最新高考数学解题方法模板50讲 专题27 应用基本不等式求最值的求解策略

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模
板
50
讲
专题27 应用基本不等式求最值的求解策略
【高考地位】
基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。
方法一 凑项法
例1 已知，求函数的最大值。
【答案】.
【解析】第一步，根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件：
因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，
所以对要进行拆、凑项，，
所以，
第二步，使用基本不等式对其进行求解即可：
所以，
当且仅当，即时，上式等号成立，
第三步，得出结论：
故当时，。
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
【变式演练1】【河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（文科）第三次质检】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由正弦定理得，则有，利用基本不等式求出的最大值，即可得的周长的最大值.
【详解】
，
由正弦定理得，
所以，
又，得，当且仅当时等号成立，
所以的周长的最大值是.
故选：A
【变式演练2】设，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】重庆市第七中学2022届高三上学期第一次月考数学试题
【答案】B
【分析】
将所求代数式变形为，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
因为且，，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：B.
【变式演练3】【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟】若函数的最大值为，正数，满足，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】
先化，得出其最大值，推出，再与所求式子相乘，展开后利用基本不等式，即可求出最值.
【详解】
因为，所以其最大值，即，
又，为正数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
方法二 分离法
例2 求的值域。
【答案】详见解析.
【解析】第一步，首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式：
因为，
第二步，把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式：
所以，
第三步，将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果：
所以
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
【变式演练4】若实数x，y满足，且，则的最小值是_________.
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一）数学试题
【答案】4
【分析】
将变形为，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
解：，满足，且，
则，当且仅当且，即，时取等号，
此时的最小值4．
故答案为：4．

方法三 函数法
例3 求函数的值域。
【答案】详见解析.
【解析】第一步，运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式：
令，则，
第二步，运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可：
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性，
第三步，结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可：
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，
第四步 得出结论.
故，所以函数的值域为。
【变式演练5】下列函数中，最小值为4的是（ ）
A．
B．（）
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，故选C.
考点：基本不等式．
【变式演练6】【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】函数的值域为（ ）
A．(-∞，-2]B．[2，+∞)
C．(-∞，-2] [2，+∞)D．[-2，2]
【答案】C
【分析】
利用基本不等式可求该函数的值域.
【详解】
当时，，
当时，，
所以函数的值域为，，故选：C．
【高考再现】
1．（2020全国3文12）已知函数，则( )
A． 的最小值为2B． 的图像关于轴对称
C． 的图像关于直线对称D． 的图像关于直线对称
【答案】D【解析】由题意得．对于A，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以A错误．对于B，，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，，，则，的图象不关于直线对称，所以C错误．对于D，，，所以，的图象关于直线对称，所以D正确．故选D．
2．（2020上海13）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确，故选B．
3. 【2018年江苏卷】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°，化简得ac=a+c,1a+1c=1，因此4a+c=(4a+c)(1a+1c)=5+ca+4ac≥5+2ca⋅4ac=9,
当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
4. 【2015高考湖南，文7】若实数满足，则的最小值为( )
A、 B、2 C、2 D、4
【答案】C
【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.
【考点定位】基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
5. 【2015高考福建，文5】若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【考点定位】基本不等式．
【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．
6. 【2018年天津卷】已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为_____________.
【答案】14
【解析】
【分析】
由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
【详解】
由a−3b+6=0可知a−3b=−6，
且：2a+18b=2a+2−3b，因为对于任意x，2x>0恒成立，
结合均值不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×2a×2−3b=2×2−6=14.
当且仅当2a=2−3ba−3b=6，即a=−3b=1时等号成立.
综上可得2a+18b的最小值为14.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
7. 【2015高考天津，文12】已知 则当a的值为 时取得最大值.
【答案】4
【解析】当时取等号,结合可得
【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.
8. 【2018年天津卷】已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+18b的最小值为__________．
【答案】14
【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
详解：由a−3b+6=0可知a−3b=−6，
且：2a+18b=2a+2−3b，因为对于任意x，2x>0恒成立，
结合均值不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×2a×2−3b=2×2−6=14.
当且仅当2a=2−3ba−3b=6，即a=3b=−1时等号成立.
综上可得2a+18b的最小值为14.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
【反馈练习】
1．【贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考】已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为是双曲线的半焦距，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：C.
2．【浙江省东阳中学2021届高三暑期第三次检测】已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
结合条件根据双曲线的定义求解出的长度，在中利用余弦定理求解出之间的关系，最后利用基本不等式求解出的最小值.
【详解】
由双曲线定义知，又，故
由双曲线定义知，得，
在中，，
由余弦定理得即，
，
，当且仅当即时取等号.
故选：D.
3．【云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测】若a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【分析】
由于，故展开利用基本不等式求解即可得答案.
【详解】
解：因为a，b为正实数，
所以
，
当且仅当时，即时，“=”成立.
故选：A.
4．【广西来宾市2020届高三4月教学质量诊断性联合考试】设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，的关系式，再由基本不等式可得所求最小值．
【详解】
解：函数的导数为，
可得函数的图象在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，可得，，
则，
当且仅当即时，取得等号，
则的最小值为，
故选：．
5．【安徽省宿州市泗县第一中学2020届高三下学期最后一卷】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6B．12C．18D．36
【答案】C
【分析】
由，得到，然后利用“1”的代换，将转化为利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，当且仅当，时取等号，故选：C.
6．【2020年普通高校招生全国统一考试猜题密卷B卷】已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．9D．12
【答案】B
【分析】
由，则,,再换元法利用函数导数研究函数最值得到或利用基本不等式推广运用求最值得解.
【详解】
法一，
令，设，则，
令，解得；令，解得．
所以当时，取得最小值，为12，
即当，时，取最小值，为，
法二
当且仅当即当，时，取最小值，为，
故选：B．
7．【湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考】已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．13
【答案】C
【分析】
先判断是上的奇函数，可得，再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】
因为，
所以，
可得：是上的奇函数，
因为，
所以，
所以，
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C
8．已知，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．7D．
【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三）
【答案】C
【分析】
由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
∵，
∴当且仅当时等号成立.
故选：C
9．（多选）若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（ ）
A．B．3C．4D．
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（二）
【答案】CD
【分析】
由条件化简得，则，根据不等式的最小值，判断满足的选项即可.
【详解】
由xy﹣2x＝y，知，
则
当且仅当，时，等号成立，
从选项可知，CD满足条件，
故选：CD
10.【广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测】直线过函数图象的对称中心，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
可得函数图象的对称中心为，即可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】
函数的图象可由向右平移1个单位，再向上1个单位得到，
又是奇函数，故其对称中心为，故的对称中心为，
所以，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
11．【河南省信阳市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测】若且，则的最小值为______________
【答案】
【解析】
因为，所以 ；因为，所以 ，即
因此
当且仅当 时取等号
12．【天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考】已知，则的最大值是____________.
【答案】
【分析】
先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值.
【详解】
，设，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函数在上单调递增)
故答案为：
【点睛】
(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法；(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设，换元一定要注意新元的范围.
13．【宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试】已知是奇函数并且是R上的单调函数,若函数只有一个零点,则函数的最小值为________.
【答案】5
【分析】
根据是奇函数并且是R上的单调函数,求解中的值,再利用基本不等式求解的最小值即可.
【详解】
由题, 只有一个零点,故,又是奇函数并且是R上的单调函数,
故,仅有一个零点.
故.
又,故,当且仅当时取得等号.
故答案为：5
14．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】的内角的对边分别为，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为___________.
【答案】
【分析】
根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得，结合同角三角函数关系式求得，代入余弦定理表示出，代入中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时关系，进而求得的值.
【详解】
由正弦定理将变形可得
，
即，
由可得，
而是锐角，所以，
则由余弦定理可得，
则，
当且仅当时，取得最小值，
故，故，
所以.
故答案为:
15．【江苏省南京市秦淮中学2020届高三下学期最后一练】正数，，满足，的最小值为______．
【答案】
【分析】
由可得，则，利用基本不等式可求得最值.
【详解】
正数，，满足，即，
即（当且仅当时取等号），
，
当且仅当时取等号.
故答案为：
16．【2020届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期第二次调研】若，则的最小值是______.
【答案】8
【分析】
根据，利用基本不等式可求得函数最值.
【详解】
，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值.
故答案为：
17．【河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校2020-2021学年高三10月联考】若,,则的最小值为__________.
【答案】8
【分析】
对原式化简，可得，再根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为
又，，所以，
所以;
当且仅当时 ，即时取等号.
故答案为：.
18．已知，且满足，则的最小值为________．
【来源】江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期网课质量检测数学试题
【答案】
【分析】
由已知条件可知，且，由展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，
所以
，
当且仅当 即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
19．若，，则的最小值为___________.
【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题
【答案】
【分析】
根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.
【详解】
因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.
故答案为:
20．已知正实数x，y满足，则的最小值为_________．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题
【答案】
【分析】
由已知条件得，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由可得，且，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
21．若实数、满足，则的最小值为___________.
【来源】浙江省宁波中学2021届高三下学期适应性考试数学试题
【答案】
【分析】
本题可根据得出，然后将转化为，最后根据基本不等式即可得出结果.
【详解】
，即，
则
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为，
故答案为：.
22．已知正实数满足，则的最小值是________．
【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（浙江专用）
【答案】
【分析】
先由题中条件，得到，，再由，利用基本不等式，即可直接求出最小值.
【详解】
由已知得，，则，，
因为，所以，，
因此，
当且仅当，即，即时，等号成立；
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
23．已知正数，满足，则的最大值为______．
【来源】浙江省宁波市效实中学2021届高三下学期高考模拟测试数学试题
【答案】
【分析】
由条件得，进而得，由基本不等式可得解.
【详解】
由，得，
由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元，进而可利于基本不等式求最值.
24．【福建省福州市2021届高三数学10月调研】△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求BC边上的高的长；
（2）求的最大值．
【答案】（1）； （2）．
【分析】
（1）由条件结合正弦定理可得，然后可得答案；
（2）设，，则，然后可得，然后可利用基本不等式求出最值.
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得
即
因为，所以，所以
所以
又因为，所以
（2）设，，则
①当，或时，
②当时，，
此时
因为，所以
所以，当且仅当时等号成立
所以当时，取得最大值
综上，的最大值为
25．【河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试】佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【分析】
（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】
（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】
本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.

万能模板
内 容
使用场景
某一类函数的最值问题
解题模板
第一步 根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二
定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；
第二步 使用基本不等式对其进行求解即可；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
某一类函数的最值问题
解题模板
第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；
第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得
出所求的结果.
万能模板
内 容
使用场景
在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况
解题模板
第一步 运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
第二步 运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；
第三步 结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；
第四步 得出结论.