最新高考数学解题方法模板50讲 专题34 立体几何解答题中的体积求解策略

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高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%。
无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险！也只有“三基”过关，才有能力去做难题。
二、建构知识网络
数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。
三、注重通性通法
近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途径多、方法活、注重发散思维的考查。在复习中千万不要过多“玩技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信心尽失”。
四、提高运算能力
运算能力是最基础的能力。由于高三复习时间紧、任务重，老师和学生都不重视运算能力的培养，一个问题，看一看知道怎样解就行了。这是我们高三学生运算能力差的直接原因。其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生考试成绩的好坏起到至关重要的作用。因此，运算能力要进一步加强，让学生自己体悟运算的重要性和书写的规范性。同时，在运算中不断地反思自己解题过程的合理性，转化的等价性等等。
专题34 立体几何解答题中的体积求解策略
【高考地位】
立体几何是高考数学命题的一个重点，解答题中体积的求法也是重点考查的知识，其求解的策略主要有两种方法：其一针对三棱锥的换顶点的思路，其二是对于多面体求体积可用切割法.
方法一 换顶点法
例1【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥P-ABC中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为棱、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
【变式演练1】【四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（文科）（四模）】如图，在多面体中，侧面是平行四边形，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求四面体的体积.
【变式演练2】【河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.
（1）证明：BC//MN；
（2）已知PA=AD=AB=2BC，平面ADMN⊥平面PBC，求的值.
方法二 切割法
例2、【安徽省皖豫名校联盟体2021届高三（上）第一次联考数学（文科）】如图，已知四边形为等腰梯形，，，四边形为矩形，点，分别是线段，的中点，点在线段上．


（1）探究：是否存在点，使得平面平面？并证明；
（2）若，线段在平面内的投影与线段重合，求多面体的体积．
例3、《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）．已知，，，，，则此“羡除”的体积为（ ）

A．2B．3C．D．
【来源】安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷理科数学试题
【变式演练3】【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】如图，在六面体ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且AB =AD =CD= 1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
（1）证明:平面BCE⊥平面BDE;
（2）求六面体ABCDEF的体积.
【变式演练4】【四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试】如图，在直棱柱中，，，，，.
（1）证明：面面；
（2）求多面体的体积.
【高考再现】
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数20】如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：//，且平面平面；
（2）设为的中心，若，//平面，且，求四棱锥的体积．
3．（2019•新课标Ⅲ，文19）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连接，如图2．
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积．
4.（2017•新课标Ⅰ，文18）如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．
5.（2019•新课标Ⅱ，文17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
【反馈练习】
1．取两个相互平行且全等的正边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”，则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【来源】普通高等学校招生全国统一考试 数学押题卷（四）
2．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）

A．B．C．D．
【来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（二）数学（文）试题
3．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A，B，C，A1，B1，C1均在球O的球面上，AB=AC=A1B1=A1C1=m，截面BCB1C1是矩形，BC=2，B1C=4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m=__________.
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题
4．美丽的广州塔，以其窈窕的身姿被广州人民亲昵地称为“小蛮腰”，它的整体轮廓可以看成是双曲线的一部分绕虚轴旋转得到的．以下是研究广州塔的一个数学题型：将曲线与轴、围成的部分绕轴旋转一周，得到一旋转体，直线绕轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为______．根据祖暅原理，构造适当的一个或多个几何体，求出此旋转体的体积为______．
（提示：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）
【来源】2021年普通学校招生全国统一考试新高考超级联考数学试卷
5．我国古代的帝王曾经热衷于玩一种名叫“六博”的游戏.玩游戏时需要使用一种类似于现代的骰子的名叫“茕”的物品.考古发现最早的“茕”为一个十四面体，可由一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去三棱锥（共八个）得到.若“茕”的棱长为，则这枚“茕”的体积为______.
【来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高三上学期暑期阶段性测试数学试题
6．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于______．
【来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）数学试题
7．如图，的正方形纸片，剪去对角的两个的小正方形，然后沿虚线折起，分别粘合AB与AH，ED与EF，CB与CD，GF与GH，得到一几何体Ω，记Ω上的棱AC与EG的夹角为a，则下列说法正确的是___________.
①几何体Ω中，CG⊥AE；
②几何体Ω是六面体；
③几何体Ω的体积为；
④.
【来源】浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题
8．如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体的体积为______．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期模拟（八）数学试题
9．【江西省南昌二中2020届高三高考数学（文科）】已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，，且面，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为2.
（1）证明：面；
（2）求证：面，并求三棱锥的体积.
10．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求四棱锥的侧面积.
11.【重庆市九龙坡区2020届高三第三次质量调研】如图所示，菱形ABCD与正△BCE所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且AB＝2，FD＝．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若BD＝2，求几何体EFABCD的体积．
12．【陕西省渭南市韩城市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（即∠BOC＝120°），点M为线段BC上一点，且MB＝．
（Ⅰ）求证：OA⊥OM；
（Ⅱ）若D是线段AB的中点，求四棱锥O﹣ACMD的体积．
13．【四川省德阳市2020届高三高考数学（文科）三诊】如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．
（1）证明：平面；
（2）若，求几何体的体积．
14．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试】如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积.
15．【陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末】如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱 的中点，直线AF与DH交于点P，直线BE与CG交于点S.
（1）求证：直线平面ABCD；
（2）求四棱锥B-PDCS的体积.
16．【河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（文科）第三次质检】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若，三棱锥的体积为1，求线段的长度.
17.【四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点为线段上异于A，B的点，连接，延长与的延长线交于点F，连接，.
（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的长.
18．【贵州省遵义市2021届高三第一次联考数学文科】如图1，等腰梯形，．沿折起得到四棱锥（如图2），G是的中点．

（1）求证平面；
（2）当平面平面时，求三棱锥的体积．
19．如图，平面四边形，其中．将沿折起，使P在面上的投影即为在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线分别交于D、E，与交于G．
（1）求的值；
（2）求多面体的体积．
【来源】安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷文科数学试题
万能模板
内 容
使用场景
三棱锥体积的求解
解题模板
第一步 观察三棱锥的4个顶点；
第二步 找到易求高的顶点的三棱锥，有时需要等价转化顶点，如平行转化，相似，
全等转化；
第三步 根据公式求解结果.
万能模板
内 容
使用场景
多面体体积的求解
解题模板
第一步 观察几何体特征，多面体切割成其他锥体或者补起来；
第二步 分别求出组成的几何体的体积；
第三步 根据公式求解结果.