高考 第20讲 数列不等式恒成立与存在性问题大题

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第20讲 数列不等式恒成立与存在性问题大题
考点一　由数列不等式恒成立求参数
[典例 1]　已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列前n项的和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，
求实数λ的最大值．
解析：　
(1)设公差为d，由已知得
解得d＝1或d＝0(舍去)，所以a1＝2，所以an＝n＋1．
(2)因为＝－，
所以Tn＝＋＋…＋－＝－＝，
又λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，所以λ≤＝2＋8，而2＋8≥16，
当且仅当n＝2时等号成立．所以λ≤16，即λ的最大值为16．
[典例 2]　已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
(2)设Kn为数列{anbn}的前n项和，若不等式λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，
求实数λ的最小值．
解析：　
(1)设数列{an}的公差为d，则
解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，
所以an＝n＋1，Sn＝．bn＝2n，Tn＝2n＋1－2．
(2)由题意得Kn＝2×21＋3×22＋…＋(n＋1)×2n，①
则2Kn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，②
①－②得－Kn＝2×21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1，∴Kn＝n×2n＋1．
要使λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，即λ≥＝恒成立，
设g(n)＝，
因为＝＝0，∴f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(3)＝．
(3)∵bn＝⇒Sn＝1＋＋＋…＋，∴Sn－Sn－1＝(n≥2)，
即nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，
∴(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn－2＋1，…，2S2－S1＝S1＋1，
∴nSn－S1＝S1＋S2＋…＋Sn－1＋n－1，
∴S1＋S2＋…＋Sn－1＝nSn－n＝(Sn－1)·n(n≥2)，∴g(n)＝n．
[典例 15]　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，b1＝1，点(Tn＋1，Tn)在直线－＝上，若存在n∈N*，使不等式＋＋…＋≥m成立，求实数m的最大值．
解析：　
(1)∵Sn＝2an－2，①.∴Sn＋1＝2an＋1－2，②
∴②－①得an＋1＝2an＋1－2an(n≥1)，∴an＋1＝2an，即＝2，
∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＝2n．
(2)由题意得，－＝，∴成等差数列，公差为．首项＝＝1，
∴＝1＋(n－1)＝，Tn＝，
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝n，当n＝1时，b1＝1成立，
∴bn＝n．∴＝＝＝nn－1，令Mn＝＋＋…＋，只需(Mn)max≥m．
∴Mn＝1＋2×＋3×2＋…＋n×n－1，③，Mn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，④
③－④得，Mn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－n×n＝－n×n＝2－(n＋2)n，
∴Mn＝4－(n＋2)n－1．
∵Mn＋1－Mn＝4－(n＋3)n－4＋(n＋2)n－1＝>0．
∴{Mn}为递增数列，且(n＋2)n－1>0，∴Mn1，k∈N*．由>2，整理得