第36讲 圆锥曲线的离心率问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第36讲 圆锥曲线的离心率问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．（2021春•滁州期末）如图，设椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，
椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，
直线交椭圆于点，直线平分线段于，
为的中位线，
，且，
，
解得椭圆的离心率．
故选：．

2．（2021•常德期末）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，
左焦点
且以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，可得，，，可得，
所以，，
所以，，解得，解得，
故选：．

3．（2021•浙江期中）如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，，
设，由对称性可知：，
由椭圆的定义可知：，

由，则，则△中，
由，
则，
整理得：，
在△中，
，
将代入解得椭圆的离心率．
故选：．

4．（2021•衢州期末）已知，，是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，，设，由对称性可知：
，
由椭圆的定义可知：，

由，则，则△中，
由，
则，
整理得：，
在△中，
，
将，代入解得椭圆的离心率，
故选：．

5．（2021•湖南校级模拟）如图所示，，，是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线的右焦点，若，且，则该双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．3
【解答】解：设双曲线的左焦点为，则四边形是矩形，由，，
可得．又，
在直角三角形中，，解得．
故选：．
6．（2021•让胡路区校级一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以坐标原点为圆心，以为直径的圆交双曲线右支上一点，，则双曲线的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，，
，
，

，
．
故选：．
7．（2021•运城模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图：双曲线的左，右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，，可知是正三角形，
所以，，代入双曲线方程可得：．又，
，可得，解得．
故选：．

8．（2021•天心区校级月考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，且双曲线的离心率为2．则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的定义知，，
，
，即，

，
在△中，由余弦定理知，，
，
，，
故选：．
9．（2021•河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设，则，
，
，
同理，，
，
，
，
在，中，，
即，得，
有，，
在△，中，
由，
即，
得，即离心率，
故选：．

10．（2021•双流区校级期中）已知椭圆的右焦点为，满足，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，即，所以，
由已知得的最大值为，最小值为，
则，
又由得，所以，所以，所以，
所以的取值范围为，
故选：．
11．（2021•滨州期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，，
过点的直线与圆相切于点，，
依题意可得，，，，，
，，
，
双曲线的渐近线方程为．
故选：．

12．（2021•福建模拟）已知双曲线的左、右焦点坐标分别为，，过作圆的切线交的右支于点．若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设切点为，连接，过作，垂足为，
由，且为△的中位线，可得
，，
即有，则，
即有，
由双曲线的定义可得，则
，，即，
又，，
解得：（舍或．
故选：．

13．（2021•广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为，，点是双曲线上位于第一象限内的点．过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：延长交与，由为的角平分线，，所以为的中点，，
连接，则为△的中位线，所以，而
因为，而
所以整理可得，即，解得或1，
再由双曲线的离心率大于1，可得，
故选：．

14．（2021•榆林四模）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为、且，则双曲线的离心率为　　
A． B． 或3 C． D． 或4
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，，
可得，
即有直线的斜率为，
由直线与双曲线：双曲线的一条渐近线交于点，
可得，
可得，
即有，
化为，
由可得，
解得或，
由，可得，即，可得舍去．
故选：．
15．（2021•新疆模拟）已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，即，①
连接，在直角三角形中，可得，
又，可得，
则，，
又在直角三角形中，，
所以，
由为△的中位线，可得，
由双曲线的定义可得，即，②
由①②解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：．

16．（2021•西青区期末）已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同．若是双曲线一条渐近线上的点，且为原点），若，则双曲线的方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：双曲线的离心率为，
设，双曲线一条渐近线方程为，
可得，
即有，
由的面积为16，可得，
即，又，且，
解得，，，
即有双曲线的方程为，
故选：．
17．（2021•临汾模拟）已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，， 是双曲线 一条渐近线上的点，且，若的面积为 16，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长为　　
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：双曲线的离心率为，
设，双曲线一条渐近线方程为，
可得，
即有，
由的面积为16，可得，
即，又，且，
解得，，，
即有双曲线的实轴长为16．
故选：．
18．（2021•河北区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为直线过左焦点，
若，
即焦点三角形为直角三角形，且，
根据焦点三角形的性质，
当为短轴顶点（设为时，有最大值，
所以若有，
则，
所以，
即，
也即，
所以离心率，
又因为椭圆离心率，
所以，，
故选：．
19．（2021•昌邑区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
△是直角三角形，，，
由椭圆的定义可得，，
，
．
故选：．
20．（2021•湖北模拟）设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，，为其共同的左、右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意有，即，
，
，
解得，
，
，
，
，
故选：．
21．（2021春•浙江月考）已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若不是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：因为不是锐角三角形，
所以为钝角，
因为双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，
所以，
所以，
因为为右焦点，设其坐标为，
所以，
所，，
所以，
所以，
所以（舍去）或，
所以双曲线的离心率为，．
故选：．

22．（2021•浙江模拟）已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，
不妨在第一象限，，代入双曲线方程可得：即：，
可得，
可得，
直线，，可知，
，
，，
所以，．
故选：．
23．（2021•重庆期末）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
设，，，则，，
根据双曲线的定义，得，
即，
解得，，
即，，，
△中，
，
在三角形中，
，，
，可得，
因此，该双曲线的离心率．
故选：．

24．（2021•辽宁模拟）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上两个不同点，满足，都垂直于轴，过作，垂足为，若四边形的面积是三角形面积的4倍，则双曲线的离心率　　
A． B．2 C．3 D．
【解答】解：由双曲线的方程可得，，
渐近线方程为，
由题意可得，都在渐近线上，
可得，矩形的面积为，
三角形的面积为，
由题意可得，
即为，所以．
故选：．
25．（2021春•浙江月考）设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，
，故．
过作，在直角三角形中，，，
由，可得．
即可得，
．
故选：．

26．（2021•包河区校级模拟）已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：由题意双曲线的离心率为：，
可得，可得，所以，渐近线方程为：，如图：
，则，，
所以，
所以，．
故选：．

27．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：取椭圆的左焦点两点，关于原点对称可得直线过原点，如图所示：
由，可得，即为矩形，，，，可得，
，，
当在上顶点时，最小，当，最大，
所以离心率，即，，
故选：．

二．填空题（共18小题）
28．（2021春•昌江区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 　　．
【解答】解：设，设，，，
设，，，，
则，，
解得，，
即，，
，，
即，，，
得，解得，
即，，
在双曲线上，，而，
可得：或5，
由于，可得，
故答案为：．
29．（2021•浙江模拟）如图，椭圆的离心率为，是的右焦点，点是上第一象限内任意一点，，，若，则的取值范围是　，　．

【解答】解：设直线的方程为，
代入椭圆方程可得，，
，可得，，
由，可得，
即为，
化为，
可得，对恒成立，
由，可得，
即为，
可得，即，
故答案为：，．
30．（2021•武侯区校级模拟）如图，椭圆的离心率为，是的右焦点，点是上第一象限内任意一点．且，，若，则离心率的取值范围是　，　．

【解答】解：设，，因为，所以，
所以点的坐标为，，
又因为，所以点的坐标为，
代入椭圆方程可得：，
化简可得：，
又因为，则化简可得：恒成立，
因为，所以，
所以，令，
则函数在，上单调递增，
所以，则，
所以解得，
故答案为：．
31．（2021•杭州校级模拟）如图，椭圆的离心率，，分别是椭圆的左焦点和右点顶点，是椭圆上任意一点，若的最大值是12，则椭圆方程为　　．

【解答】解：，，
设，，则
，
，，

．
．
当时，有最大值为．
，则，．
所求椭圆方程为．
故答案为：．
32．（2021春•恩施州期末）设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，，设则双曲线离心率是　　．
【解答】解：点关于原点的对称点为，
，
，，
是等边三角形，
，，
代入双曲线，可得，
，
，
，
，．
故答案为：．
33．（2021•章贡区校级三模）设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，，则双曲线离心率的取值范围是　，　．
【解答】解：设左焦点为，令，，则，
，
点关于原点的对称点为，，
，
，

，
，


，
，，
，，
，
，．
故答案为：，．
34．（2021•永康市模拟）已知椭圆，若存在过点且相互垂直的直线，使得，与椭圆均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是　　．
【解答】解：椭圆，
显然，中一条斜率不存在和另一条斜率为0，两直线与椭圆相交，
可设，即，
联立椭圆方程可得，
由直线和椭圆无交点，可得△，
化为，解得，
由两直线垂直的条件，可将换为，
即有，化为，
解得或，
由题意可得，，化为，
由于时，，可得；
同样，解得，
则．
故答案为：．
35．（2021•河南月考）椭圆上存在第一象限的点，，使得过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是　，　．
【解答】解：因为过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，
所以，化简可得，
解得，
因为点在第一象限，所以，
所以，则，所以，
即椭圆的离心率的范围为，，
故答案为：，．
36．已知椭圆的两个焦点为，，为坐标原点，为轴上一点，连接，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，连接，，且，四边形的面积为，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：由过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，则，由，
则△的面积，△的面积，
直角梯形的面积，
四边形的面积为，
，
椭圆的离心率，
故答案为：．

37．（2021春•确山县校级期中）已知椭圆，双曲线，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为　　．
【解答】解：设椭圆与双曲线的渐近线相交于、两点，以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于，两点（如图）
与该渐近线的两交点将线段三等分，，，
由得，
由，得
即，即，即，即

故答案为：

38．（2021春•濠江区校级期中）已知为椭圆在第一象限上一点，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：设，，设，，
由题意可得，，，，
因为，设，，
则，
所以，
即，，
，的坐标代入，所以，
所以，
即，而
因为，
所以，
所以可得，
由，，三点共线，所以，
即，即，
将其代入中，，
又，
所以．
故答案为：．

39．（2021•渝中区校级期中）如图，已知为椭圆上的点，点、分别在直线与上，点为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆的离心率为　　．

【解答】解：设，，则直线的方程为，直线方程为，
联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
则，
又点在椭圆上，则有，
又为定值，
则，即，得．
故答案为：．
40．（2021•岳麓区校级模拟）已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为　　．
【解答】解：设，，则直线的方程为，
直线的方程为．
联立方程组，解得，，
联立方程组，解得，，

，
，在椭圆上，，
为定值，
，．
．
故答案为：．
41．（2021•道里区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上的一点，射线平分交轴于点，过原点的直线平行于直线交于点，若，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：设双曲线的右顶点为，
考察特殊情形，当点时，射线直线，
此时，即，
特别地，当与重合时，．
由，
即有，
由离心率公式，
故答案为：．

42．（2021春•3月份月考）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：如图，连接在直角三角形中，，，
所以，，
所以，，
在△中，，，
所以，
化简可得：，
所以．
故答案为：．

43．（2021春•浙江期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是　，　．

【解答】解：，，，
是的角平分线，，
则，
由，得，
由，可得，
由，椭圆离心率的范围是，．
故答案为：，．
44．（2021春•洛阳期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线右支上一点，直线交轴于点，的内切圆切边于点，若，则双曲线的离心率为　2　．

【解答】解：双曲线的焦距为4，
，
，的内切圆在边上的切点为，
根据切线长定理可得，，，
，
，

，
即，则，
，
双曲线的离心率是．
故答案为：2

45．（2021•浙江月考）已知点在圆上，点在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于　　，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为，则的最大值等于　　
【解答】解：圆的圆心，半径为，
设，，
设，可得，
由可得的最大值为，1处或顶点处，由处取得2，不符题意的取得最大值4，
处取得最大值4，
可得，解得，则，
则椭圆的离心率的最大值为；
可得离心率取得最大值时，，椭圆方程为，
右焦点，，左焦点，，
则，
连接，可得，
则的最大值为，
故答案为：，．