2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：13 圆 (通用版)

这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：13 圆 (通用版)，共87页。试卷主要包含了如图，在⊙O中，等内容，欢迎下载使用。
考点1 圆周角定理及其推论
1.（•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A
=70°，那么∠DOE的度数为 （ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°

第1题图 第2题图
2.（•滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为 （ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
3.（•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是 （ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°

第3题图 第4题图
4.（•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是
（ ）
A．20° B．70° C．30° D．90°
5.（•葫芦岛）如图，在⊙O中，
∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO的度数为 （ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°

第5题图 第6题图
6.（•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=50°，若P为上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为 （ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
7.（•贵港）如图，AD是⊙O的直径，=，若∠AOB=40°，则圆周角
∠BPC的度数是 （ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°

第7题图 第8题图
8.（•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是
（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
9.（•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是 （ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°

第9题图 第10题图
10.（•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB= （ ）
A．54° B．64° C．27° D．37°
11.（•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC=120°，则∠CDB=_______°．

第11题图 第12题图
12.（•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为________．
13.（•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是________．
14.（•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC=100°，∠OCD=35°，那么∠OED=_______．

第14题图 第15题图
15.（•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=________．
16.（•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC
=30°，则∠AOB的度数为________．

第16题图 第17题图
17.（•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为_______．
18.（•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB=∠CDB=60°，AC=
2，则⊙O的面积是_______．
19.（•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=_______度．

第18题图 第19题图
考点2 垂径定理及其推论
1.（•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是 （ ）
A．2 B．2
C．2 D．4

第1题图 第2题图
2.（•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为 （ ）
A．25m B．24m
C．30m D．60m
3.（•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为_______．

第3题图 第4题图
4.（•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB=2，则⊙O的半径为________．
考点3 与圆有关的位置关系
1.（•乐山）如图，抛物线y=x24与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 （ ）
A．3 B． C． D．4

2.（•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB=5，AC=6，BC=7，那么⊙C的半径长是 （ ）
A．11 B．10 C．9D．8
考点4 切线的性质和判定
1.（•青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC=BD=4，∠A=45°，则的长度为 （ ）
A． B．2
C．2 D．4

第1题图 第2题图
2.（•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为 （ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
3.（•苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为
（ ）
A．54° B．36° C．32° D．27°

第3题图 第4题图
4.（•无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
5.（•台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4

第5题图 第6题图
6.（•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是 （ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7.（•贺州）如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD=OD，AB=12，CD的长是 （ ）
A．2B．2C．3D．4
8.（•哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=50°，则∠ACB的度数为 （ ）
A．60° B．75° C．70° D．65°

第7题图 第8题图
9.（•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是 （ ）
A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD

第9题图 第10题图
10.（•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且
∠ACB=55°，则∠APB等于 （ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
11.（•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为 （ ）
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
12.（•重庆B）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°

第12题图 第13题图
13.（•重庆A）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C=50°，则∠AOD的度数为 （ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
14.（•南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P=102°，则∠A+∠C=_______．

第14题图 第15题图
15.（•温州）如图，⊙O分别切
∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC=66°，则∠EPF等于_______度．
16.（•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB=_____．

第16题图 第17题图
17.（•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为_________．
18.（•荆州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD=10，BD=6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为___________．

19.（•临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A=22.5°，求证：AC=DC．

20.（•甘肃）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=8，DE=5，求BC的长．

21.（•天水）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．

22.（•盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC=6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切．

23..（•徐州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A=∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．

24.（•衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE=，∠C=30°，求的长．

25.（•通辽）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC=CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF=CD，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=10，tan∠CAE=，求AE的长．

26.（•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=3，CD=2.5，求FG的长．

27.（•毕节市）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．
（1）若∠A=30°，求证：PA=3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP=(90°∠P)成立．请你写出推理过程．

28.（•天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB=AD，求∠EAC的大小．
考点5 与圆有关的计算
1.（•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是 （ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°

第1题图 第2题图
2.（•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为 （ ）
A． B． C．2 D．3
3.（•济南）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是
（ ）
A． B．
C． D．

第3题图 第4题图
4.（•临沂）如图，⊙O中，=，∠ACB=75°，BC=2，则阴影部分的面积是
（ ）
A．2+ B．2++
C．4+ D．2+
5.（•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留） （ ）
A．8 B．162
C．82 D．8

第5题图 第6题图
6.（•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=．
若∠C=110°，则∠ABC的度数等于 （ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
7.（•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是 （ ）
A．6 B．62
C．6+ D．6+2

第7题图 第8题图
8.（•绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°．若BC=2，则的长为 （ ）
A． B． C．2 D．2
9.（•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是 （ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°

第9题图 第10题图
10.（•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 （ ）
A．2 B． C． D．
11.（•温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 （ ）
A． B．2 C．3 D．6
12.（•湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是 （ ）
A．60cm2 B．65cm2
C．120cm2 D．130cm2
13.（•青海）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=140°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为 （ ）
A． B． C．2 D．2

第13题图 第14题图
14.（•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是 （ ）
A．1 B．4 C． D．2
15.（•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A． B．
C． D．
16.（•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为 （ ）
A．5 B．6 C．20 D．24

第15题图 第16题图
17.（•河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P
=________°．

第17题图 第18题图
18.（•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB=30°，则的长为______．
19.（•铁岭）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=60°，∠C=70°，OB=9，则的长为________．[来源:学.科.网]

第19题图 第20题图
20.（•黄石）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD=，∠ADC=60°，则劣弧的长为__________．
21.（•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB=6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．

22.（•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD=BE=2，求BF的长．

23.（•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
24.（2019•丹东）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且=，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：
①AO=AG．
②BF是⊙O的切线．
（2）若BD=6，求图形中阴影部分的面积．

25.（•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC=60°，
①求证：OD=OA．
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC∠ACB，求证：mn+2=0．

综合考点
一、选择题
1.（•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为 （ ）
A． B．2
C．4 D．2+2

第1题图 第2题图
2.（•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是 （ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF=FD
3.（•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为 （ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°

第3题图 第4题图
4.（•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为
（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4.8
5.（•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为 （ ）
A．6 B．3 C．6 D．12

第5题图 第6题图
6.（•舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
7.（•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则⊙O的半径是_______．

第7题图 第8题图
8.（•烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为______．
9.（•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，=，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为_______．

三、解答题
10.（•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=2，DE=4，求圆的半径及AC的长．

11.（•济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE=2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH=9，tanC=，求直径AB的长．

12.（•扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP=BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO=25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA=18，求的长．

13.（•绍兴）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．

14.（•抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
15.（•大连）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P，且∠APC=∠BCP．
（1）求证：∠BAC=2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC=6，AE=2时，求⊙O的半径．
16.（•贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D=90°，DP=1，求⊙O的直径．

17.（•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．

18.（•河池）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE=DC，∠E=∠BCD，求证：DE=BC；
（2）若OB=2，AB=BD=DA，∠F=45°，求CF的长．

19.（•贺州）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．

参考答案
基础考点
考点1 圆周角定理及其推论
1.C 【解析】连接CD，如图所示，∵BC是
半圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠
ADC=90°，∴∠ACD=90°∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C．

2.B 【解析】连接AD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∵∠BCD=40°，∴∠A=
∠BCD=40°，∴∠ABD=90°40°=50°，
故选B．

3.B 【解析】连接FB，∵∠AOF=40°，∴
∠FOB=180°40°=140°，∴∠FEB=
∠FOB=70°，∵EF=EB，∴∠EFB=
∠EBF=55°，∵FO=BO，∴∠OFB=
∠OBF=20°，∴∠EFO=∠EBO，∠EFO
=∠EFB∠OFB=35°，故选B．

4.A 【解析】连接AC，如图，∵BC是⊙O
的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ACB=
∠ADB=70°，∴∠ABC=90°70°=20°，故选A．

5.B 【解析】连接OA、OC，∵∠BAC=15°，
∠ADC=20°，∴∠AOB=2(∠ADC+
∠BAC)=70°，∵OA=OB（都是半径），
∴∠ABO=∠OAB=(180°∠AOB)=
55°，故选B．

6.B 【解析】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2
∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB
=45°，故选B．
7.B 【解析】∵=，∠AOB=40°，∴
∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC
+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴
∠BPC=∠BOC=50°，故选B．
8.A 【解析】∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC
=40°，∴∠BOC=180°40°40°=100°，
∴∠A=∠BOC=50°，故选A．
9.C 【解析】设圆心为O，连接OA、OB，
如图，∵弦AB的长度等于圆半径的
倍，即AB=OA，∴OA2+OB2=AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB
=90°，∴∠ASB=∠AOB=45°，故选C．

10.C 【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=
180°∠AOC=54°，∵∠CDB=
∠BOC=27°，故选C．
11.30 【解析】∵∠BOC=180°∠AOC=
180°120°=60°，∴∠CDB=
∠BOC=30°，故答案为30．
12.6 【解析】∵∠BOC=2∠BAC=60°，又
OB=OC，∴△BOC是等边三角形∴
OB=BC=6，故答案为6．
13.30° 【解析】∵一条弧所对的圆周角的度
数是15°，∴它所对的圆心角的度数
为215°=30°，故答案为30°．
14.60° 【解析】连接OB，∵=，∴
∠AOB=∠BOC=50°，∴∠BDC=
∠CDB，∠ECD=35°，∴∠OED=60°，
故答案为60°．

15.1 【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，∴AD=AB=
2=1,故答案为1．
16.60° 【解析】∵OA⊥BC，∴=，
∴∠AOB=2∠ADC，∵∠ADC=30°，∴∠AOB=60°，故答案为60°．
17.40° 【解析】∵OA=OB，∴∠OAB=
∠OBA=50°，∴∠AOB=180°50°
50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°，故
答案为40°．
18.4 【解析】∵∠A=∠BDC，而∠ACB=
∠CDB=60°，∴∠A=∠ACB=60°，∴
△ACB为等边三角形，∵AC=2，
∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是
4，故答案为4．
19.20 【解析】连接OD，如图，∵OC⊥AB，
∴∠COE=90°，∵∠AEC=65°，∴
∠OCE=90°65°=25°，∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCE=25°，∴∠DOC=
180°25°25°=130°，∴∠BOD=
∠DOC∠COE=40°，∴∠BAD=
∠BOD=20°，故答案为20．
考点2 垂径定理及其推论
1.C 【解析】过点O作OF⊥CD于点F，
OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如
图所示，则DF=CF，AG=BG=AB=3，
∴EG=AGAE=2，在Rt△BOG中，
OG===2，∴EG
=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE=OG=2，∵
∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，∴OF=
OE=，在Rt△ODF中，DF=
==，∴CD=
2DF=2，故选C．

2.A 【解析】∵OC⊥AB，∴AD=DB=20m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半
径为r得，r2=(r10)2+202，解得，r=
25m，∴这段弯路的半径为25m，故
选A．
3. 【解析】连接OD，如图，∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90°，∴CD==
，当OC的值最小时，CD
的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，
此时OC=，∴CD的最
大值为==AB=
1=，故答案为．

4.3 【解析】连接OA，设半径为x，∵
将劣弧沿弦AB折叠交于OC
的中点D，∴OC=x，OC⊥AB，
∴AC=AB=，∵OA2OC2
=AC2，∴x2(x)2＝10，解得，
x=3，故答案为3．

考点3 与圆有关的位置关系
1.C 【解析】连接BP，如图，当y=0时，
x24=0，解得x1=4，x2=4，则A（4，
0），B（4，0），∵Q是线段PA的中
点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ
=BP，当BP最大时，OQ最大，而
BP过圆心C时，PB最大，如图，点P
运动到P'位置时，BP最大，∵BC=
=5，∴BP'=5+2=7，∴线段OQ
的最大值是，故选C．

2.C 【解析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半
径为x，y，z，由题意，解得，
故选C．
考点4 切线的性质和判定
1.B 【解析】连接OC、OD，∵AC，BD分
别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，
OD⊥BD，∵∠A=45°，∴∠AOC=45°，
∴AC=OC=4，∵AC=BD=4，OC=OD=4，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，∴∠COD=
180°45°45°=90°，∴的长度为
=2，故选B．

2.A 【解析】如图所示，连接OC、CD，∵
PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴
∠OCP=90°，∵∠A=119°，∴∠ODC
=180°∠A=61°，∵OC=OD，∴∠OCD
=∠ODC=61°，∴∠DOC=180°261°
=58°，∴∠P=90°∠DOC=32°，故选
A．

3.D 【解析】∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB
=90°，∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°
∠ABO=54°，∵OA=OD，∴∠ADC=
∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴
∠ADC=∠AOB=27°，故选D．
4.B 【解析】连接OA，如图，∵PA是⊙O
的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，
∴∠B=∠AOP=50°=25°，故选
B．

5.A 【解析】设⊙O与AC的切点为E，连
接AO，OE，∵等边三角形ABC的边
长为8，∴AC=8，∠C=∠BAC=60°，∵
圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO=
∠CAO=∠BAC=30°，∴∠AOC=90°，
∴OC=AC=4，∵OE⊥AC，∴OE=
OC=2，∴⊙O的半径为2，故选
A．

6.D 【解析】如图，连接OB，∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=
∠A+∠OBA=2∠A=225°=50°，∵AB
与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，∴
∠C=90°∠BOC=90°50°=40°，故选
D．

7.A 【解析】∵⊙O与AC相切于点D，∴
AC⊥OD，∴∠ADO=90°，∵AD=
OD，∴tanA==，∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴
∠ODB=∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C=
∠ADO=90°，∴∠ABC=60°，BC=AB
=6，AC=BC=6，∴∠CBD=30°，
∴CD=BC=6=2，故选A．
8.D 【解析】连接OA、OB，∵PA、PB分
别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，
OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴
∠AOB=180°∠P=180°50°=130°，∴
∠ACB=∠AOB=130°=65°，故选
D．

9.D 【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴
PA=PB，∴A项成立；∠BPD=∠APD，
∴B项成立；∴AB⊥PD，∴C项成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，
且AC=BC，只有当AD∥PB，BD∥PA
时，AB平分PD，∴D项不一定成立，
故选D．
10.B 【解析】连接OA，OB，∵PA，PB是
⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB=55°，∴∠AOB=110°，∴
∠APB=360°90°90°110°=70°，
故选B．

11.C 【解析】∵⊙O的半径为1，点P到圆
心O的距离为2，∴dr，∴点P与⊙
O的位置关系是：P在⊙O外，∵过圆
外一点可以作圆的2条切线，故选C．
12.B 【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．
13.C 【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB
⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠C=50°，
∴∠ABC=40°，∵OD=OB，∴∠ODB
=∠ABC=40°，∴∠AOD=∠ODB+
∠ABC=80°，故选C．
14.219° 【解析】连接AB，∵PA、PB是⊙
O的切线，∴PA=PB，∵∠P=102°，
∴∠PAB=∠PBA=(180°102°)
=39°，∵∠DAB+∠C=180°，∴
∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C
=180°+39°=219°，
故答案为219°．
15.57 【解析】连接OE，OF，∵⊙O分别
切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，又∵∠BAC=
66°，∴∠EOF=114°，∵∠EOF=2
∠EPF，∴∠EPF=57°，故答案为57.

16. 【解析】连接OB，作OD⊥BC于D，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB
、BC都相切，∴∠OBC=∠OBA=
∠ABC=30°，∴tan∠OBC=，∴
BD===3，∴CD=BC
BD=83=5，∴tan∠OCB==
，故答案为．

17.2 【解析】连接OQ，∵PQ是⊙O的
切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理
知PQ2=OP2OQ2，∴当PO⊥AB
时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB
中，OA=OB=4，∴AB=OA
=8，∴OP==4，∴PQ=
=2，故答案为
2．
18.4或2.56 【解析】∵过B点的切线交AC
的延长线于点D，∴AB⊥BD，
∴AB==
=8，当∠AEP=90°
时，∵AE=EC，∴EP经过圆
心O，∴AP=AO=4；当∠APE
=90°时，则EP∥BD，∴
=，∵DB2=CD•AD，∴
CD===3.6，∴AC=
103.6=6.4，∴AE=3.2，∴
=，∴AP=2.56．综上
AP的长为4或2.56，故答案
为4或2.56．
19.【参考答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF=EF=DF，
∴∠AEO=∠FEC=∠FCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90°，
∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE=∠ACD=90°，
∵∠AEO=∠DEC，
∴∠OAE=∠CDE=22.5°，
∵AO=BO，
∴AD=BD，
∴∠ADO=∠BDO=22.5°，
∴∠ADB=45°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴AC=CD．
20.【参考答案】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴AE=EC，
∵DE=5，
∴AC=2DE=10，
在Rt△ADC中，DC=6，
设BD=x，
在Rt△BDC中，BC2=x2+62，
在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2102，
∴x2+62=(x+8)2102，
解得x=，
∴BC==．
21.【参考答案】（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵AB=10，
∴OC=5，
由（1）知∠OCF=90°，
∴CF=OCtan∠COB=5．
22.【参考答案】（1）连接DN，ON
∵⊙O的半径为，
∴CD=5
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD=5，
∴AB=10，
∴BC==8，
∵CD为直径，
∴∠CND=90°，且BD=CD，
∴BN=NC=4；
（2）∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，
∴CD=DA=DB=AB，
∴∠BCD=∠B，
∵OC=ON，
∴∠BCD=∠ONC，
∴∠ONC=∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．
23.【参考答案】（1）证明：连接OC，
∵D为的中点，
∴=，
∴∠BOD=∠BOC，
∵∠BAC=∠BOC，
∴∠A=∠DOB；
（2）DE与⊙O相切，
理由：∵∠A=∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
24.【参考答案】（1）证明：连接OD，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠OAD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE=，∠B=30°，∠BED=90°，
∴CD=BD=2DE=2，
∴OD=AD=tan30°•CD=2=2，
∴的长为=．
25.【参考答案】（1）直线AF是⊙O的切线.
理由：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵CF=CD，
∴∠CAF=∠EAC，
∵AC=CE，
∴∠E=∠EAC，
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠FAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠FAC+∠BAC=90°，
∴OA⊥AF，
又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AE，
∵tan∠CAE=，
∴=，
∵AC=10，
∴设CM=3x，则AM=4x，
在Rt△ACM中，根据勾股定理，
CM2+AM2=AC2，
∴(3x)2+(4x)2=100，
解得x=2，
∴AM=8，
∵AC=CE，
∴AE=2AM=28=16．
26.【参考答案】（1）FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF，
∴∠OFC=∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF=180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF=90°，
∴∠OFG=90°，
∴FG与⊙O相切；
（2）连接DF，
∵CD=2.5，
∴AB=2CD=5，
∴BC==4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴FD⊥BC，
∵DB=DC，
∴BF=BC=2，
∵sin∠ABC==，
即=，
∴FG=．
27.【参考答案】（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵PC是⊙O切线，
∴∠BCP=∠A=30°，
∴∠P=30°，
∴PB=BC，BC=AB，
∴PA=3PB；
（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，
∴∠BCP=∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，
且∠ACB=90°，
∴2∠BCP=90°∠P，
∴∠BCP=(90°∠P).
28.【参考答案】（Ⅰ）连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°90°90°80°=100°，
∴∠ACB=∠AOB=50°；
（Ⅱ）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵∠ACB=50°，
∴∠BCE=90°50°=40°，
∴∠BAE=∠BCE=40°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=70°，
∴∠EAC=∠ADB∠ACB=20°.
考点5 与圆有关的计算
1.B 【解析】由题意得到OA=OB=OC=OD，
作出⊙O，如图所示，∴四边形ABCD
为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+
∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC
=140°，故选B．
2.C 【解析】连接OA、OB，作OC⊥AB于
C，由题意得，OC=OA，∴∠OAC=
30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，∴劣的长=
=2，故选C．

3.B 【解析】如图所示，连接BC、OD、OB，
∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ACB=70°，
∵BD∥AC，∴∠ABD=∠A=40°，∴
∠ACD=∠ABD=40°，∴∠BCD=30°，
则∠BOD=2∠BCD=60°，又OD=OB，
∴△BOD是等边三角形，则图中阴影
部分的面积是S扇形BODS△BOD=
=，故选B．

4.A 【解析】作OD⊥BC，则BD=CD，连
接OB，OC，∴OD是BC的垂直平分
线，∵=，∴AB=AC，∴A在
BC的垂直平分线上，∴A、O、D共线，
∵∠ACB=75°，AB=AC，∴∠ABC=
∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∴∠BOC=
60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角
形，∴OA=OB=OC=BC=2，∵AD⊥BC，
AB=AC，∴BD=CD，∴AD经过圆心O，
∴OD=OB=，∴AD=2+，
∴S△ABC=BC•AD=2+，S△BOC=
BC•OD=，∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC
S△BOC=2++=2+
，故选A．
5.C 【解析】S阴=S△ABDS扇形BAE=44
=82，故选C．
6.A 【解析】连接AC，∵四边形ABCD是
半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°
∠C=70°，∵=，∴∠CAB=
∠DAB=35°，∵AB是直径，∴∠ACB
=90°，∴∠ABC=90°∠CAB=55°，故
选A．

7.A 【解析】6个月牙形的面积之和=3
(2262)=6，故选
A
8.A 【解析】连接OB，OC．∵∠A=180°
∠ABC∠ACB=180°65°70°=45°，
∴∠BOC=90°，∵BC=2，∴OB=OC
=2，∴的长为=，故选A．

9.C 【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C==108°，∵
CD=CB，∴∠CBD==36°，
∴∠ABD=∠ABC∠CBD=72°，故选
C．
10.D 【解析】∵∠A=90°，AB=AD，∴
△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD
=45°，BD=AB，∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=60°，而CB=CD，∴△CBD
为等边三角形，∴BC=BD=AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的
侧面积的比等于AB:CB，∴下面圆锥
的侧面积=1=，故选D．
11.C 【解析】该扇形的弧长==3，故选C．
12.B 【解析】这个圆锥的侧面积=2
513=65（cm2），故选B．
13.B 【解析】连接OC，∵OA=OC，∠CAO
=60°，∴△AOC为等边三角形，∴
∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOB
∠AOC=140°60°=80°，则的长
==，故选B．

14.D 【解析】连接CD，∵BC是半圆的直
径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AC=BC=2，∴
△ACB是等腰直角三角形，∴CD=
BD，∴阴影部分的面积=
22=2，故选D．

15.A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=2，BC=2，∴tanA===
，∴∠A=30°，∴∠DOB=60°，∵
OD=AB=，∴DE=，∴阴影部
分的面积是
=，故选A．

16.A 【解析】圆所扫过的图形面积=+2
2=5，故选A．
17.76 【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，PA⊥OA，∴∠PAB=
∠PBA，∠OAP=90°，∴∠PBA=
∠PAB=90°∠OAB=90°38°=52°，
∴∠P=180°52°52°=76°，故答案
为76．
18.2 【解析】∵∠AOB=2∠ADB=60°，
∴∠BOC=180°60°=120°，∴的
长==2，故答案为2．
19.8 【解析】连接OA，∵OA=OC，∴
∠OAC=∠C=70°，∴∠OAB=∠OAC
∠BAC=70°60°=10°，∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=10°，∴∠AOB=
180°10°10°=160°，则的长
==8，故答案为8．
20. 【解析】如图，连接DF，OD，∵
CF是⊙O的直径，∴∠CDF=90°，
∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD
=30°，∵CD平分∠ACB交AB于
点D，∴∠DCF=30°，∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD
=120°，在Rt△CAD中，CD=2AD
=2，在Rt△FCD中CF=
==4，∴⊙O的半径=2，∴劣
弧的长==，故答案
为．
21.6 【解析】由图可得，图中阴影部分的
面积为+
=6，故答案为6．
22.【参考答案】证明：（1）∵C是的中点，∴=，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴=，∴=，
∴CD=BF，
在△BFG和△CDG中，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2=AB2AD2，
即BD2=（2r）222，
Rt△OEF中，OF2=OE2+EF2，
即EF2=r2(r2)2，
∵==，
∴=，
∴BD=CF，
∴BD2=CF2=(2EF)2=4EF2，
即(2r)222=4[r2(r2)2]，
解得，r=1（舍）或3，
∴BF2=EF2+BE2=32(32)2+22=12，
∴BF=2.
23.【参考答案】∵在等腰△ABC中，
∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴BD=AD=6，
∴BC=2BD=12，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积
=S△ABCS扇形EAF
=612
=3612；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2r=，解得r=2，
这个圆锥的高h==4．
24.【参考答案】（1）证明：①如图1，连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴∠OEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE=∠AGO，
∵=，
∴∠AOG=∠GOE，
∴∠AOG=∠AGO，
∴AO=AG；
②由①知，AO=AG，
∵AO=OG，
∴AO=OG=AG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AGO=∠AOG=∠A=60°，
∴∠BOF=∠AOG=60°，
由①知，∠GOE=∠AOG=60°，
∴∠EOB=180°∠AOG∠GOE
=180°60°60°=60°，
∴∠FOB=∠EOB，
∵OF=OE，OB=OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB=∠OEB=90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接GE，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=90°∠A=30°，
∴OB=2BE，
设⊙O的半径为r，
∵OB=OD+BD，
∴6+r=2r，
∴r=6，
∴AG=OA=6，AB=2r+BD=18，
∴AC=AB=9，∴CG=ACAG=3，
由（1）知，∠EOB=60°，
∵OG=OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE=OE=6，
根据勾股定理得，
CE===3，
∴S阴影=S梯形GCEOS扇形OGE
=(6+3)3=6．
25.【参考答案】（1）①连接OB、OC，
则∠BOD=∠BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OD=OB=OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，
要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，
即：AD=AO+OD=，
△ABC面积的最大值为
BCAD=2OBsin60°=；
（2）如图2，连接OC，
设∠OED=x，
则∠ABC=mx，∠ACB=nx，
则∠BAC=180°∠ABC∠ACB
=180°mxnx=∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2mx，
∴∠AOD=∠COD+∠AOC
=180°mxnx+2mx=180°+mxnx，
∵OE=OD，∴∠AOD=180°2x，
即：180°+mxnx=180°2x，
化简得，mn+2=0．

综合考点
一、选择题
1.B 【解析】连接PA，PB，PC，过P作PD
⊥AB于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB
=60°，∴∠APB=120°，∵PA=PB，∴
∠PAB=∠PBA=30°，∵A（5，0），B
（1，0），∴AB=6，∴AD=BD=3，∴
PD=，PA=PB=PC=2，∵PD⊥
AB，PE⊥BC，∠AOC=90°，∴四边形
PEOD是矩形，∴OE=PD=，PE=OD
=2，∴CE===2
∴OC=CE+OE=2，∴点C的纵
坐标为2，故选B．

2.C 【解析】∵AB是⊙O的直径，BC平分
∠ABD，∴∠ADB=90°，∠OBC=∠DBC
∴AD⊥BD，∵OB=OC，∴∠OCB=
∠OBC，∴∠DBC=∠OCB，∴OC∥
BD，A项成立；∴AD⊥OC，B项成立；
∴AF=FD，D项成立；∵△CEF和
△BED中，没有相等的边，∴△CEF
与△BED不全等，C项不成立，故选C．
3.D 【解析】如图，∵∠ADC=30°，∴
∠AOC=2∠ADC=60°，∵AB是⊙O的
弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴=
，∴∠AOC=∠BOC=60°．故选D．

4.C 【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∴BC===3，∵
OD⊥AC，∴CD=AD=AC=4，
在Rt△CBD中，BD==2，
故选C．
5.A 【解析】∵CD⊥AB，∴CE=DE，∵
∠BOC=2∠A=222.5°=45°，∴△OCE
为等腰直角三角形，∴CE=OC=
6=3，∴CD=2CE=6，故选
A．
6.B 【解析】连接OA，∵∠ABC=30°，∴
∠AOC=2∠ABC=60°，∵过点A作⊙O
的切线交OC的延长线于点P，∴
∠OAP=90°，∵OA=OC=1，∴AP=
OAtan60°=1=，故选B．

二、填空题
7.2 【解析】连接BC，如图所示，∵AB是
⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB
=90°，CH=DH=CD=，∵∠A=30°，
∴AC=2CH=2，在Rt△ABC中，∠A
=30°，∴AC=BC=2，AB=2BC，
∴BC=2，AB=4，∴OA=2，即⊙O的半
径是2，故答案为2．

8. 【解析】连接OB，作OH⊥BC
于H，如图，∵△ABC为等边
三角形，∴AB=BC=AC=2，
∠ABC=60°，∵⊙O是△ABC
的内切圆，∴OH为⊙O的半
径，∠OBH=30°，∵O点为等
边三角形的外心，∴BH=CH=
1，在Rt△OBH中，OH=
BH=，∵S弓形AB=
S扇形ACBS△ABC，∴阴影部分
面积=3S弓形AB+S△ABCS⊙O=3
（S扇形ACBS△ABC）+S△ABC
S⊙O=3S扇形ACB2S△ABC
S⊙O=3222
()2=，故
答案为．

9. 【解析】连接OA、OB，OB交AF于
G，如图，∵AB⊥CD，∴AE=BE=
AB=3，设⊙O的半径为r，则
OE=r1，OA=r，在Rt△OAE中，
32+(r1)2=r2，解得r=5，∵=，
∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG
中，AG2+OG2=52，①；在Rt△ABG
中，AG2+(5OG)2=62，②；解由①
②组成的方程组得到AG=，∴
AF=2AG=，故答案为．

三、解答题
10.【参考答案】（1）证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴(4r)2=r2+22，
∴r=1.5，
∵tan∠E==，
∴=，
∴CD=BC=3，
在Rt△ABC中，
AC===3,
∴圆的半径为1.5，AC的长为3．
11.【参考答案】（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∴∠E+∠EAF=90°，
∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C，
∴∠CAE=∠AOE，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，在Rt△ADH中，
∵∠DAC=∠C，
∴tan∠DAC=tan∠C=，
∵DH=9，
∴AD=12，
在Rt△BDA中，∵tan∠B=tan∠C=，
∴sin∠B=，
∴AB=20．

12.【参考答案】（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PC=CB，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴∠CPB=∠PBC，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠OAP+∠APO=90°，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴∠CBO=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）①∵∠BAO=25°，
∴∠ABO=25°，∠APO=65°，
∴∠POB=∠APO∠ABO=40°，
∴∠AQB=(∠AOP+∠POB)
=130°=65°；
②∵∠AQB=65°，
∴∠AOB=130°，
∴的长=的长==23．
13.【参考答案】（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC=2，
∴AD=AO+OD=1+2=3；
（2）添加∠DCB=30°，求AC的长，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠OCB=90°，
∠OCB+∠DCB=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠ACO=∠A，
∴∠A=∠DCB=30°，
在Rt△ACB中，BC=AB=1，
∴AC=BC=．

14.【参考答案】（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°，
∴∠COD=2∠ABC=90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD=180°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵点B是的中点，
∴=，
∴∠BOC=∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD=360°，
∴的长==．

15.【参考答案】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAC=90°，即∠P+∠ACP=90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，即∠PCA+∠DAC=90°，
∴∠P=∠DAC=∠DBC，
∵∠APC=∠BCP，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠BDC=2∠ODC，
∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD；
（2）∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC=BC=3，
在△DEC和△CFD中，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE=FC=3，
∵∠ADC=90°，DE⊥AC，
∴DE2=AE•EC，
则EC==，
∴AC=2+=，
∴⊙O的半径为．

16.【参考答案】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴=，
∴∠AOP=∠COP，
∴∠AOP=∠AOC，
又∵∠ABC=∠AOC，
∴∠AOP=∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）连接PC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
∵∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
∴OA=AP，
∵OA=OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°(∠AOP+∠COB)=60°，
又OP=OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，
∴PD=AB，
∴AB=4PD=4．
17.【参考答案】（1）证明：连接AE，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵AB=AC，
∴BE=CE=3，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD，
∴BD∥EF，
∵BE=CE，
∴CF=DF，
∴EF是△CDB的中位线；
（2）∵∠AEB=90°，
∴AE===4，
∵△ABC的面积=ACBD=BCAE，
∴BD===，
∵EF是△CDB的中位线，
∴EF=BD=．
18.【参考答案】（1）证明：∵AE=DC，
∴=，
∴∠ADE=∠DBC，
在△ADE和△DBC中，
∴△ADE≌△DBC（AAS），
∴DE=BC；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示，
则∠OHG=∠OHB=90°，
∵CF与⊙O相切于点C，
∴∠FCG=90°，
∵∠F=45°，
∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，
∴CF=CG，OG=OH，
∵AB=BD=DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠OBH=30°，
∴OH=OB=1，
∴OG=，
∴CF=CG=OC+OG=2+．

19.【参考答案】
（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠F=30°，
∴∠F=∠DBC，
∴AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠BOA=90°30°=60°，
∴∠ADB=∠AOB=30°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE=CE=BC=4，
∴AB=AC，
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，
∵∠OBE=30°，
∴OE=OB，BE=OE=4，
∴OE=，
∴AC=AB=OB=2OE=．