B错误；
因为2m+4n≥2 2m⋅4n=2 2m+2n=4，当且仅当m=2n，即m=1，n=12时取等号，C正确；
2m+mn=m+2nm+mn=1+2nm+mn≥1+2 2nm⋅mn=1+2 2，当且仅当m= 2n，即n=2− 2，m=2 2−2时取等号，D正确．
故选：ACD.
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性及不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
令f(x)=lg2x−(12)x，则x>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，结合函数的单调性可得x，y的大小，然后结合不等式性质及函数单调性检验各选项即可判断．
【解答】
解：令f(x)=lg2x−(12)x，则x>0，
则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
由lg2x−lg2y<(12)x−(12)y可得lg2x−(12)x所以f(x)所以0故1x>1y，x2因为y−x+1>1，
所以lg(y−x+1)>0，C正确；
因为x−y<0，所以2x−y<1，D正确．
故选：BCD.
13.【答案】(0,0.8)
【解析】解：因为lg0.8a>1=lg0.80.8，
所以0故答案为：(0,0.8).
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了对数函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：幂函数y=(m2−2m−2)xm2−m−3在(0,+∞)单调递增，
则m2−2m−2=1m2−m−3>0，解得m=3.
故答案为：3.
根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
15.【答案】x=12，(答案不唯一)
【解析】解：令πx=kπ+π2，k∈Z，
则x=k+12，k∈Z.
故答案为：x=12，(答案不唯一).
由已知结合正弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题．
16.【答案】 5−14
【解析】解：由题意，设△ABC为A=36∘的黄金三角形，则有b=c，
根据黄金三角形的性质可得ab= 5−12，
所以cs36∘=b2+c2−a22bc= 5+14，
因为sin218∘=12(1−cs36∘)=3− 58=( 5−1)216，
则sin18∘= 5−14.
故答案为： 5−14.
由题意，设△ABC为A=36∘的黄金三角形，根据黄金三角形的性质结合余弦定理即可求出cs36∘，从而得到sin18∘的值．
本题考查三角函数求值，二倍角公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=2+1+(52)3×13=2+1+52=112；
(2)原式=sin(3π−π3)+tan(−π−π4)+cs(π+π6)=sinπ3−tanπ4−csπ6= 32−1− 32=−1.
【解析】(1)根据指数幂的运算性质求解即可；
(2)根据三角函数诱导公式求解即可．
本题主要考查指数的运算性质，三角函数诱导公式的运用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)A={x|x2−5x+4≤0}={x|1≤x≤4}，
当m=0时，B={x|m≤x≤m+2}={x|0≤x≤2}，
所以∁RA={x|x>4或x<1}，
(∁RA)∪B={x|x≤2或x>4}；
(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B⫋A，
所以m≥1m+2≤4(两等号不能同时取得)，
解得，1≤m≤2，
故实数m的取值范围为[1,2].
【解析】(1)分别求出集合A，B，然后结合集合的补集及并集运算即可求解；
(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B⫋A，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：xy=3(x−y+15)，即(x+3)y=3(x+15)，
所以y=3(x+15)x+3=3+36x+3，
其中y>x>0，
∴3+36x+3>x，
解得0即f(x)=3+36x+3(0(2)展牌的周长即2x+2y=2x+6+72x+3=2(x+3)+72x+3≥2 2(x+3)⋅72x+3=24，
当且仅当2(x+3)=72x+3，即x=3时，等号成立，此时y=9，
所以设计展牌的长为9和宽为3，才能使展牌的周长最小，最小值为24.
【解析】(1)根据矩形面积公式即可求解；
(2)利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=sin(2x−π6)，
所以f(π6−x)=sin(π3−2x−π6)=−sin(2x−π6)，
令π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+3π2，(k∈Z)，
整理得：π3+kπ≤x≤kπ+5π6，(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为：[π3+kπ,kπ+5π6]，(k∈Z).
(2)由于x∈[−π4,0]，故2x−π6∈[−2π3,−π6]，
所以sin(2x−π6)∈[−1,−12]，
当a>0时，函数y=2af(x)+b的最大值为−12⋅2a+b=1，最小值为−2a+b=−3，
故−12⋅2a+b=1−2a+b=−3，解得a=4b=5；
当a<0时，函数y=2af(x)+b的最大值为−2a+b=1，最小值为−12⋅2a+b=−3；
故−12⋅2a+b=−3−2a+b=1，解得a=−4b=−7.
故当a>0时，a=4，b=5；当a<0时，a=−4，b=−7.
【解析】(1)直接利用函数的关系的变换求出函数g(x)的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间；
(2)利用分类讨论思想的应用，根据函数的定义域求出函数的值域，进一步建立方程组求出a和b的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换正弦型函数的性质，函数的定义域和值域的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=2024x−a2024x+1的定义域为R，又f(x)为奇函数，
所以f(0)=1−a2=0，即a=1，
经检验a=1符合题意；
(2)由(1)得，f(x)=2024x−12024x+1=1−22024x+1在R上单调递增，证明如下：
任取x1所以2024x1−2024x2<0，1+2024x1>0，1+2024x2>0，
则f(x1)−f(x2)=21+2024x2−21+2024x1=2(2024x1−2024x2)(1+2024x1)(+2024x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在R上单调递增；
(3)若f(m+5)+f(3m−m2)>0，则f(m+5)>−f(3m−m2)=f(m2−3m)，
所以m+5>m2−3m，
解得，−1故m的范围为(−1,5).
【解析】本题主要考查了奇函数性质的应用，函数单调性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
(1)由已知结合奇函数的性质即可求解；
(2)任取x1(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=2sinxsin(x+π3)+a，且f(π6)=1，
所以2×12×1+a=1，
所以a=0，
f(x)=2sinxsin(x+π3)=2sinx(12sinx+ 32csx)=sin2x+ 3sinxcsx=1−cs2x2+ 32sin2x=sin(2x−π6)+12，
故T=2π2=π；
(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g(x)=sin(2x+π6)，
若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π2]有两个不同的根，
即m=g(x)在x∈[0,π2]有两个不同的交点，
作出函数y=g(x)的图象，如图所示，结合函数图象可知，12≤m<1，
故m的范围为[12,1).
【解析】(1)先把x=π6代入可求a，然后结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，结合周期公式即可求解；
(2)结合函数图象的变换求出g(x)，然后结合正弦函数的图象及性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了三角函数的变换，正弦函数的性质的应用，属于中档题．