2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：08 二次函数（通用版）

这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：08 二次函数（通用版），共26页。
1.（•温州）已知二次函数，关于该函数在1x3的取值范围内，下列说法正确的是 （ ）
A．有最大值1，有最小值2
B．有最大值0，有最小值1
C．有最大值7，有最小值1
D．有最大值7，有最小值2
2.（•衢州）二次函数图象的顶点坐标是 （ ）
A．（1，3） B．（1，3）
C．（1，3） D．（1，3）
3.（•遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是 （ ）

A．a=4
B．当b=4时，顶点的坐标为（2，8）
C．当x=1时，b5
D．当x3时，y随x的增大而增大
4.（•重庆）抛物线的对称轴是 （ ）
A．直线x=2 B．直线x=2
C．直线x=1 D．直线x=1
5.（•河南）已知抛物线经过（2，n）和（4，n）两点，则n的值为 （ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
6.（•福建）若二次函数的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 （ ）
A．y1y2y3 B．y1y3y2
C．y3y2y1 D．y2y3y1
7.（•济宁）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8.（•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是
（ ）
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位
D．向右平移8个单位
9.（•白银）将二次函数化成的形式为_________________．
10.（•凉山州）将抛物线向左平移_____个单位后经过点A（2，2）．
考点2 二次函数解析式的确定
1.（•烟台）已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当0x4时，y0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1x2，其中正确的个数是 （ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（•徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为_________________．
3.（•宁波）如图，已知二次函数的图象经过点P（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

4.（•云南）已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线
上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
5.（•凉山州）已知二次函数的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且，求a的值．
考点3 二次函数图象与系数的关系
1.（•沈阳）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）

A．abc0 B．b24ac0
C．ab+c0 D．2a+b=0
2.（•娄底）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是 （ ）
①abc0
②b24ac0
③2ab
④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（•通辽）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①abc0；
②c+2a0；
③9a3b+c=0；
④abm(am+b)（m为实数）；
⑤．
其中错误结论的个数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.（•河池）如图，抛物线的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是 （ ）

A．0 B．b24ac0
C．2ab=0 D．ab+c=0
5.（•安顺）如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc0；②4acb20；③ab+c0；④ac+b+1=0．
其中正确的个数是 （ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
6.（•凉山州）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3ab=0；②b24ac0；③5a2b+c0；④4b+3c0，其中错误结论的个数是 （ ）

A．1B．2C．3D．4
7.（•贺州）已知抛物线的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc0；②ab+c0；③3a+c=0；④当1x3时，y0，正确的是____________（填写序号）．

8.（•广元）如图，抛物线过点（1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M=4a+2b+c，则M的取值范围是_________________．

9.（•天水）二次函数的图象如图所示，若M=4a+2b，N=ab．则M、N的大小关系为M_____N．（填“”、“=”或“”）

10.（•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
11.（•湖州）已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
考点4 二次函数的图象与方程、不等式的关系
1.（•潍坊）抛物线的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程（t为实数）在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是
（ ）
A．2t11 B．t2
C．6t11 D．2t6
2.（•天津）二次函数（a，b，c是常数，a0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=时，与其对应的函数值y0．有下列结论：①abc0；②2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0m+n．
其中，正确结论的个数是 （ ）
A．0B．1C．2D．3
3.（•梧州）已知m0，关于x的一元二次方程的解为x1，x2（x1x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x112x2
B．1x12x2
C．1x1x22
D．x11x22
4.（•南充）抛物线（a，b，c是常数），a0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（2n，y2）在该抛物线上，当n时，则y1y2；②关于x的一元二次方程无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
5.（•赤峰）二次函数（a0）的图象如图所示，下列结论：①b0；②ab+c=0；③一元二次方程ax2+bx+c+1=0（a0）有两个不相等的实数根；④当x1或x3时，y0．上述结论中正确的是__________．（填上所有正确结论的序号）
6.（•内江）若x、y、z为实数，且，则代数式x23y2+z2的最大值是________．
7.（•武汉）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a(x1)2+c=bbx的解是________________．
8.（•泰安）若二次函数y=x2+bx5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx5=2x13的解为______________．
9.（•济宁）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是____________．
考点5 二次函数的应用
1.（•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为
（ ）
A． B．
C． D．
2.（•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h=30m时，t=1.5s．
其中正确的是 （ ）

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
3.（•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h=20t5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s．
4.（•广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米．
5.（•潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
6.（•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．

（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
7.（•绵阳）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
综合考点
一、选择题
1.（•雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是 （ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
2.（•泸州）已知二次函数y=(xa1)(xa+1)3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a2 B．a1
C．1a2 D．1a2
3.（•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y=ax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 （ ）

A．a2 B．a
C．1a或a2 D．2a
二、填空题
4.（•镇江）已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是_________．
5.（•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=xa+1和y=x22ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是___________．
三、解答题
6.（•遵义）如图，抛物线C1：y=x22x与抛物线C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA=2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．

7.（•永州）如图，已知抛物线经过两点A（3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

8.（•吉林）如图，抛物线y=(x1)2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=9时，直接写出△BCP的面积．

9.（•舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10t25时可近似用函数刻画；当25t37时可近似用函数刻画．
（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20t25时的成本为200元/天，但若欲加温到25t37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）

参考答案
考点1 二次函数的顶点坐标与对称轴
1.D 【解析】∵=，
∴在1x3的取值范围内，当x=2
时，有最小值2，当x=1时，有最
大值为y=92=7．故选D．
2.A 【解析】在中，对称
轴为x=h，顶点坐标为（h，k），顶
点坐标是（1，3），故选A.
3.C 【解析】∵二次函数∴对
称轴为直线x==2，∴a=4，A项正确；
当b=4时，
，∴顶点的
坐标为（2，8），B项正确；当x=1
时，由图象知此时y0，即1+4+b0，
∴b5，C项不正确；∵对称轴为直
线x=2且图象开口向上，∴当x3时，
y随x的增大而增大，D项正确，故选
C．
4.C 【解析】
∵=
∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴
为x=1．故选C．
5.B 【解析】可知抛物线的
对称轴x=1，∴=1，∴b=2，∴
，将点（2，n）代入
函数解析式，可得n=4，故选B．
6.D 【解析】∵经过A（m，n）、C（3m，
n），∴二次函数的对称轴，∵B
（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）
与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|
＞0，∴y2y3y1，故选D．
7.D 【解析】，
即抛物线的顶点坐标为（3，4），把
点（3，4）向上平移2个单位长度，
再向右平移1个单位长度得到点的坐标
为（4，2），所以平移后得到的抛物
线解析式为，故选D．
8.B 【解析】，
顶点坐标是（1，16）．
，顶点坐
标是（1，16）．所以将抛物线
向右平移2个单位长
度得到抛物线，故选
B．
9.
【解析】
，所以，
故答案为．
10.3 【解析】∵将抛物线向
左平移后经过点A（2，2），∴设平移
后解析式为，则
，解得a=3或a=1
（不合题意舍去），故答案为3.
考点2 二次函数解析式的确定
1.B 【解析】设抛物线解析式为
，把（1，5）代入得
，解得a=1，∴抛
物线解析式为，所
以①正确；抛物线的对称轴为直线x=2，
所以②正确；∵抛物线与x轴的交点坐
标为（0，0），（4，0），∴当0x4
时，y0，所以③错误；抛物线与x轴
的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上
两点，则x2x12或2x1x2，所以
⑤错误．故选B．
2.
【解析】设原来的抛物线解析式为，把P（2，2）代入，得2=4a，解得a=，故原来的抛物线解析式是．设平移后的抛物线解析式为
．把P（2，2）代入，得，解得b=0（舍去）或b=4，所
以平移后抛物线的解析式是，故答案为．
3.【参考答案】（1）把点P（2，3）代入中，∴a=2，∴，
∴顶点坐标为（1，2）；
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|2，∴2m2，
∴由图象可知2n11.
4.【参考答案】
（1）∵抛物线的对称轴是y轴，
∴，解得k1=3，k2=2；
又∵抛物线与x轴有两个交点．
∴3k0
∴k=3．此时抛物线的关系式为.（2）∵点P在抛物线上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或2，
当x=2时，y=5
当x=2时，y=5．
∴P（2，5）或P（2，5）.
5.【参考答案】的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=1，x1•x2=a，
∵

∴或，
∵，∴，
∴.
考点3 二次函数图象与系数的关系
1.D 【解析】由图可知a0，与y轴的交点
c0，对称轴x=1，∴b=2a0，∴
abc0，A项错误；由图象可知，函数
与x轴有两个不同的交点，∴0，B
项错误；当x=1时，y0，∴
ab+c0，C项错误；∵b=2a，D
项正确，故选D．
2.A 【解析】由函数图象可知a0，对称轴
1x0，图象与y轴的交点c0，
函数与x轴有两个不同的交点，∴
b2a0，b0；=b24ac0；
abc0；当x=1时，y0，即a+b+c0；
当x=1时，y0，即ab+c0；∴
，即
；∴只有④是正确的，故选
A．
3.A 【解析】由抛物线可知：a0，c0，
对称轴x=，∴b0，∴abc0，
故①正确；由对称轴可知：，
∴b=2a，∵x=1时，y=a+b+c=0，∴
c+3a=0，∴c+2a=3a+2a=a0，故
②正确；关于x=1的对称点为（3，
0），∴x=3时，y=9a3b+c=0，故③
正确；当x=1时，y的最小值为
ab+c，∴x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+cab+c，即
abm(am+b)，故④错误；抛物线与
x轴有两个交点，∴0，即
b24ac0，∴4acb20，故⑤正确，
故选A．
4.C 【解析】由抛物线的开口向下知a0，
与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得
c0，因此0，A项正确，不符合
题意；由抛物线与x轴有两个交点，可
得b24ac0，B项正确，不符合题意；
由对称轴为x==1，得2a=b，即
2a+b=0，C项错误，符合题意；由对称
轴为x=1及抛物线过（3，0），可得抛
物线与x轴的另外一个交点是（1，0），
所以ab+c=0，D项正确，不符合题
意．故选C．
5.B 【解析】①观察图象可知，开口方上
a0，对称轴在右侧b0，与y轴交于
负半轴c0，∴abc0，正确；②∵抛
物线与x轴有两个交点，∴b24ac0，
∴4acb20，错误；③当x=1时
y=ab+c，由图象知（1，ab+c）
在第二象限，∴ab+c0，正确；④
设C（0，c），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，
∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，
又c0，∴ac+b+1=0，正确；正确的
结论有①③④三个，故选B．
6.A 【解析】由图象可知a0，c0，对称
轴为x=，∴x==，∴b=3a，
①正确；∵函数图象与x轴有两个不同
的交点，∴=b24ac0，②正确；
当x=1时，ab+c0，当x=3时，
9a3b+c0，∴10a4b+2c0，∴
5a2b+c0，③正确；由对称性可知
x=1时对应的y值与x=4时对应的y
值相等，∴当x=1时，a+b+c0，∵
b=3a，∴
4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)，
3(a+b+c)0，∴4b+3c0，④错误；故
选A．
7.①③④ 【解析】根据图象可得a0，c0，
对称轴：x==1，∴b=2a，
∵a0，∴b0，∴abc0，故①
正确；把x=1代入函数关系式
中得y=ab+c，由
抛物线的对称轴是直线x=1，且过
点（3，0），可得当x=1时，y=0，
∴ab+c=0，故②错误；∵b=2a，
∴a(2a)+c=0，即3a+c=0，故
③正确；由图形可以直接看出④正
确．故答案为①③④．
8. 【解析】将（1，0）（0，2）
代入，∴
0=ab+c，2=c，∴b=a+2，∵
0，a0，∴b0，∴
a2，∴2a0，∴
M=4a+2(a+2)+2=6a+6=6(a+1)
∴6M6，故答案为
6M6.
9. 【解析】当x=1时，y=ab+c0，
当x=2时，y=4a+2b+c0，
MN=4a+2b(ab)
=4a+2b+c(ab+c)0，即MN，故
答案为.
10.【参考答案】（1）A（0，）
将点A向右平移2个单位长度，即得到点B（2，）；
（2）A与B关于对称轴x=1对称，
∴抛物线对称轴x=1；
（3）∵对称轴x=1，
∴b=2a，
∴，
①a0时，
当x=2时，y=2，
当y=时，x=0或x=2，
∴函数与AB无交点；
②a0时，
当y=2时，=2，
x=或x=，
当2时，a；
∴当a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
11.【参考答案】（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，∴c2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x1时，y随x的增大而增大，
∴mn.
考点4 二次函数的图象与方程、不等式的关系
1.A 【解析】∵的对称轴为直
线x=1，∴b=2，∴y=x22x+3，∴一
元二次方程x2+bx+3t=0的实数根可
以看做y=x22x+3与函数y=t的有交
点，∵方程在1x4的范围内有实
数根，当x=1时，y=6；当x=4时，
y=11；函数y=x22x+3在x=1时有最小
值2，∴2t11，故选A．
2.C 【解析】当x=0时，c=2，当x=1时，
a+b2=2，∴a+b=0，∴
y=ax2ax2，∴abc0，①正确；x=
是对称轴，x=2时y=t，则x=3时，y=t，
∴2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t
的两个根，②正确；m=a+a2，
n=4a2a2，∴m=n=2a2，∴
m+n=4a4，∵当x=时，y0，∴
a，∴m+n，③错误，故选C．
3.A 【解析】关于x的一元二次方程
的解为x1，x2，可
以看作二次函数与x
轴交点的横坐标，∵二次函数
与x轴交点坐标为
（1，0），（2，0），如下图所示。
当m0时，就是抛物线位于x轴上方
的部分，此时x1，或x2，又∵
x1x2，∴x1=1，x2=2，∴
x112x2，故选A．

4.A 【解析】∵顶点坐标为（，m），n，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=
的对称点为（1n，y1），∴点（1n，
y1）与（2n，y2）在该抛物线上，
∵(1n)(2n)=n0，∴
1n2n，∵a0，∴当x时，
y随x的增大而增大，∴y1y2，①结论
正确；把（，m）代入y=ax2+bx+c中，
得m=a+b+c，∴一元二次方程
ax2bx+cm+1=0中，
=b24ac+4am4a
=b24ac+4a(a+b+c)4a
=(a+b)24a0，∴一元二次方程
ax2bx+cm+1=0无实数解，②正确，
故选A．
5.②③④ 【解析】由图可知，对称轴x=1，
与x轴的一个交点为（3，0），
∴b=2a，与x轴另一个交点
（1，0），∵a0，∴b0，
①错误；当x=1时，y=0，∴
ab+c=0，②正确；一元二次方
程ax2+bx+c+1=0可以看作函数
y=ax2+bx+c与y=1的交点，由
图象可知函数y=ax2+bx+c与
y=1有两个不同的交点，∴一
元二次方程ax2+bx+c+1=0
（a0）有两个不相等的实数
根，③正确；由图象可知，y0
时，x1或x3，④正确，故
答案为②③④．
6.26 【解析】，①②
得，y=1+z，把y=1+z代入①得，
x=2z，则
x23y2+z2=(2z)23(1+z)2+z2
=z210z+1=(z+5)2+26，当z=5
时，x23y2+z2的最大值是26，故答
案为26．
7.x1=2，x2=5
【解析】关于x的一元二次方程
a(x1)2+c=bbx变形为
a(x1)2+b(x1)+c=0，把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到
y=a(x1)2+b(x1)+c，∵抛物线y=ax2+bx+c
经过点A（3，0）、B（4，0），∴抛物线y=a(x1)2+b(x1)+c与x轴的两交点坐
标为（2，0），（5，0），∴一元二方程a(x1)2+b(x1)+c=0的解为x1=2，x2=5,故答案为x1=2，x2=5．
8.x1=2，x2=4
【解析】∵二次函数y=x2+bx5的对称轴为
直线x=2，∴，得b=4，则
x2+bx5=2x13可化为x24x5=2x13，
解得，x1=2，x2=4，故答案为x1=2，x2=4．
9.x3或x1
【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，∴m+n=p，3m+n=q，∴抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于P（1，p），Q（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+c的下方，∴不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1．故答案为x3或x1．
考点5 二次函数的应用
1.B 【解析】设抛物线的解析式为y=ax2，
将B（45，78）代入得78=a452，
解得a=，故此抛物线钢拱的函数
表达式为，故选B．
2.D 【解析】由图象知小球在空中达到的最
大高度是40m；①错误；小球抛出3秒
后，速度越来越快；②正确；小球抛出
3秒时达到最高点即速度为0；③正确；
设函数解析式为h=a(t3)2+40，把O
（0，0）代入得0=a(03)2+40，解得
a=，∴函数解析式为
h=(t3)2+40，把h=30代入解析式
得，30=(t3)2+40，解得t=4.5或
t=1.5，∴小球的高度h=30m时，t=1.5s
或4.5s，④错误，故选D．
3.4 【解析】依题意，令h=0得0=20t5t2，
得t(205t)=0，解得t=0（舍去）或t=4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s，
故答案为4．
4.10 【解析】铅球落地时，高度y=0，当
y=0时，x2+x+=0，解得，x=2
（舍去），x=10，故答案为10．
5.【参考答案】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为(x+1)元，今年的批发销售总额为10(1+20%)=12万元，
∴，
整理得x219x120=0
解得x=24或x=5（不合题意，舍去）
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为m元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
w=(m24)(180+300)
=60m2+4200m66240，
整理得w=60(m35)2+7260，
∵a=600，
∴抛物线开口向下，
∴当m=35元时，w取最大值7260.
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元.
6.【参考答案】（1）如图所示：

（2）设y=kx+b，
将（200，60）、（220，50）代入，
得，解得，
∴y=x+160（170x240）；
（3）w=xy=x(x+160)=x2+160x，
∴对称轴为直线x==160，
∵a=0，
∴在170x240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x=170时，w有最大值，最大值为12750元．
7.【参考答案】设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得，
解得.
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，
根据题意有：
m=(202a)(200+20a80)
=40a2+160a+2400
=40(a2)2+2560，
∵400，
∴当a=2时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为200+2×20=240元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元．
综合考点
一、选择题
1.C 【解析】二次函数，
a=10，∴该函数的图象开口向上，对
称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当
x=2时，y有最小值1，当x2时，y
的值随x值的增大而增大，当x2时，
y的值随x值的增大而减小，故A、B
项正确，C项错误；根据平移的规律，
的图象向右平移2个单位长度得
到，再向上平移1个单位长
度得到，D项正确，故
选C．
2.D 【解析】y=(xa1)(xa+1)3a+7
=x22ax+a23a+6，∵抛物线与x轴没
有公共点，∴
=(2a)24(a23a+6)0，解得
a2，∵抛物线的对称轴为直线
x==a，抛物线开口向上，而当
x1时，y随x的增大而减小，∴
a1，∴实数a的取值范围是
1a2，故选D．
3.C 【解析】∵抛物线y=ax2x+1（a0）
与线段AB有两个不同的交点，,∴令
=ax2x+1，则2ax23x+1=0∴
=98a0∴a.①当a0时，
，解得a2，②当a0
时，，解得a1，∴
1a，综上所述，1a或
a2，故选C．
二、填空题
4. 【解析】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1
（a0）过点A（m，3），B（n，3）
两点，∴，∵线段AB
的长不大于4，∴4a+13，∴a∴
a2+a+1的最小值为()2++1=，故
答案为．
5.a1或a
【解析】∵平移直线l，可以使P，Q都在x
轴的下方，令y=xa+10，∴x1a，令
y=x22ax0，∴2ax0；当a0时，
x1a与2ax0有解，a10，则a1；
当a0时，x1a与2ax0有解
a12a，则a1，故答案为a1或
a.
三、解答题
6.【参考答案】（1）令y=x22x=0，则x=0或2，即点B（2，0），
∵C1、C2开口大小相同、方向相反，则a=1，则点A（4，0），
将点A的坐标代入C2的表达式得
0=16+4b，解得b=4，
故抛物线C2的解析式为y=x2+4x；
（2）联立C1、C2表达式，则，
解得x=0或3，
故点C（3，3），
作点C关于C2对称轴的对称点C'（1，3），
连接AC'交函数C2的对称轴与点P，

此时PA+PC的值最小为线段AC'的长度，即；
（3）直线OC的表达式为y=x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，

设点M（x，x2+4x），则点H（x，x），
则S△MOC=MH×xC=(x2+4xx)
=x2+x，
∵0，故x=时，S△MOC有最大值，
代入x=，则S△MOC最大值为
7.【参考答案】（1）∵抛物线对称轴是直线x=1且经过点A（3，0），
∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y=a(xx1)(xx2)（a0）
即y=a(x1)(x+3)
把B（0，3）代入得3=3a
∴a=,
∴抛物线的解析式为y=x22x+3．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，3），
∴，得，
∴直线AB为y=x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，x22x+3），则M（x，x+3），
∴PM=x22x+3(x+3)=x23x，
∴S=(x23x)3=．
当x=时，S最大=，
则yP=22+3，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.

8.【参考答案】（1）将点C（0，3）代入y=(x1)2+k，得k=4，
∴y=(x1)24=x22x3；
（2）令y=0，x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），∴AB=4；
抛物线顶点为（1，4），
当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S=44=8；
（3）①当0m1时，
h=3(m22m3)=m2+2m；
当1m2时，h=1(4)=1；
当m2时，
h=m22m3(4)=m22m+1；
②当h=9时
若m2+2m=9，此时0，m无解；
若m22m+1=9，则m=4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，3），
∴△BCP的面积
S=8451(4+1)3=6.
9.【参考答案】（1）把（25，0.3）代入，
得
解得h=29或h=21，
∵25t37，∴h=29．
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，
设m=kp+b
把（0.2，0），（0.3，10）代入得
解得，∴m=100p20．
②当10t25时，，
∴m=10020=2t40；
当25t37时，，
∴m=10020
=(t29)2+20
∴m=.
③当20t25时，增加的利润为
600m+[10030200(30m)]=800m3000=1600t35000
当t=25时，增加的利润的最大值为1600×2535000=5000元；
当25t37时，增加的利润为
600m+[10030400(30m)]
=1000m9000=625(t29)2+11000
∴当t=29时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．x
1
0
2
3
4
y
5
0
4
3
0
x
…
2
1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
2
2
n
…
x（元）
…
190
200
210
220
…
y（间）
…
65
60
55
50
…
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15