重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）-2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
目录
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
题型一：弦长问题
例1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
例2．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
变式2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则 .
变式3．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
变式4．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 ．
变式5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
变式6．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
题型二：长度和问题
例4．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
例5．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
例6．（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
题型三：长度差问题
例7．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
例8．（2023·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.
题型四：长度商问题
例9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
变式9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.
变式10．（2023·陕西·统考一模）在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．
变式11．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆）中，，过点与的直线的斜率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于两点，求的最大值.
变式12．（2023·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
变式13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．
变式14．（2023·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
变式15．（2023·四川绵阳·统考三模）过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．
变式17．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
变式18．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为2p．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
题型五：长度积问题
例12．（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．
例13．（2023·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点作轴的垂线，与交于两点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，，交于点，求的取值范围．
变式21．（2023·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
变式22．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
题型六：长度的范围与最值问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点作垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
例16．（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
例17．（2023·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.
变式23．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
变式24．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．
变式27．（2023·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．
变式28．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.
(1)求证：
(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.
变式29．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知点在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆，直线与圆O相切且与点的轨迹交于不同两点，当且时，求弦长的取值范围.
变式30．（2023·四川遂宁·统考三模）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．
变式31．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
变式32．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围.
变式33．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.
(1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.
变式34．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆E上，，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
题型七：长度的定值问题
例18．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．
例19．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆．
(1)点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；
(2)和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．
例20．（2023·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，且椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．
变式36．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明：．
变式37．（2023·天津红桥·统考一模）设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的标准方程；
(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
变式39．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
变式40．（2023·安徽淮北·统考二模）已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，过点任意作直线分别交抛物线于，交椭圆于.当垂直于轴时，.
(1)求和的方程；
(2)是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.
变式42．（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.
变式43．（2023·天津河北·高三统考期末）已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.
①若，求；
②求的值.
变式44．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：．焦距为2c，，左、右焦点分别为，．在椭圆E上任取一点，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点关于原点的对称点为Q．过右焦点作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A，B两点，求的取值范围；
(3)若过点的直线与椭圆E交于C，D两点，求的值．
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
变式47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
变式48．（2023·山东青岛·高三统考期末）已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式49．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图，，，，是抛物线：上的四个点（，在轴上方，，在轴下方），已知直线与的斜率分别为和2，且直线与相交于点．
(1)若点的横坐标为6，则当的面积取得最大值时，求点的坐标．
(2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．