最新高考数学解题方法模板50讲 专题25 含参数的“一元二次不等式”解法

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题25 含参数的“一元二次不等式”解法
【高考地位】
解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.
类型一 根据二次项系数的符号分类
例1 已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求的值．
（2）求不等式的解集
【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤ 当时，原不等式解集为
（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0：
不等式为，即
第二步，分别求出其对应的不等式的解集：
当时，原不等式的解集为；
当时，方程的根为；
所以当时，；
②当时，，
③当时，，
④当时，，
第三步，得出结论：
综上所述，原不等式解集为①当时，或；②当时，
③当时，；④当时，；⑤当时，原不等式解集为.
考点：一元二次不等式的解法.
【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式的解集．
【变式演练1】【湖北省黄冈市麻城市2020-2021学年模拟】已知二次函数 ．
（1）若 时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）解关于的不等式 （其中 ）．
【答案】（1）a＜；（2）①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为．
【分析】
（1）不等式转化为，利用参数分离法得，即，再利用基本不等式求函数的最小值即可.
（2）不等式 ，即，对进行分类讨论，由二次不等式的解法，即可得到所求解集.
【详解】
(1)不等式即为：，
当 时，可变形为：，即.
又，当且仅当，即时，等号成立，，即
实数的取值范围是：
（2） 不等式 ，即 ，
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，
②当时，可得，解不等式 得： 或 ；
③当时，因为，解不等式 得：；
④当时，因为，不等式 的解集为 ；
⑤当时，因为，解不等式 得：；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为．
类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类
例2 解关于的不等式（为常数且）.
【答案】时不等式的解集为； 时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.
若，，不等式的解集为
试题分析：,先讨论时不等式的解集；当时，讨论与的大小，即分，，分别写出不等式的解集即可.
【解析】第一步，将所给的一元二次不等式进行因式分解：
原不等式可化为
第二步，比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论：
（1）时，不等式的解集为；
（2）时，若，，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；
若，，不等式的解集为；
第三步，得出结论：
时不等式的解集为； 时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.
若，，不等式的解集为
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练2】【北京市第八中学 2019-2020学年高三下学期期末】设，不等式的解集记为集合.
（1）若，求的值；
（2）当时，求集合.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理列等式可求得实数的值；
（2）解方程可得或，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合.
【详解】
（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，
所以，，由韦达定理可得，解得；
（2）当时，由可得，
解方程，可得或.
①当时，即当时，或；
②当时，即当时，原不等式为，则；
③当时，即当时，或.
综上所述，当时，或；
当时，则；
当时，或.
类型三 根据判别式的符号分类
例3 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．
【答案】
【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：
B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，
(1)当k=0时，.
(2)当k＞0时，△＜0，x.
(3)当k＜0时，.
第二步，讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集：
故：当时，由B=R，显然有A，
当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.
，比较
因为
(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.
(2)当k=1时，x.
(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.
第三步，得出结论：
综上所述，k的取值范围是：
【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.
【变式演练3】在区间 SKIPIF 1 < 0 上,不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
考点：一元二次不等式定区间定轴问题.
【变式演练4】【2020湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（文）试卷】若存在x∈[−2,3]，使不等式2x−x2≥a成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． (−∞,1] B． (−∞,−8] C． [1,+∞) D． [−8,+∞)
【答案】A
【解析】
试题分析：设f(x)=2x−x2=−(x−1)2+1≤1，因为存在，使不等式2x−x2≥a成立，可知，所以，故选A．

【高考再现】
1.【2015高考江苏，7】不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由题意得：，解集为
【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式
【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程的解集，先研究，按照，，三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.
2.【2012年福建卷】已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】（0,8）
【解析】试题分析：因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8
故答案为：（0，8）
考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题
3.【2015高考广东，文11】【2008年高考广东卷理科数学试题】已知若关于的方程有实根，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实根，那么即，而，从而，解得。
4.【2015高考上海，文16】 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【考点定位】同解不等式的判断.
【名师点睛】求解本题的关键是判断出. 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.
【反馈练习】
1．【浙江省嘉兴市2020届高三模拟】已知函数f(x)=x2+ax+b，集合A={x|f(x)≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A． [5,5] B． [−1,5] C． [5,3] D． [−1,3]
【答案】A
【解析】设B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，(m,n为f(x)=54的两根)，因为A=B≠∅，所以n=0且m≤fmin(x)，Δ=a2−4b≥0，于是f(n)=f(0)=54，b=54，Δ=a2−5≥0 ⇔ a≤−5或a≥5，令t=f(x)，f(f(x))≤54⇒f(t)≤54⇒t2+at+54≤54⇒−a≤t≤0，即B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}={x|−a≤f(x)≤0}⇒m=−a，所以−a≤fmin(x)，即−a≤f(−a2)⇒a∈[−1,5]，即a∈[5,5]，故选A.
点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合A=B≠∅，得出b和m=−a，即可求出实数a的取值范围.
2．【湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考】设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
分类讨论求出集合，结合充分性、必要性的定义进行求解即可
【详解】
本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.
，
当时，；
当时，；
当，，
，
因为，所以的充分不必要条件.
故选：A
3．【河南省2020届高三6月联考全国1卷阶段性测试】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】
由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得，此时.
综上所述，.
故选：D.
4．【吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测】若关于x的方程(lnx−ax)lnx=x2存在三个不等实根，则实数a的取值范围是
A． (−∞,1e2−1e) B． (1e2−1e,0) C． (−∞,1e−e) D． (1e−e,0)
【答案】C
【解析】原方程可化为(lnxx)2−alnxx−1=0，
令t=lnxx，则t2−at−1=0．
设y=lnxx，则y'=1−lnxx2得，
当0