2023高考数学二轮专题复习 专题11 离心率问题速解（精讲精练）（解析版）

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专题11 离心率问题速解
【命题规律】
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
【核心考点目录】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
核心考点四：椭圆与双曲线的通径体
核心考点五：椭圆与双曲线的直角体
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
核心考点七：双曲线的底边等腰三角形
核心考点八：焦点到渐近线距离为b
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，




选A
情况二

若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，



所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法

特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，

特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率

若均在左支上，

同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.


6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【解析】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．

7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
【方法技巧与总结】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
【核心考点】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典型例题】
例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．

根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，
所以，
利用，
∵，∴，，即椭圆离心率的取值范围是，
故选B.
例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，故应
选．
例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P是以，为焦点的椭圆上的一点，且，，则此椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
在中，设（），则，，
所以，，
所以.
故选：D.
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典型例题】
例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，设，
则，，
因为，所以，即，即，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为，所以，所以，即，
所以，
故选：B．
例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使得，且内切圆的半径大于，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，内切圆的半径为r．
因为，所以，
则．
由等面积法可得，
整理得，又
故．又，所以
则，从而．
故选：C
例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，

当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：
存在点为椭圆上一点，使得，
中，，可得中，，
所以，即，其中
，可得，即
椭圆离心率，且

故选:C
例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________.
【答案】
【解析】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，

根据椭圆的定义，且，则，
所以，
又由离心率的公式得，
由，则，
所以，即椭圆的离心率的最大值为.
故答案为：
例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是___________.
【答案】
【解析】椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为，
连接，则四边形为矩形.
根据椭圆的定义：，则.
∴
椭圆的离心率，
∴，则，
∴，
∴椭圆离心率e的取值范围.
故答案为：

例9．（2022·高二单元测试）椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为________.
【答案】
【解析】记椭圆的左焦点为，连，，

由椭圆的对称性和性质知，，
由，可得，
得，
由，可得，则，
所以.
故答案为：.
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典型例题】
例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于_______．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点.

由椭圆和双曲线定义知：，，
，，
由椭圆和双曲线对称性可知：四边形为平行四边形，
，，，
即，
.
故答案为：.
例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）
A．24 B．37 C．49 D．52
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距,则
，，解得
，，如图

在△F1PF2中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
所以，
当且仅当时，取等号.
故选:C.
例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：

，
所以，
设，因为，则
在中，由余弦定理得：，
化简得：，即，
从而有，
整理得，（当且仅当时等号成立）
故选：A.
例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（   ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆：和双曲线：有共同的焦点，，是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则双曲线的离心率是（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设，的离心率分别为，，焦距为，
因为，，
所以，，
由余弦定理，得，
即，
化简，得，两边同除以，得.
又，所以.
又，所以.
故选：B
核心考点四：椭圆与双曲线的通径体
【典型例题】
例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模） 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点作轴于，则，由，
则，，所以点，
由点在椭圆上，所以有，即，
所以.
故选：A.

例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过直线与椭圆交于，两点，设线段的中点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又是中点，所以，
因为，所以是中点，则，因此轴，
设，则，，，
在中，由勾股定理得，变形可得．
故选：B．
例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为，，过且垂直于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题可得，代入双曲线，
解得，
又，
∴，即，
，
，
，，
.
故选：A
例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A，B，C是双曲线上的三个点，经过原点O，经过右焦距F，若且，则该双曲线的离心率等于_____．

【答案】
【解析】若是左焦点，连接，设，，

∴由双曲线的对称性且知：是矩形，则，，
又，即，则，
∴在中，，即，而，
∴，，
∵在中，，即，可得.
故答案为：.
核心考点五：椭圆与双曲线的直角体
【典型例题】
例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为______.
【答案】
【解析】因为，所以，即M为的中点.
又O为的中点，所以OM为中位线.所以,即轴.
因为直线过且斜率为，，所以,.
由双曲线的定义可得：,即，解得：，即离心率为.
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是的中点，且，则双曲线C的离心率（    ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 A是的中点，
为△的中位线，
，所以，所以．
设，，，，
点在渐近线上，
，得．
又为的中点，，
在渐近线上，
，得，则双曲线的离心率．
故选：B
例21．（2022·天津·统考一模）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为(    )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，
且，
又，
是圆的切线，，
又，
∴双曲线方程为．
故选：D

例22．（2022·四川广元·统考三模）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，不妨令，
过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又，所以，则和都是直角三角形，
则，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以椭圆的离心率为.

故选：C.
例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，
连接 ，则有 ，

由于 在以AD为直径的圆周上， ，
∵ABCD为平行四边形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故选：D.
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典型例题】
例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的方程为，
由解得，则，
由于为等腰三角形，
所以，.
故选：A
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记右焦点为，
由题意知，，且为等腰三角形，则只能是，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得
所以，
整理，得，
即，解得或（舍去），
所以．
故选：C．
例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，抛物线的准线与轴的交点为

因为是椭圆的左､右焦点，所以
抛物线准线为：直线，所以
因为是底角为的等腰三角形，则
则
则 ，整理得：
所以离心率.
故答案为：A.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
核心考点七：双曲线的底边等腰三角形
【典型例题】
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知，是双曲线的左，右焦点，过点作斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，以为圆心的圆过，，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】取MN中点A，连AF2，由已知令，则，如图：

因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得，，
则，令双曲线半焦距为c，
中，，中，，
则有，即，
因直线的斜率为，即，而，即，
，于是有，，，
所以双曲线的离心率为.
故选：B
例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A

核心考点八：焦点到渐近线距离为b
【典型例题】
例30．（2022·全国·模拟预测）设，分别是双曲线：的左､右焦点，为坐标原点，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨取双曲线的一条渐近线的方程为，即，
点到这条渐近线的距离为.
因为，所以，
所以.
由题意知，
所以，离心率，
故选：D.
例31．（2022·全国·高三专题练习）设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
则，，
，
在中，，
在中，，
，即，
e=2，
故选：B．
例32．（2022·全国·高三专题练习）设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线为，焦点到直线的距离，所以，由勾股定理得，所以，在中，，因为由余弦定理可得，即，即，所以离心率
故选：C

例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线（，）的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，，则C的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】右焦点，设一渐近线的方程为，
则另一渐近线的方程为，
由与垂直可得的方程为，
联立方程，
可得的横坐标为，
联立方程
可得的横坐标为．
因为，
所以，
可得，
因为，所以，
即，
BC满足题意，AD不合题意，
故选：BC.
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典型例题】
例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，
所以为的中点，
将直线，的方程联立，可得，
又，所以即，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以该双曲线的离心率为，
故选：A.

例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示：

因为，，所以，
所以，，
又，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：C.
例37．（2022·全国·统考模拟预测）设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．5
【答案】C
【解析】不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，
与联立可得；
与联立可得，
∵，∴，
整理得，，即，
∵，∴．
故选：C．
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典型例题】
例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若，，则的离心率为________.
【答案】2
【解析】

因为，所以，即
所以为点到渐近线的距离，
，
所以，可得点为的中点，
又因为，所以，
所以，
设双曲线的左焦点为，，
则，
因为，所以，
所以，，
所以，
因为为中点，所以，
，
将代入整理可得：
即，
所以，可得，
解得：或（舍），
故答案为：
例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线：的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为，两点（点位于点与点之间），且，又过点作于（点为坐标原点），且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】双曲线：的渐近线方程为，
如图所示，设，，，

，，
由，得，解得.
又点到直线的距离，，
∴，则，
又，∴.
所以，即，∴.
故答案为：.
例40．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）过双曲线的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q.若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】

如图所示，左焦点F到渐近线的距离，
而，∴，
∴双曲线的离心率为.
故答案为：
例41．（2022·高二课时练习）过双曲线的右焦点F引一条渐近线的垂线，垂足为点A､在第二象限交另一条渐近线于点B，且，则双曲线的离心率的取值范围是___________．
【答案】
【解析】因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以，所以1，所以．
在直角中，，所以，即，
联立，得，
因为，所以，
故，因为，所以，解得
综上，可得
故答案为：
例42．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的左､右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限），则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【解析】由题意，双曲线，可得，
因为，可得，及，
所以点在以为直径的圆上，即点在圆上，
又因为点在渐近线，
联立方程组，解得，即点，
设点，因为，可得，
即，解得，即，
又由点在渐近线上，可得，
化简可得，所以.
故答案为：.

例43．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
例44．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.
【答案】
【解析】设双曲线右焦点为，因为的中点在双曲线的渐近线上，由可知，，因为为中点，所以，所以，即垂直平分线段，所以到渐近线的距离为，可得，所以，由双曲线定义可知，，即，所以，所以.
故答案为：

例45．（2022·四川·统考模拟预测）设双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为A，B，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若为等腰三角形，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】以为直径的圆的方程为，双曲线过第一象限的渐近线方程为，

由，解得，由为等腰三角形，所以点在线段的中垂线上，即，
由得，即，解得或（舍去）；
故答案为：
例46．（2022秋·天津·高三专题练习）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P，若tan∠PF1F2，则该双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】由题意可得：P，F1，F2在圆x2+y2＝c2上，所以PF1⊥PF2，设|PF1|＝t，因为tan∠PF1F2，
所以|PF2|，由勾股定理可得t2+2t2＝4c2，所以4c2＝3t2，所以2ct，
而2a＝|PF2|﹣|PF1|（）t，所以双曲线的离心率e，
故答案为：
例47．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，两条渐近线分别为，.过点且与垂直的直线分别交，于，两点，为坐标原点，若满足，则该双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】如图所示，不妨设渐近线的斜率大于0，
由得，是线段的中点，
又因为，所以，
又，所以，
故直线的斜率为，即，故.
故答案为：.

核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【典型例题】
例48．（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为，等于展开式的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B．3或 C． D．或
【答案】B
【解析】由已知可得，展开式的常数项为，
设双曲线半焦距为c，.
设，得，.
P到两条渐近线的距离分别为，，
.
①.又②，由①②可得或，
或.
故选：B
例49．（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过双曲线的右焦点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、 ，若四边形为正方形，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】如下图所示：

易知轴为的角平分线，由于四边形为正方形，，则，，
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：.
例50．（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线的左顶点为，过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且（为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.
【答案】
【解析】由题意，，双曲线的渐近线方程为：，
不妨令与直线垂直，与直线垂直，
则，，
所以直线的方程为：；直线的方程为：；
由解得：（其中），则；
由解得：，即，
所以，
又，所以，即，即，
解得：或（不满足），
所以此双曲线的离心率是.
故答案为：.
例51．（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且轴，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于，两点，若四边形的面积为，则的面积为______.
【答案】
【解析】由已知得，所以，且，
所以双曲线的两条渐近线是，所以四边形是矩形，
且
所以四边形的面积，
所以，所以，
所以的面积为，
故得解.

例52．（2022春·全国·高二期中）已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是________.
【答案】或
【解析】由题意知，，
双曲线的渐近线方程为，

设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示，
直线的方程为，
将其与联立，解得，，即，，
，
点，到直线的距离为，
所围图形面积等于1，
，即，
化简得，
点，在双曲线上，，即，
，
又，，或，，
离心率或．
故答案为：或．
例53．（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线上一点作直线，与双曲线的两条渐近线分别交于，且为线段的中点，若（为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意知，双曲线的两条渐近线方程为，
设，则，
根据点在双曲线上，得，得，
由双曲线的两条渐近线方程得
，
所以，
而，所以，又，所以，离心率.
故答案为：
例54．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为：，
即，设点，可得：，
联立方程组，解得：，
同理可得：，
所以，
因为，所以，
所以，由题意可得：，
所以，故离心率，又因为双曲线的离心率，
所以双曲线离心率的取值范围为，
故答案为：.

【新题速递】
一、单选题
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有，
即.
由已知得，存在点，使得，即，显然，所以.
又，即当点位于图中位置时，等号成立，
所以，又，
所以，整理可得，，解得或（舍去），
所以，则，则，所以，
所以.
故选：C.
2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为F为双曲线的下焦点，不妨设，
所以过F作斜率为的直线，所以.
因为是C的斜率大于0的渐近线，所以可设.
由联立解得：.
因为，所以，解得：.
所以离心率.
故选：C
3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意作图，由于，并且线段MN，互相平分，

∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得．
故选：C．
4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设内层椭圆的方程为，
由离心率相同可知，外层椭圆的方程为，
如图，

设切线的方程为，
则，
消去得
由，得，
设切线的方程为，
联立，
消去得，
由得，

又直线AC与BD的斜率之积为，
.
故选：C
5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆的左焦点为F，A，B分别为C的左右顶点，与y轴的一个交点为D，直线AD，BG的交点为M，且轴，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：由题意可知，
故直线AD的方程为，即，
直线BG的方程为，即，
联立直线AD，BG的方程，解得.
又轴，所以，所以C的离心，
故选：A.
解法二：设O为坐标原点，由题意知，
故 ，所以，即，解得.
又，所以，即 ，
解得，则，得，
所以C的离心率
故选：A.

6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，
∵，
∴，．则，得，
由，两式相减得：，
即，
其中，且，解得：，
故，
故，解得，
故，
∴.
故选：C
7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，设，

直线的斜率一定存在,分别为，
直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则,
则，∴，
∵，两式相减得，
∴，即，
∴，∴，∴，
∴椭圆的离心率，
故选:D．
8．（2022春·浙江金华·高三期末）设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线，垂直于的延长线交于，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

双曲线的渐近线方程为：，不妨令，
因为直线垂直，则，故，又，
则点到直线的距离为=，所以，
，又，可知直线的方程为：，与联立方程组可得：
，则 ，解得 ，故,
由,则,
中，由勾股定理可得:
,
故；
又,则，即，
因为的延长线交于，此时点的纵坐标大于0，即，故，所以 ，
所以化简得.则，
故，则.
故选：B.
9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，，
根据对称性，不妨设P为渐近线上一点，坐标为，，
因为，所以，则，故，
故，
在中，，
由余弦定理得，
即，
即，
则，即，
即，即，即，
所以.
故选：A.
10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点.若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令
则，
又中，
，
，
中，，
所以，离心率
故选：A.
二、多选题
11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线过点
B．直线与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
【答案】ACD
【解析】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故A选项正确；
D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确；
C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故C选项正确，
B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，故B选项错误.
故选：ACD.
12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆与椭圆有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心，设椭圆与椭圆的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则以下结论中正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题知，
由②两边同时加得，故C正确；
将①代入②得，
两边同时除以得：，即，故A正确；
由②得，③
③式两边同乘以得，故B错误；
由③式得，故两边同加得，故D正确.
故选：ACD
13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】

由题意知，，，，则，，
∵ ，
∴，即：， ①
又∵ ，②
∴由①②得：，即：，
又∵ ，
∴，故D项正确；
∴，
∴，
∴，故A项正确；
∴，故B项正确；
∴，故C项错误；
故选：ABD.
14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．
【答案】ACD
【解析】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
当时，，即，因此，B正确；
当时，，即，有，
而，则有，解得，C不正确；
，
，于是得，
解得，而，因此，D不正确.
故选：ACD
15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则（    ）
A．、在直线上 B．双曲线的离心率
C．内切圆半径最小值是 D．的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对A：
过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，则，
∵，则，
又∵，则，
∴，即在直线上，
同理可得：在直线上， A正确；
对B：
∵，则，
∴，
又∵，则，即，
∴，故离心率为，B正确；
对C：
∵，则，
∴，双曲线的渐近线方程为，则直线的倾斜角，
设直线方程为，，
联立方程，消去x得：，
∴，
则，
设内切圆半径为，其周长
，
根据的面积可得：，
则，C正确；
对D：
由题意不妨设，，
∵，则，
令，
∴，，，
又∵在上单调递增，
∴，D错误；
故选：ABC.

16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知，是双曲线：的左、右焦点，过作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是（    ）
A． B．
C．的离心率等于 D．的渐近线方程为
【答案】BD
【解析】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，

因为，所以，所以，，A错误，B正确；
由知，所以，又，，
所以，即，所以，解得：，C错误；
所以，所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，D正确．
故选：BD．
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________
【答案】
【解析】设直线交轴于点，如图，

设的外接圆半径为，由，
有，
故，所以直线过的内心，
设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，

由切线长定理可得，，，
所以，，
结合图形可得，所以，，
故的内心的横坐标为，
因为点在直线上，所以点为的内心.
由可得，
所以，，记，
设，则，所以，，
所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，
且有，
由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，
故，同理可得，
令，则，且，
故.
则双曲线的离心率.
故答案为：.
18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆和双曲线有共同的左、右焦点，M是它们的一个交点，且，记和的离心率分别为，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】不妨设M为第一象限的点．

如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义知，，
所以，，
设在中，，
由余弦定理得，，
化简得，
即，
所以，
所以，当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．

【答案】
【解析】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为.
所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方程为，
联立直线的方程与内层椭圆方程得，，因为直线与椭圆相切，
所以，
整理可得，.
同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，
所以.
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 ​的左顶点为​， 右焦点​， 若直线​与该双曲线交于​两点，​为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________
【答案】2
【解析】联立 ​， 可得​， 则​，
因为点 ​关于​轴对称， 且​为线段​的中点， 则​.
又因为 ​为等腰直角三角形， 所以，​， 即​，
即 ​， 所以，​， 可得​，
因此， 该双曲线的离心率为 ​．
故答案为：2
21．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
【答案】
【解析】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．
设，，
则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，
即，
即，
解得，即．
故答案为：
22．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.

【答案】
【解析】设，
由，解得，
所以，
所以，
设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，
则，
两式相加得，即，
过作，垂直为，
则四边形为矩形，所以，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：