2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：10 解直角三角形 (通用版)

这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：10 解直角三角形 (通用版)，共55页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
考点1 直角三角形的边角关系
1.（•黄石）如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACD+∠CED= （ ）
A．125° B．145°
C．175° D．190°

第1题图 第2题图
2.（•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 （ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
3.（•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是 （ ）
A． B．
C． D．
4.（•上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1=______度．[来源:学_科_网]
5.（•河北）已知：整式A=(n21)2+
(2n)2，整式B0．
尝试 化简整式A．
发现 A=B2，求整式B．
联想 由上可知，B2=(n21)2+(2n)2，当n1时，n21，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：

考点2 锐角三角函数
1.（•湘西州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC=，则BC的长是 （ ）
A．10 B．8 C． D．

第1题图 第2题图
2.（•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为 （ ）
A． B． C． D．
3.（•怀化）已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α= （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.（•凉山州）如图，在△ABC中，CA=CB=4，csC=，则sinB的值为 （ ）
A． B． C． D．

第4题图 第6题图
5.（•天津）2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6.（•舟山）如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2BC2=AB2，则tanC=_____．
7.（•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则csC=_______．
8.（•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A=90°，则tan∠ABC=_______．
9.（•柳州）如图，在△ABC中，sinB=，tanC=，AB=3，则AC的长为__________．

第9题图 第10题图
10.（•宿迁）如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是_____________．
11.（•乐山）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，csC=．则AB边的长为________．

第11题图 第12题图
12.（•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cs(α+β)=__________．
13.（•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5，BD=1，tanB=．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．

[来源:Z#xx#k.Cm]
考点3 解直角三角形的实际
应用
1.（•河北）如图，从点C观测点D的仰角是 （ ）
A．∠DAB B．∠DCE
C．∠DCA D．∠ADC

第1题图 第2题图
2.（•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为
（ ）
A．11米 B．米C．米 D．米
3.（•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10
C．10+30 D．

第3题图 第4题图
4.（•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是 （ ）
A．55.5m B．54m
C．19.5m D．18m
5.（•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为 （ ）
A．米 B．米
C．米 D．米

第5题图 第6题图
6.（•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于 （ ）
A．asinx+bsinx B．acsx+bcsx
C．asinx+bcsx D．acsx+bsinx
7.（•绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθcsθ)2= （ ）
A． B． C． D．

第7题图 第8题图
8.（•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为 （ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米 B．21.9米
C．23.3米 D．33.3米
9.（•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 （ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
10.（•衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是___________米．（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）

第9题图 第10题图
11.（•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑 杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=α．若AO=85cm，BO=DO=65cm．问：当α=74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 __________cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
12.（•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为_______米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

第12题图 第13题图
13.（•黄石）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为__________海里（结果保留根号）．
14.（•临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD
=105°，求BD的长．


15.（•菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．

16.（•舟山）某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，≈1.73）
17.（•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高.（参考数据：≈1.4，≈1.7）

18.（•西藏）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．

19.（•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

20.（•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

综合考点
一、选择题
1.（•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为
（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°

第1题图 第2题图
2.（•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）
A．3.2米B．3.9米
C．4.7米D．5.4米
3.（•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为 （ ）
A．asinα+asinβB．acsα+acsβ
C．atanα+atanβD．

二、填空题
4.（•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm．
（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=______cm．
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为_______________cm2．
5.（•葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB=30°，在B处测得
∠PBC=75°，若AB=80米，则河两岸之间的距离约为______米．（≈1.73，结果精确到0.1米）

第5题图 第6题图
6.（•赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为_______m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78）
7.（•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得
∠ACB=30°，点D处测得∠ADB=60°，CD=80m，则河宽AB约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．
第7题图 第8题图
8.（•孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=___________米．
9.（•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是_____________米（结果保留根号）．
第9题图 第10题图
10.（•辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车____________（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）
三、解答题
11.（•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）


12.（•莱芜区）公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）

13.（•潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）

14.（•南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）

15.（•连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°=cs53°≈，cs37°=sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）

16.（•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）
（=1.41，sin67.5°=0.92，cs67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cs22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）

17.（•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB=5m，CD=2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41，≈1.73）

参考答案
基础考点
考点1 直角三角形的边角关系
1.C 【解析】∵CD⊥AB，F为边AC的中
点，
∴DF=AC=CF，
又∵CD=CF，
∴CD=DF=CF，∴△CDF是等边三角
形，∴∠ACD=60°，∵∠B=50°，
∴∠BCD+∠BDC=130°，∵∠BCD和
∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE=65°，
∴∠CED=115°，∴∠ACD+
∠CED=60°+115°=175°，故选C．
2.C 【解析】设直角三角形的斜边长为c,较
长直角边为b，较短直角边为a，由勾
股定理得c2=a2+b2，阴影部分的面积=
c2b2a(cb)=a2ac+ab=a(a+bc)，
较小两个正方形重叠部分的长=
a(cb)，宽=a，则较小两个正方形
重叠部分底面积=a(a+bc)，∴知道图
中阴影部分的面积，则一定能求出较小
两个正方形重叠部分的面积，故选C．
3.B 【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的
直角三角形和中间的小正方形拼成的
一个大正方形，故选B．
4.120 【解析】∵D是斜边AB的中点，∴
DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=30°，∴
∠2=∠DCA+∠DAC=60°，∵11∥l2，
∴∠1+∠2=180°，∴∠1=180°60°
=120°．故答案为120．

5.17；37 【解析】A=(n21)2+(2n)2=n42n2+
1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，∵A=B2，
B0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，
∴n2+1=42+1=17；当n21=35时，
n2+1=37，故答案为17；37.
考点2 锐角三角函数
1.D 【解析】∵∠C=90°，cs∠BDC=，
设CD=5x，BD=7x，∴BC=x，∵
AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴
AD=BD=7x，∴AC=12x，∵AC=12，∴
x=1，∴BC=，故选D．
2.D 【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC=90°，
∴AC===5,
∴sin∠BAC==．故
选D．
3.A 【解析】∵∠α为锐角，且
sinα=∴∠α=30°，故选A．
4.D 【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，
如图所示．在Rt△ACD中，CD=CA•
csC=1，∴AD==；在
Rt△ABD中，BD=CBCD=3，
AD=，∴AB==，
∴sinB==．故选D．

5.C 【解析】2sin60°=2=，故选C．
6. 【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴
AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴
AB2=AD2+DB2=2BD2，
BC2=DC2+BD2，∴
AC2BC2=(AD+DC)2(DC2+BD2)=
AD2+DC2+2AD•DCDC2BD2
=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2BC2=
AB2，∴2BD•DC=2BD2，
∴DC=BD，∴tanC==
=,故答案为．

7.或 【解析】若∠B=90°，设AB=x，
则AC=2x，所以BC=
=x，所以
csC===；若
∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，
所以BC==x，
所以csC===；
综上所述，csC的值为或
，故答案为或．
8.或 【解析】①如图1，在Rt△ABC
中，∠A=90°，CE是△ABC
的中线，设AB=EC=2a，则
AE=EB=a，AC=a，
∴tan∠ABC==；②
如图2，在Rt△ABC中，
∠A=90°，BE是△ABC的
中线，设EB=AC=2a，则AE=
EC=a，AB=a，∴
tan∠ABC==，故
答案为或．
9. 【解析】过A作AD⊥BC，在Rt△ABD
中，sinB=，AB=3，∴AD=AB•sinB=1，
在Rt△ACD中，tanC=，∴=
，即CD=，根据勾股定理得
AC===，故答案
为.

10.
【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=AB=1，由勾股定理得BC1=；在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=
30°，∴AC2=4，由勾股定理得BC2=2，∴当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时，故答案为．

11. 【解析】如图，作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，
AC=2，csC=，∴=，∴
CH=，∴AH==
=，在Rt△ABH中，
∵∠AHB=90°，∠B=30°，∴AB=
2AH=，故答案为．

12. 【解析】给图中各点标上字母，连
接DE，如图所示，在△ABC中，
∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=
30°，同理，可得出∠CDE=∠CED=
30°=∠α，又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设
等边三角形的边长为a，则AE=2a，
DE=2sin60°•a=a，∴AD=
=a，∴cs(α+β)=
=，故答案为．

13.【参考答案】 （1）∵tanB=，可设AC=3x，得BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴(3x)2+(4x)2=52，
解得，x=1（舍去），或x=1，
∴AC=3，BC=4，
∵BD=1，∴CD=3，
∴AD=＝；
（2）过点作DE⊥AB于点E，
∵tanB=，可设DE=3y，则BE=4y，
∵AE2+DE2=BD2，∴(3y)2+(4y)2=12，
解得，y=（舍），或y=，
∴DE=，
∴sinα=＝．
考点3 解直角三角形的实际应用
1.B 【解析】∵从点C观测点D的视线是
CD，水平线是CE，∴从点C观测点D
的仰角是∠DCE，故选B．
2.D 【解析】过点A作AE⊥BD，交BD于
点E，在Rt△ABE中，AE=30米，
∠BAE=30°，∴BE=30×tan30°=10
（米），∴AC=ED=BDBE=
（米），∴甲楼高为
米，故选D．

3.B 【解析】根据题意得，∠CAB=65°20°=
45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=30，
过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠CEB=
90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE=45°，
AB=30，∴AE=BE=AB=30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，∴CE=
BE=10km，∴AC=AE+CE=30+
10，∴A，C两港之间的距离为
（30+10）km，故选B．

4.C 【解析】过D作DE⊥AB，∵在D处测
得教学楼的顶部A的仰角为30°，
∴∠ADE=30°，∵BC=DE=18m，
∴AE=DE•tan30°=18m，∴AB=AE+BE=
AE+CD=18+1.5=19.5m，故选C．

5.B 【解析】作AD⊥BC于点D，则BD=
+0.3=，∵csα=，∴csα=，
解得，AB=米，故选B．

6.D 【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥
OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，
∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，
∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=acsx+
bsinx，故选D．

7.A 【解析】∵大正方形的面积是125，小
正方形面积是25，∴大正方形的边长为
5，小正方形的边长为5，∴5csθ
5sinθ=5，∴csθsinθ=，∴
(sinθcsθ)2=，故选A．
8.C 【解析】如图，设CD与EA交于F，
∵=1:2.4=，∴设CF=5k，
AF=12k，∴AC==13k=26，
∴k=2，∴AF=24，CF=10，∵AE=6，
∴EF=6+24=30，∵∠DEF=48°，∴
tan48°===1.11，∴DF=33.3，
∴CD=33.310=23.3，故选C．

9.D 【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴
∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60nmile.
在Rt△ACD中，cs∠ACD=，
∴CD=AC•cs∠ACD=60=
30nmile，在Rt△DCB中，∵
∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=
30nmile，∴AB=AD+BD=
(30+30)nmile．故选D．

10.1.5 【解析】∵sinα=，∴AD=AC•sinα
≈2×0.77=1.5m，故答案为1.5.
11.120 【解析】过O作OE⊥BD，过A作
AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO=DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE=
∠BOD=74°=37°，∴∠FAB=
∠BOE=37°，在Rt△ABF中，AB=
85+65=150cm，∴h=AF=AB•
cs∠FAB=150×0.8=120cm，故答案
为120.
12.566 【解析】如图，设线段AB交y轴于
C，在直角△OAC中，∠ACO=
∠CAO=45°，则AC=OC．∵OA=400
米，∴OC=OA•cs45°=400=
200（米），∵在直角△OBC中，
∠COB=60°，OC=200米，∴
OB===400≈566
（米），故答案为566．
13.15 【解析】由题意得，MN=15×2=30
海里，∵∠PMN=30°，∠PNT=60°，
∴∠MPN=∠PMN=30°，∴PN=MN
=30海里，∴PT=PN•sin∠PNT=
15海里，故答案为15．
14.【参考答案】作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB=30°，AB=4km，
∴∠ABE=60°，BE=2km，
∵∠ABD=105°，
∴∠EBD=45°，
∴∠EDB=45°，
∴BE=DE=2km，
∴BD==2km，
即BD的长是2km．
15.【参考答案】过点B作BD⊥AC于点D，
由题意，得∠BAD=60°，∠BCD=45°，AB=80，
在Rt△ADB中，∠BAD=60°，
∴AD=AB=40，
BD=AB=40，
在Rt△BCD中，∠BCD=45°，
∴BD=CD=40，
∴BC=BD=40，
答：BC的距离是40海里．
16.【参考答案】（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，
∵AB⊥AM，DE⊥AM，
∴AB∥CG∥DE，
∴∠DCG=180°∠CDE=110°，
∴∠BCG=∠BCD∠GCD=30°，
∴∠ABC=180°∠BCG=150°；
（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，
在Rt△CPD中，
DP=CDcs70°≈0.51（米），
在Rt△BCN中，
CN=BCcs30°≈1.04（米），
∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35（米），
如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，
在Rt△CKD中，
DK=CDsin50°≈1.16（米），
∴DH=DK+KH=3.16（米），
∴DHDE=0.8（米），
∴斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．
17.【参考答案】（1）在Rt△EFH中，
∠HEF=90°，∠HFE=45°，
∴HE=EF=10，
∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5，
∴古树的高为11.5米；
（2）在Rt△EDG中，∠GED=60°，
∴DG=DEtan60°=DE，
设DE=x米，则DG=x米，
在Rt△GFD中，∠GDF=90°，∠GFD=45°，
∴GD=DF=EF+DE，
∴x=10+x，
解得x=5+5，
∴CG=DG+DC=x+1.5
=(5+5)+1.5
=16.5+5≈25，
答：教学楼CG的高约为25米．
18.【参考答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意可知∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=30°=∠ABC，
∴CB=CA=20，
在Rt△ACD中，
∠ADC=90°，∠ACD=60°，sin∠ACD=，
∴sin60°=，
∴AD=20×sin60°=20=1010，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
19.【参考答案】（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得，PA=120海里，
∠A=30°，∠BPC=45°，
∴PC=PA=60海里，△BCP是等腰直角三角形，
∴BC=PC=60海里，PB=PC=60海里；
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA=120海里，PB=60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为=3（小时），救助船B所用的时间为=2（小时），
∵32，
∴救助船B先到达．
20.【参考答案】（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得PA=80，∠APC=45°，
∠BPC=90°30°=60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，
∴AC=PC=PA=40，
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；
（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB=90°，∠B=30°，
∴BC=PC=40，
∴AB=AC+BC=40+40，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间==≈≈5.15（小时）5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处．
综合考点
一、选择题
1.C 【解析】如图，∵∠BCA=60°，∠DCE=
45°，∴∠2=180°60°45°=75°，∵HF
∥BC，∴∠1=∠2=75°，故选C．

2.C 【解析】过点O作OE⊥AC于点F，延
长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=
，∴OF=xtan65°，∴BF=3+x，
∵tan35°=，∴OF=(3+x)tan35°，∴
2.1x=0.7(3+x)，∴x=1.5，∴OF=
3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选C．

3.C 【解析】在Rt△ABD和Rt△ABC中,AB=
a，tanα=，tanβ=，∴BC=atanα，
BD=atanβ，∴CD=BC+BD=atanα+atanβ,
故选C．
二、填空题
4.9045；2256
【解析】∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB=50cm，CD=40cm，∴EF=50+40=90cm，∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，
∴B、C两点的路程之比为5:4.
（1）当∠ABE=30°时，在Rt△ABE中，BE=AB=25cm，∴B运动的路程为
(5025)cm，∵B、C两点的路程之比为5:4，∴此时点C运动的路程为(5025)
=(4020)cm∴BC=(5025)+
(4020)=(9045)cm，故答案为90
45；
（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：
则此时AA'=15cm，
∴A'E=15+25=40cm，
由勾股定理得EB'=30cm，
∴B运动的路程为5030=20cm，
∴C运动的路程为16cm，
∴C'F=4016=24cm，由勾股定理得D'F=
32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积=梯形
A'EFD'的面积△A'EB'的面积△D'FC'的面积=90(40+32)3040
2432=2256cm2，∴四边形ABCD的面积为2256cm2，故答案为2256．
5.54.6 【解析】过点A作AE⊥a于点E，过
点B作BD⊥PA于点D，∵∠PBC=
75°，∠PAB=30°，∴∠DPB=45°，∵
AB=80，∴BD=40，AD=40，∴
PD=DB=40，∴AP=AD+PD=40+
40，∵a∥b，∴∠EPA=∠PAB=30°，
∴AE=AP=20+20≈54.6，故答
案为54.6

6.8.1 【解析】如图：AC=3.1m，∠B=38°，
∴AB==＝5，∴木杆折断之
前高度=AC+AB=3.1+5=8.1（m），故
答案为8.1.
7.69 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴DA=DC
=80，在Rt△ABD中，＝sin∠ADB
＝sin60°＝，∴AB＝AD=
80=40≈69（米），故答案为69．
8.2020 【解析】在Rt△PBD中，
tan∠BPD=，则BD=PD•
tan∠BPD=20，在
Rt△PBD中，∠CPD=45°，∴
CD=PD=20，∴BC=BDCD=
2020，故答案为
（2020）．
9.15+15 【解析】过点B作BE⊥AB于
点E，在Rt△BEC中，∠CBE=
45°，BE=15；可得CE=BE
×tan45°=15米．在
Rt△ABE中，∠ABE=30°，BE
=15，可得AE=BE×tan30°
=15米，故教学楼AC的高度
是15+15米，故答案为
（15+15）米．

10.没有超速 【解析】作AD⊥直线l于D，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=100，在Rt△ADB
中，tan∠ACD=，则CD=
=100≈173.2，
∴BC=173.2100=73.2（米），
小汽车的速度为0.0732
=52.704（千米/小时），
∵52.704千米/小时60千米/
小时，∴小汽车没有超速，故
答案为没有超速．
三、解答题
11.【参考答案】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，
∴AC==≈82.1m，
∵AB=21m，
∴BC=ACAB=61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE=CDEC=105.755≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
12.【参考答案】如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．
由题意，可知
OE=，
∠OBE=42°，∠BAO=∠BAC=62°．
在Rt△OBD中，∵tan∠OBE=，
∴OB=≈=2．
在Rt△OAB中，∵sin∠OAB=，
∴AB=≈≈2.3m．
答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．
13.【参考答案】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1:，
∴tan∠ABE==，∴∠ABE=30°，
∴AE=AB=100，
∵AC=20，∴CE=80，
∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1:4，
∴=，即=，
解得，ED=320，
∴CD==80米，
答：斜坡CD的长是80米．
14.【参考答案】延长AB交CD于H，则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，
∠D=45°，
∴AH=DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH=，
∴AH=CH•tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH=，
∴BH=CH•tan∠BCH≈0.4CH，
由题意得，，
解得，CH=300m，
∴EH=CHCE=220m，BH=120m，
∴AH=AB+BH=153m，
∴DH=AH=153m，
∴HF=DHDF=103m，
∴EF=EH+FH=323m，
答：隧道EF的长度为323m．
15.【参考答案】（1）在△ABC中，
∠ACB=180°∠B∠BAC=180°37°
53°=90°．
在Rt△ABC中，sinB=，
∴AC=AB•sin37°=25=15（海里）．
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．
在Rt△AMC中，
CM=AC•sin∠CAM=15=12，
AM=AC•cs∠CAM=15=9．
在Rt△AMD中，tan∠DAM=，
∴DM=AM•tan76°=9×4=36，
∴AD===9，
CD=DMCM=3612=24．
设缉私艇的速度为x海里/小时，则有
=，
解得x=6．
经检验，x=6是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．

16.【参考答案】 （1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为90°∠POB0°；
（2）如图，∵∠CAB=67.5°，
∴∠BAO=22.5°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=22.5°，
∴∠BOP=45°，
∵OB=100cm，
∴OE=OB=50cm，
∴PE=OPOE=10050≈29.5cm，
答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．

17.【参考答案】 作BF⊥CE于F，
在Rt△BFC中，
BF=BC•sin∠BCF≈3.20m，
CF=BC•cs∠BCF≈3.85m，
在Rt△ADE中，
DE===≈1.73m，
∴BH=BFHF=0.20m，
AH=EF=CD+DECF=0.58m，
∴由勾股定理得AB=≈0.6m.
答：AB的长约为0.6m．

直角三角形三边
n21
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
_______
勾股数组Ⅱ
35
/
_______