最新高考数学解题方法模板50讲 专题01 函数问题的灵魂-定义域问题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题1 函数问题的灵魂——定义域
【高考地位】
在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．
方法一 直接法
【例1】（2021·新沂市第一中学高三模拟）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.
故选：C.
【变式演练1】（2021·广东高三模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，即，
函数的定义域为，则，
所以，
故选：C.
例2．【黑龙江省大庆市第四中学2020届月考】函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数有意义，
则，
解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
【名师点睛】
本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题.
【变式演练2】求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
【答案】当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为．
【解析】要使原式有意义需要满足，即
当时，是上的增函数，所以；
当时，是上的减函数，所以；
综上所述，当时，函数的定义域为；
当时，函数的定义域为．
例3．若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数的定义域为，所以在上恒成立，即方程至多有一个解，所以，解得，则实数取值范围是．
故选A．
【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题．
【变式演练3】已知函数f（x）=的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，只需分母不为即可，所以或 ，可得，故选A．
方法二 抽象复合法
例4．求下列函数的定义域：
（1）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
（3）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）令-2≤ SKIPIF 1 < 0 —1≤2 得-1≤ SKIPIF 1 < 0 ≤3，即 0≤ SKIPIF 1 < 0 ≤3，从而 - SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ∈ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∈ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ∈ SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∈ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由题得 SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
【名师点睛】（1）已知原函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求复合函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域：只需解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，不等式的解集即为所求函数的定义域．第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求原函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域：只需根据 SKIPIF 1 < 0 求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域，即得原函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．第2小题就是典型的例子；（3）求函数的定义域，一般先分别求函数和函数的定义域和，在求，即为所求函数的定义域．
【变式演练4】（2021·全国高三模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，解得．
因为有定义，所以当时，由，得；
当时，由，得；
当时，，恒成立．
综上，实数的取值范围是．
故选：D．
【变式演练5】【山东省泰安市2020届高三6月三模】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令即，解得.
若有意义，则即.
故选：D.
【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.
【变式演练6】（2021·湖北襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】令，则，
在上单调递增，，，，
的定义域为.
方法三 实际问题的定义域
例5．用长为 SKIPIF 1 < 0 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）．若矩形底边长为 SKIPIF 1 < 0 ，求此框架围成的面积 SKIPIF 1 < 0 与关于 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式，并求出它的定义域．
【答案】，函数的定义域为
【解析】如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即，再由题得 SKIPIF 1 < 0 ，解之得，所以函数解析式是，函数的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ．
【名师点睛】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即，不能遗漏．
【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
【答案】定义域为，值域为，描述见解析.
【解析】定义域为，值域为，
对于数集中的任一个数t，
在数集中都有唯一确定的数与之对应.
【点睛】
本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.
【高考再现】
1．【2017山东理】设函数的定义域，函数的定义域为，则
（A）（1，2） （B） （C）（-2，1） （D）[-2，1)
【答案】D
【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．
2．【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝eq \f(1,\r(x))
【答案】D
【解析】 y＝10lg x＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．
3．【2014山东．理3】 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知得即或，解得或，故选．
【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性．
4．【2015高考重庆，文3】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
(A) SKIPIF 1 < 0 (B) SKIPIF 1 < 0
(C) SKIPIF 1 < 0 (D) SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【考点定位】函数的定义域与二次不等式．
【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解． 本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．
5．【2015高考湖北，文6】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域应满足条件： SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故应选 SKIPIF 1 < 0 ．
【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．
【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．
6.【2020年高考北京卷11】函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．
【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．
7．【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是，则 ．
【答案】
【解析】若，则 在上为增函数，所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数，所以，解得，所以．
【考点定位】指数函数的性质．
【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用．
8．【2019年高考江苏】函数的定义域是 ▲ ．
【答案】
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域．
由已知得，即，解得，故函数的定义域为．
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
【反馈练习】
1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，只需，解得，即函数定义域为或.故选D.
2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数的定义域为A，函数的值域为B，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数定义域满足：，即，所以，
函数的值域，所以，
故选：A.
【名师点睛】
本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3．（2021·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（文））函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】欲使函数有意义，则，即，解得，故选：C.
4．【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，对于函数，，解得，即；
对于函数，，解得，即，
所以.故选：D.
【名师点睛】
本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.
5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设有，由得，故选A.
【点睛】
本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
6．【2020届百师联盟高三联考】函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：根据函数解析式，有，解得，所以函数的定义域为，故选：C.
【名师点睛】
本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.
7．（2019·河北张家口中学月考）若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式mx2mx+2>0的解集为R，
①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m≠0时，则，解得0＜m<8．
综上得，实数m的取值范围是，故选A．
【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．
8．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】，
，解得，故函数的定义域为.
故答案为：.
9．（2021·广东金山中学高三月考）函数的定义域为______．
【答案】；
【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.
【点睛】
方法点睛：常见的具体函数求定义域：
(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.
10．【上海市南模中学2019-2020学年高三模拟】函数的定义域是______.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以，解得或或.
故答案为：
【名师点睛】
本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．（2021·北京高三一模）函数的定义域为_____.
【答案】
【解析】依题意知，函数有意义，则需，解得，故定义域为．
12．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））函数的定义域为________.
【答案】
【解析】由题意，要使函数有意义，则满足，
解得，即函数的定义域为.
13．【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.
【答案】，（答案不唯一）
【解析】由得： 的定义域为
又为定义域内的增函数 值域为
的一个“同域函数”为，
故答案为：，（答案不唯一）
【名师点睛】
本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.
14．【2020届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.
【答案】
【解析】因为的定义域为，即。所以此时括号的范围为
。
对于函数即是：，即
故答案为：
【名师点睛】
此题考查抽象函数求定义域问题，关键两点：定义域一定指的取值范围，同一个函数括号内的范围相同，属于简单题目。
15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域.
【答案】定义城为，值域为.
【解析】如图，连接，过分别作的垂线，垂足为，
因为，所以，即，
因为，
所以，所以，
，
，
故当时，y有最大值，
故它的定义城为，值域为.
【点睛】
本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.
16.【2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷】已知函数.
（1）若，求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），，解得；
（2）对于函数，有，解得且.
因此，函数的定义域为；
（3），令，由，得，参变量分离得，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
所以，函数在区间上单调递减，
当时，该函数取得最大值，即，.
因此，实数的取值范围为.
【名师点睛】
本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.万能模板
内 容
使用场景
函数的解析式已知的情况下
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第一步 找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考
虑以下几种情形：
分式中分母不为0；
偶次方根中被开方数非负；
的底数不为零；
对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
正切函数的定义域为．
第二步 列出不等式（组）；
第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数的定义域．
万能模板
内 容
使用场景
涉及到抽象函数求定义域
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利用抽象复合函数的性质解答：
(1)已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求复合函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域：
只需解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，不等式的解集即为所求函数的定义域．
(2)已知复合函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域：
只需根据 SKIPIF 1 < 0 求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域，即为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
万能模板
内 容
使用场景
函数的实际应用问题
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第一步 求函数的自变量的取值范围；
第二步 考虑自变量的实际限制条件；
第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．