最新高考数学解题方法模板50讲 专题26 含参不等式的存在性与恒成立问题

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模
板
50
讲
专题26 含参不等式的存在性与恒成立问题
【高考地位】
含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.
方法一 判别式法
例1 设，当时，恒成立，求实数的取值范围.
【变式演练1】【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．0B．0或C．0或2D．2
【变式演练2】【安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考】对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
方法二 分离参数法
例2 已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练3】【江苏省苏州市新草桥中学2020-2021学年高三上学期10月月考】正数，满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【北京市人大附中2021届高三年级10月数学月考】已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
方法三 函数性质法
例3 设函数，若时，，求的取值范围.
【变式演练5】【云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测】记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【高考再现】
1.【2020年高考浙江卷9】已知且，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
2.【2020年高考上海卷11】已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解；则的取值范围为 ．
3.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．
4.【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5. 【2017天津理，8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是$来&源：ziyuanku.cm
（A）（B）（C）（D）
6.【2016高考新课标1卷】已知函数 QUOTE SKIPIF 1 < 0 有两个零点.
(I)求a的取值范围；
(II)设x1,x2是 SKIPIF 1 < 0 QUOTE 的两个零点,证明： SKIPIF 1 < 0 .
7.【2016高考江苏卷】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求方程 SKIPIF 1 < 0 的根;
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有1个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
8.【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得 SKIPIF 1 < 0 在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【反馈练习】
1．【2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次高考适应性考试】不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．【吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考】若命题“∃x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．【河北省邯郸市2021届高三上学期摸底】若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．【江西省上高二中2021届高三上学期第一次月考】已知函数，若对于，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
5．【天津市第七中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．D．
6．【海南省临高中学2021届高三上学期第一次月考】若不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设函数，当时，记的最大值为，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．eB．C．0D．
【来源】浙江省百校2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题
8．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】江西省临川第一中学暨临川一中实验学校2021届高三三模数学（理）试题
9．若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）
10．已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（一）
11．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高三上学期7月第一次月考数学试题
12．已知函数，，其中e为自然对数的底数，若存在实数使得成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学（理）试题
13．（多选题）【江苏省南京市玄武高级中学2020-2021学年高三上学期学情检测】已知，若对任意的，恒成立，则实数的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（多选）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是
A．1B．2C．3D．4
【来源】专题24 函数、不等式恒成立问题（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）
15．【天津市南开中学2020-2021学年高三上学期统练】设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
16．【2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷】已知不等式对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围为________.
17．【2020届浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试】设a，b∈R，若函数在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为_____．
18．【广西防城港市防城中学2021届高三10月月考】已知，若不等式对一切恒成立，则a的最大值为______.
19．【上海市行知中学2021届高三上学期10月月考】若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
20．【天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中】都成立.则的取值范围是_______．
21．【湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）2020-2021学年高三上学期期中】已知函数，若，使得，则的取值范围是________.
22．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．
【来源】浙江省普通高中强基联盟协作体2021届高三下学期统测数学试题
23．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.
【来源】重庆市江津中学2021届高三下学期第二次适应性月考数学试题
24．已知函数（）.若存在，使得，则实数的取值范围是___________.
【来源】重庆市育才中学2022届高三上学期高考适应性考试（二）数学试题
25．【辽宁省营口第五中学2020-2021学年高三上学期第二次月考】已知函数，，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
26．【江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期阶段性诊断】已知二次函数，满足且方程有两个相等实根.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式
（3）当且仅当时，不等式恒成立，试求t，m的值.
27．【西藏山南市第二高级中学2021届高三上学期第一次月考】已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式，并写出单调区间；
（2）当时，恒成立，试确定实数的取值范围.
28．【重庆市西南大学附属中学2021届高三上学期第一次月考】已知命题存在实数，成立
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题函数在区间内单调递增，如果是假命题，求实数的取值范围.
万能模板
内 容
使用场景
含参数的二次不等式
解题模板
第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；
第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
对于变量和参数可分离的不等式
解题模板
第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
第二步 先求出含变量一边的式子的最值；
第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型
解题模板
第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；
第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；
第三步 得出结论.