最新高考数学解题方法模板50讲 专题16 三角函数的图象和性

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高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%。
无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险！也只有“三基”过关，才有能力去做难题。
二、建构知识网络
数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。
三、注重通性通法
近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途径多、方法活、注重发散思维的考查。在复习中千万不要过多“玩技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信心尽失”。
四、提高运算能力
运算能力是最基础的能力。由于高三复习时间紧、任务重，老师和学生都不重视运算能力的培养，一个问题，看一看知道怎样解就行了。这是我们高三学生运算能力差的直接原因。其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生考试成绩的好坏起到至关重要的作用。因此，运算能力要进一步加强，让学生自己体悟运算的重要性和书写的规范性。同时，在运算中不断地反思自己解题过程的合理性，转化的等价性等等。
专题16 三角函数的图象和性质问题
【高考地位】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合
的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.[来源
:学类型一 求三角函数的单调区间
例1 设向量， .
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的单调递减区间.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】（1）.
故函数的最小正周期为.
第一步，先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负：
由题意可得：
第二步，利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间：
所以
第三步，运用三角函数的图象与性质确定其单调区间：

令，
求得，
故函数的减区间为.
再根据，可得函数的减区间为.
【点评】（1）由题设，根据向量数量积的坐标运算可得函数，因此函数的最小正周期为；（2）由正函数的单调递减区间为，由（1）可令（），从而可得所求函数在区间上的单调递减区间为.
【变式演练1】【上海市虹口区2021届高三上学期一模】已知函数(，)的图象与直线()的三个相邻交点的横坐标依次是1､2､4，下列区间是函数单调递增区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据正弦函数的性质与已知的三个交点的横坐标得函数的对称轴与周期，从而可判断各选项．
【详解】
∵，∴和是函数图象的两条相邻的对称轴，是最大值，是最小值，这样最小正周期是，
∴在上递减，在上递增．
故选：D．
【变式演练2】【河南省信阳市2021届高三（10月份）第一次质检数学（理科）】已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】
通过条件可得，，结合，可求出，即可得，令，求出的范围即为函数的单调递增区间.
【详解】
解：由已知，得，，
又，，
，即，，
，①；
又，
所得图象关于轴对称，，
，，将①代入消去得，，
，
时，，
，
，
令，，
，，
故选：D.
类型二 由的图象求其函数式
例2已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 第一步，观察所给的图象及其图象特征如振幅、周期、与轴交点坐标等：
由题意知， ，所以，所以，
第二步，利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个：
所以，所以，
解得
第三步，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数：
因为，所以，
第四步，得出结论：
所以，故选A.
【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图象与轴的交点坐标可得其周期为，进而可得的大小；然后观察图象知其振幅的大小，即得到函数的解析式；最后将图象与轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小，进而可以求解.
【变式演练3】【江西省南昌市师大附中2021届高三数学（文科）模拟】如图，已知函数的部分图象与x轴的一个交点为，与y轴的交点为那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据， 在图象上，利用余弦函数的图象和性质求得的解析式，可得的值．
【详解】
因为， 在图象上，所以，，
结合，，可得，
，即，
，，
，
故选：D．
【变式演练4】已知函数的部分图象如下图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由图可求出函数的周期，再由周期公式求出的值，然后将点代入函数关系式中可求出的值
【详解】
设函数的最小正周期为，则由题可得，
即，所以，所以，，
即，，因为，所以．
故选:D．
【变式演练5】函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象
【来源】四川省宜宾市2021届高三三模数学（文）试题
【答案】C
【分析】
首先根据函数图象求得函数，根据函数性质判断选项即可.
【详解】
解：根据的图象，结合五点法作图可得，
∴，故.
故它的周期为，故A错误；
令，求得，故B错误；
令，求得，为最大值，故C正确；
将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，故D错误，
故选：C.
【点睛】
求三角函数的解析式时，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
【变式演练6】函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【来源】天津市南大奥宇学校2021届高三下学期高考模拟数学试题
【答案】C
【分析】对①，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对②，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对④，根据的值是否为,即可判断.
【详解】
解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数，
若求函数的单调递增区间，则令，；
若求函数的单调递减区间，则令，；
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
【变式演练7】已知函数的图象如图所示，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月文科数学调研试题
【答案】A
【分析】
利用函数的奇偶性可排除D选项；再令，根据的符号即可判断其他选项，从而得出答案.
【详解】
解：图象关于原点对称，
对于A，，则函数为奇函数，
又，则A符合题意；
对于B，，则函数为奇函数，
又，则B不符合题意；
对于C，，，则函数为奇函数，，故C不符合题意；
对于D，是偶函数，故排除D.
故选：A．
类型三 求三角函数的周期
例3 若函数 QUOTE 在 QUOTE 上的图象与直线 QUOTE 恰有两个交点.则 QUOTE 的取值范围是（ ）
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【答案】A
【解析】第一步，利用恒等变换将其化成“、”的形式：
因为fx=2sinωxω>0
第二步，运用周期的计算公式直接计算可得所求：
由题意可知， QUOTE 在 QUOTE 存在两个最大值，
第三步，得出结论：
所以 QUOTE ，所以 QUOTE ，故选A。
【点评】三角函数的图象问题利用图象辅助解题，由题意可知，在 QUOTE 存在两个最大值，则在图象上得到第二个最大值 QUOTE 和第三个最大值 QUOTE ，因为在 QUOTE 恰有两个最大值，则得到 QUOTE ，解得答案。
【变式演练8】【广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学文科10月份考试】已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】
先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，即可得到最大值，利用周期公式 求周期；
【详解】
由题

∴最大值为4 ，．
故选B.
【变式演练9】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的周期
B．函数在上的最大值为2
C．函数在上单调递减
D．方程在上的所有实根之和为
【来源】山东省烟台教科院2021届高三三模数学试题
【答案】D
【分析】
根据已知结合奇函数性质可得不是函数的周期，且是函数的周期，根据和的单调性可判断的单调性，再结合奇函数的性质和周期性可求最大值，根据函数的对称性可求得方程在上的所有实根之和.
【详解】
是上的奇函数，，，故不是函数的周期，且，故是函数的周期，故A错误；
当时，且单调递增，且单调递减，则单调递增，故C错误；
当时，且单调递减，且单调递增，则单调递减；
且，又是奇函数且周期为，，故B错误；
由可得关于对称，方程的根等价于与的交点的横坐标，根据的单调性和周期可得，与在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，所以方程在上的所有实根之和为，故D正确.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是判断出是函数的周期且在单调递增，在单调递减，且关于对称.
【变式演练10】已知函数（，），，，在内有相邻两个最值点，且最小值点距离轴近，则的最小正整数值为（ ）
A．5B．7C．9D．10
【来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟数学（文）试题
【答案】C
【分析】
由结合已知条件可得，由可求出，再由，可知，结合，可求出，从而可选出正确答案.
【详解】
解析：因为，结合已知，知（），
又因为，所以，所以．
因为，所以，，
解得，．又因为，可得，
所以当时，的最小正整数值为9．
故选:C.
【点睛】
关键点睛:
本题的关键是结合已知条件得出函数的周期以及，再结合得.
【变式演练11】已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）中，锐角满足，，，求的值.
【答案】（1） 的最小正周期为；单调增区间为；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得，由可求该函数的最小正周期，由可求函数的单调递增区间；（2）由先求出角，再利用正弦定理即可求.
试题解析： （1）
∴函数的最小正周期为.
由得：
∴函数的单调增区间为
（2）由题意知，，
又为锐角，∴，∴，
由余弦定理得，∴.
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.余弦定理.
【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理，属中档题；利用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是解题的基础.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
2．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3．（2021·全国高考真题（理））把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是的变换，图象向左平移个单位，对应替换成,图象向右平移a个单位，对应x替换成,牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍，对应解析式中替换成.
4．（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
5．（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数7】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解．
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，∴，解得：，∴函数的最小正周期为，故选C．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是三角函数图象对称性的应用．
7.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则（ ）
A．的最小值为 B．的图象关于轴对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C，D．
【解析】可以为负，所以A错；关于原点对称；
故B错；关于直线对称，故C错，D对，故选：D．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．
8.【2020年高考天津卷8】已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．
【解析】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确．故选B．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图象变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．
9.【2020年高考浙江卷4】函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．

【答案】A
【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．
【解析】，，
∴函数是奇函数，故排除C，D，当时，，∴排除B，故选A．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图象的识别，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数图象及其性质，结合特殊值法解决问题．
【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
10.【2020年高考山东卷10】右图是函数的部分图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【思路导引】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．
【解析】由函数图象可知：，则，所以不选A，
当时，，解得：，
即函数的解析式为：，
而，故选：BC．
【专家解读】本题的特点是注重三角函数图象的应用，本题考查了三角函数图象及其性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是正确确定的值．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ．
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
11.【2020年高考全国Ⅲ卷理数16】关于函数．
= 1 \* GB3 ①的图象关于轴对称； = 2 \* GB3 ②的图象关于原点对称；
= 3 \* GB3 ③的图象关于对称； = 4 \* GB3 ④的最小值为．其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【思路导引】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误．综合可得出结论．
【解析】对于命题①，，，则，
∴函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
∴函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
∴函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误，故答案为：②③．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图象变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．
12.【2020年高考江苏卷10】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
【答案】
【解析】∵，将函数的图象向右平移个单位长度得，则的对称轴为，，即，，时，，时，，∴平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图象变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．
【反馈练习】
1．【贵州省安顺市2021届全市高三年级第一次教学质量监测统一考试理】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值．
【详解】
函数，
将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，
因为函数是偶函数，
．
当时，．
故选：A
【点睛】
结论点睛：函数是偶函数时，当函数是奇函数时，
2．【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（理）】已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为.
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【分析】
利用时，，得到和，求得的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.
【详解】
因为，所以，又，
所以或，因为，
所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，
所以；
令()，得()，
所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；
，向右平移单位长度得，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到必然同时为最大值点或同时为最小值点，从而求得函数的周期，得到的值.对于的对称轴可将看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将按照“左加右减”口诀代换得到.
3．【云南省昆明市官渡区2021届高三上学期两校联考】已知函数在同一周期内有最高点和最低点，则此函数在的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意，先求出和，然后求出和，然后，利用三角函数的性质求解值域即可
【详解】
由题意知，，
解得A＝2，b＝﹣1；
又，且，
∴解得ω＝2，φ；
∴函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，又，所以，所以，所以，
故选：A
4．【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】函数的部分图象如图所示，为函数的图象与轴的交点，为函数的图象与轴的一个交点，且.若函数的图象与直线在内的两个交点的坐标分别为和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题图易得，为直角三角形，则结合匀股定理可得点的坐标，将点的坐标代入解析式求得的值，然后根据“五点作图法”求得的值，进而得到的解析式，最后利用图象的对称性求得，即可得解，
【详解】
由题图可知，为直角三角形，且，所以，，则，即，又，所以，所以.因为点为“五点作图法”中的第三个点，所以，所以，于是.由，得，所以函数的图象在内的一条对称轴为直线，则由题意知，所以
故选B
5．【云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：
①该函数的解析式为；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在区间上单调递增；
④该函数在区间上单调递增.
其中，正确判断的序号是（ ）
A．②③B．①②C．②④D．③④
【答案】A
【分析】
根据函数平移变换得，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案.
【详解】
解：由函数的图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后
解析式为，选项①错误；
令，，求得，，
故函数的图象关于点对称，
令，故函数的图象关于点对称，选项②正确；
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递增区间为，选项③正确，④错误.
故选:A.
【点睛】
本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当时，须将提出，平移只针对进行平移，具体的在本题中，的图象向右平移个单位长度之后得，而不是，是中档题.
6．【江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考理】将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先根据图象平移得到，由所得函数值域，结合已知有，可得或，即可求的最大值.
【详解】
由题意知：且，
∵，则，又
∴，解得或，
∴当时，有最大值，
故选：D
7．【北京市2020届高三数学高考考前冲刺模拟】将函数的图象向右平移个单位后，关于轴对称，则的可取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求得图象向右平移个单位后的函数解析式，根据其对称性列方程，从而求得的可取值.
【详解】
函数的图象向右平移个单位后得到
，
的图象关于轴对称，
所以（），
当时，.
故选：C
8．【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】若函数，则此函数的图象的对称中心为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
利用同角三角函数的基本关系以及二倍角余弦公式将函数化为，再利用正弦函数的对称轴可得，，求解即可.
【详解】
解：


，
令，，可得，，
故此函数的图象的对称中心为，．
故选：．
9．【湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月份）】设函数在上单调递减，则下述三个结论：
①在上的最大值为，最小值为；
②在上有且仅有4个零点；
③关于轴对称；
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】
本题首先可以通过函数在上单调递减得出函数的解析式为，然后根据函数解析式判断出函数在区间上的最值、在区间上的零点以及对称轴即可得出结果.
【详解】
因为函数在上单调递减，
所以，，，
因为，所以或．
因为当时，在上不单调，
所以，，
当时，，
当时取最大值，最大值为，
当时取最小值，最大值为，故①正确，
当时，，
当取、、、时，函数，故②正确，
函数的对称轴为，
即，故③错误，
故选：A.
10．【黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数，，，若的最小值，且的图象关于点对称，则函数的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据，可得，，根据，可得，，可得，所以，所以，根据的图象关于点对称，可得，再求出函数的所有对称轴，从而可得答案.
【详解】
因为，所以，所以，，
因为，所以，所以，，
所以，，，
所以，当且仅当或时，等号成立，
因为，所以，所以，所以.
又的图象关于点对称，所以，，
所以，，
因为，所以，
所以，
由，，
得，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以函数的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为.
故选：C.
11．已知且为整数，且，函数的图象如图所示，A、C，D是的图象与相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间上，有2020个零点，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月文科数学调研试题
【答案】C
【分析】
由求得的范围，由求得，再利用求得，得周期，结合周期可得最大值．
【详解】
由题意则为，则有，进而，
又或，因为大于0小于3，所以等于2，与，得：，则，
相邻2个零点的距离有两种和，则当为1010个与1011个的和时最大为．
故选：C．
12．已知函数的图象经过点，则下列命题是真命题的是（ ）
A．函数在上单调递增.
B．函数的图象的一个对称中心是.
C．是函数的一个周期.
D．函数的图象的对称轴方程为（）.
【来源】云南省曲靖市2021届高三二模数学（文）试题
【答案】C
【分析】
首先求出函数的解析式，然后利用正弦型函数的性质分别判断、、、选项即可得答案．
【详解】
解：因为函数的图象经过点，所以，
又，所以，故.
对于：因为在上单调递增，而时，不是的子区间，故错误；
对于：当时，，故错误；
对于：函数的最小正周期为，所以为函数的周期，故正确；
对于：令，解得，故错误．
故选：C．
13．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】解密06 三角函数的图象与性质（讲义）-【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义 分层训练
【答案】B
【分析】
根据对恒成立，结合函数最值的定义，易得等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，可得到答案．
【详解】
若对恒成立，则等于函数的最大值或最小值，
即，则，
∵，即，令，此时，满足条件，
令，，解得，．
故选B．
14．已知在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）数学（文）试题
【答案】A
【分析】
首先把函数的关系式利用辅助角公式变形成正弦型函数，进一步利用正弦函数的单调性即可求出结果.
【详解】
函数，
令，
解得:，
∵函数在上是增函数，
所以，
而的值只能取0，得，即的最大值是，
故选：A.
15．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】甘肃省民乐县第一中学2021届高三押题卷（二）数学（理）试题
【答案】D
【分析】
求出函数的增区间，然后由已知得出的一个范围，然后由再由方程在区间上有且仅有一解，结合正弦函数的最大值点求得的另一个范围，两者结合可得结论．
【详解】
因为，令，，
即，，
所以函数的单调递增区间为，，
又因为函数在上单调递增，
所以，得，且，
又因为，
所以，又在区间上有唯一的实数解，
所以，且，可得.
综上，．
故选：D.
16．已知函数，若函数在上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】文科数学-2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅲ卷）
【答案】A
【分析】
由可求得的取值范围，结合图象可得关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
设，由，可得，
因为函数在上有且仅有个零点和个最大值点，
所以函数在上有且仅有个零点和个最大值点，
如图，由图可知，解得，所以的取值范围为，
故选：A．
17．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题
【答案】B
【分析】
由题知，，函数单增应满足，解得参数范围即可.
【详解】
由知，，在区间上单增，应满足：
，，解得
又，易知k只能取0，
解得
故选：B
18．已知函数，现有下列四个结论：
①函数的一个周期为；
②函数在上单调递增；
③直线是函数图象的一条对称轴；
④函数的值域为.
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①③C．①③④D．②④
【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题
【答案】C
【分析】
，所以①正确；，所以②不正确；令，当，即时，分析判断得解.
【详解】
，所以①正确；
因为，所以②不正确；
令，当，即时，
，由①知是函数的一个周期，
所以，，所以③④正确.
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是判断③④，其关键是令，，即，刚好是函数的一个周期.
19.【四川省遂宁市2021届高三零诊考试】已知向量，，设函数，．则下列对函数和的描述正确的命题有_____（请写出全部正确命题的序号）
①的最大值为3．
②在上是增函数
③的图象关于点对称
④在上存在唯一极小值点，且
【答案】①②④
【分析】
先由已知条件求出的解析式，然后利用三角函数的图象和性质进行判断①②③即可，由的解析式求出，从而可得，再利用导数判断函数的极值点
【详解】
解：因为向量，，
所以
，
所以当时，取最大值3，所以①正确；
由，得，
当时，的递增区间为，
因为，
所以在上是增函数，所以②正确；
由，得，
所以图象的对称中心为，所以③错误；
因为
所以，，
则，恒成立，
所以 在上单调递增，
因为，
所以在存在唯一的极值点，则使，
即，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
即，所以④正确
20.【云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三第一次大联考】已知函数，关于函数有下列命题：
①；②的图象关于点对称；
③是周期为的奇函数；④的图象关于直线对称.
其中正确的有______.（填写所有你认为正确命题的序号）
【答案】①④
【分析】
①计算出的值来判断；②④利用的值来判断；③利用三角函数的周期性和奇偶性来判断.
【详解】
，①正确；
，
又，
即，∴②错误，④正确；
，∴为奇函数，
又，∴③错误.
故正确的有①④.
故答案为：①④
21.【上海市普陀区2021届高三上学期一模】设为常数，函数（）
（1）设，求函数的单调递增区间及频率；
（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．
【答案】（1）增区间为，频率；（2）．
【分析】
（1）当时，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由函数为偶函数，得到对于任意的，均有成立，进而求得，即可求得函数的值域.
【详解】
（1）当时，函数，
令，得，
所以此函数的单调递增区间为，
又由函数的的最小正周期为，所以．
（2）由题意，函数定义域，
因为函数为偶函数，所以对于任意的，均有成立，
即，
即对于任意实数均成立，只有，
此时，因为，所以，
故此函数的值域为．
22.【吉林省汪清县第六中学2020-2021学年高三三模】已知函数.
（1）求的值.
（2）求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（1）2；（2）;单调递增区间是.
【分析】
（1）首先利用二倍角公式化简函数，并代入求值；（2）由（1）可知，根据公式求最小正周期，以及整体代入求单调递增区间.
【详解】
（1），
；
（2），函数的最小正周期,
令，
解得，，
所以函数的单调递增区间是.
【点睛】
易错点睛：本题第二问，，所以根据复函函数单调性的规律，求函数的单调递增区间，则，，这一点容易忽略.
23.【四川省遂宁市2021届高三零诊考试】已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式与对称中心；
（2）在中，角的对边分别是，若，，当取得最大值时，求的面积．
【答案】（1）解析式为，对称中心；（2）．
【分析】
（1）根据图象先确定出的值，再根据周期计算出的值，再结合点求解出的值，从而的解析式可求，再根据整体替换法求解出的对称中心；
（2）利用正弦定理先求解出的值，根据取最大值计算出的值，然后可判断出的形状，从而的面积可计算.
【详解】
（1）由图象知道振幅，周期，所以
将代入解析式得，所以，
因为，所以，所以
又由
得对称中心为
综上，解析式为，对称中心
（2）由得：，
所以2，，
因为，所以，所以，，，
因为，，所以，
所以，所以，
所以．所以，此时，又，
所以是等边三角形，故.
24.【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】已知函数．
（1）求的最小正周期及的图象的对称轴方程；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，；（2），．
【分析】
（1）将化为，然后可求出答案；
（2）由，可得，，然后可得答案.
【详解】
（1）
，
的最小正周期，
令，，可得，，即的图象的对称轴方程为，．
（2），，
，，
，，可得，．

万能模板
内 容
使用场景
一般三角函数类型
解题模板
第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负；
第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；
第三步 运用三角函数的图象与性质确定其单调区间.
万能模板
内 容
使用场景
一般函数求其函数式
解题模板
第一步 观察所给的图象及其图象特征如振幅、周期、与轴交点坐标等；
第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个；
第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；
第四步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
一般三角函数类型
解题模板
第一步 利用恒等变换将其化成“、”的形式；
第二步 运用周期的计算公式直接计算可得所求.
第三步 得出结论.