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最新高考数学解题方法模板50讲 专题12 利用导数解决函数的单调性
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这是一份最新高考数学解题方法模板50讲 专题12 利用导数解决函数的单调性，文件包含高考数学解题方法模板50讲专题12利用导数解决函数的单调性解析版docx、高考数学解题方法模板50讲专题12利用导数解决函数的单调性学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
模
板
50
讲
专题12 导数与函数的单调性问题
【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
类型一 求无参函数的单调区间
例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二 判定含参数的函数的单调性
例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数.
（I）讨论的单调性；
【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.
（1）当时，求函数的单调区间；
【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题
类型三 由函数单调性求参数取值范围
例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4B．16C．20D．18
【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
3．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题
4.【2017山东文，10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A . B. C. D.
5.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
9.（2018年新课标I卷文）已知函数fx=aex−lnx−1．
（1）设x=2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；
（2）证明：当a≥1e时，fx≥0．
10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数f(x)=1x−x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：fx1−fx2x1−x2【反馈练习】
1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数，若对任意两个不等的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数 在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.
6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______
7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题
9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________
【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题
10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知函数在上单调递增，求实数的范围.
11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）若，为两个不等的正数，求证.
12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数，的导数为.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，求证.
13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，，其中.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）当时，，求的值.
15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.
16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．
17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有唯一的零点.
18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数满足，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，求证：．
19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在3个零点，求实数的取值范围.
21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．
22．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：对任意的，只有一个零点.
【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题
23．已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.
【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题
24．已知函数.
（1）求的单调性；
（2）设函数，讨论的零点个数.
【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三）
25．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二）
26．已知（）
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.
【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题
27．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的最大值.
【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题
28．已知函数．
（1）若，证明：在单调递增；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题
29．已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．
【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题
30．已知函数.
（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题
31．已知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点．
【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题
32．已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．
【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题
万能模板
内 容
使用场景
知函数的解析式判断函数的单调性
解题模板
第一步 计算函数的定义域；
第二步 求出函数的导函数；
第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.
万能模板
内 容
使用场景
函数的解析式中含有参数
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；
第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.
万能模板
内 容
使用场景
由函数单调性求参数取值范围
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题；
第三步 得出结论.
模
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50
讲
专题12 导数与函数的单调性问题
【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
类型一 求无参函数的单调区间
例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二 判定含参数的函数的单调性
例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数.
（I）讨论的单调性；
【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.
（1）当时，求函数的单调区间；
【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题
类型三 由函数单调性求参数取值范围
例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4B．16C．20D．18
【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
3．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题
4.【2017山东文，10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A . B. C. D.
5.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
9.（2018年新课标I卷文）已知函数fx=aex−lnx−1．
（1）设x=2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；
（2）证明：当a≥1e时，fx≥0．
10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数f(x)=1x−x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：fx1−fx2x1−x2
1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数，若对任意两个不等的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数 在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.
6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______
7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题
9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________
【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题
10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知函数在上单调递增，求实数的范围.
11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）若，为两个不等的正数，求证.
12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数，的导数为.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，求证.
13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，，其中.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）当时，，求的值.
15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.
16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．
17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有唯一的零点.
18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数满足，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，求证：．
19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在3个零点，求实数的取值范围.
21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．
22．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：对任意的，只有一个零点.
【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题
23．已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.
【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题
24．已知函数.
（1）求的单调性；
（2）设函数，讨论的零点个数.
【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三）
25．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二）
26．已知（）
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.
【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题
27．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的最大值.
【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题
28．已知函数．
（1）若，证明：在单调递增；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题
29．已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．
【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题
30．已知函数.
（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题
31．已知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点．
【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题
32．已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．
【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题
万能模板
内 容
使用场景
知函数的解析式判断函数的单调性
解题模板
第一步 计算函数的定义域；
第二步 求出函数的导函数；
第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.
万能模板
内 容
使用场景
函数的解析式中含有参数
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；
第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.
万能模板
内 容
使用场景
由函数单调性求参数取值范围
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题；
第三步 得出结论.
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